2024成都中考数学复习逆袭卷诊断小卷九 (含详细解析)

2024成都中考数学复习逆袭卷诊断小卷九
本卷涉及考点：平行四边形的性质与判定、矩形的性质与判定、菱形的性质与判定、正方形的性质与判定、多边形及其性质．
一、选择题(每小题3分，共计15分)
1.若一个n边形的内角和是其外角和的2倍，则n的值为()
A.4
B.5
C.6
D.7
2.如图，在△ABC中，点D，E分别为AB，BC的中点，过点E作EF∥AB，交AC于点F，连接AE，则下列条件不能使四边形ADEF为菱形的是()
第2题图
A.AB＝AC
B.AE平分∠BAC
C.DE＝BE
D.AE⊥BC
BD长为半径作3.如图，在▱ABCD中，AD＝4，连接BD，分别以B，D为圆心，大于1
2
弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交BD于点O，交CD于点E，连接BE，若△BCE的周长为10，则AB的长为()
第3题图
A.5
B.6
C.7
D.8
4.如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝6，点E在BC上，DF⊥AE交CB的延长线于点F，若DF＝310，则CE的长为()
第4题图
A.5
B.25
C.32
D.4
5.如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝23，点E，F分别是边AB，BC上的点，且AE＝BF，连接DE，EF，DF，则△DEF周长的最小值为()
第5题图
A.33
B.6
C.9
D.12
二、填空题(每小题3分，共计9分)
6.如图，在正六边形ABCDEF 中，点G ，H 分别是边BC ，CD 上的点，且BG ＝CH ，AG 交BH 于点O ，则∠AOH 的度数为__________．
第6题图
7.如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，点E 是AC 上一点，CE ＝CD ，连接DE 并延长交AB 于点F ，若AB ＝10，AC ＝16，则△ADF 的面积为__________．
第7题图
8.如图，点E 是正方形ABCD 的对角线BD 上的一点，连接AE ，过点E 作EF ⊥AE 交CB 的延长线于点F ，过点F 作FG ⊥BD 交DB 的延长线于点G ，则下列结论：①EA ＝EF ；②BF ＋2BE ＝BC ；③BD ＝2EG ；④若BC ＝3BF ，则tan ∠BEF ＝
45
.其中正确的结论有__________．(填写所有正确结论的序号)
第8题图
三、解答题(本大题共2小题，共计18分)
9.(本小题8分)创新考法·开放性如图，在▱ABCD 中，点E ，F 分别在边BC ，AD 上，
连接AE ，CF ，过点E 作EH ⊥CF 于点H ，过点F 作FG ⊥AE 于点G .
(1)请你添加一个条件：____________，使四边形EGFH 为矩形，并给出证明；
(2)在(1)的条件下，若AE ＝5，tan ∠DAE ＝2，EG ＝2GF ，求AG 的长．
第9题图
10.(本小题10分)如图，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别为边CD ，AD 上的点，AF ＝DE ，连接AE ，BF 交于点G ，过点C 作CH ⊥AE 交AE 的延长线于点H ，且CH ∥BF ，连接CG .
(1)求证：四边形ABCD 是正方形；
(2)若GE ＝7，EH ＝2，DE AD ＝13
，求CG 的长．
第10题图
参考答案与解析
快速对答案
一、选择题
1～5CCBAC
二、填空题
6.120°
7.144
5
8.①②③
三、解答题请看“逐题详析”P15．
逐题详析
1.C【解析】根据题意得(n－2)×180°＝360°×2，解得n＝6.
2.C【解析】∵点E为BC的中点，EF∥AB，∴点F为AC的中点，∵D，E为AB，BC 的中点，∴DE∥AC，∵EF∥AB，∴四边形ADEF为平行四边形(两组对边分别平行的四边形为平行四边形)，要使四边形ADEF为菱形，则只需证得一组邻边相等或对角线互相垂直即可，逐项分析如下：
选项逐项分析正误
A ∵AB＝AC，D，F为AB，AC的中点，∴AD＝AF，∴四边形ADEF为菱形(一组邻边相等的平行四边形为菱形)
√
B ∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE，∵EF∥AB，∴∠BAE
＝∠AEF，∴∠AEF＝∠CAE，∴AF＝EF，∴四边形ADEF
为菱形
√
C 只有DE＝BE时，不能推出四边形ADEF的邻边相等或对角
线垂直，故不能得到四边形ADEF为菱形
×
D ∵AE⊥BC，点E为BC的中点，∴AE为BC的垂直平分线，∴AB＝AC，根据选项A可得，四边形ADEF为菱形
√
3.B【解析】根据作图可知MN为BD的垂直平分线，∴BE＝DE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD＝4，AB＝CD，∵△BCE的周长为10，∴BC＋CE＋BE＝10，∴4＋CE＋DE＝10，∴CE＋DE＝6，即CD＝6，∴AB＝CD＝6.
4.A 【解析】∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ＝3，∠DCF ＝∠ABC ＝90°(矩形的对边相等，四个角都是直角)，∴在Rt △CDF 中，CF ＝DF 2－CD 2＝（310）2－32＝9，∵AE ⊥DF ，∠ABC ＝90°，∴∠CFD ＋∠AEB ＝90°，∠BAE ＋∠AEB ＝90°，∠CFD ＝∠BAE (同角的余角相等)，∵∠DCF ＝∠ABE ＝90°，∴△CDF ∽△BEA (两角分别相等的两个三角形相似)，∴CD BE ＝CF BA ，即3BE ＝93，解得BE ＝1，∴CE ＝AD －BE ＝
5.
5.C 【解析】如解图，连接DB ，∵四边形ABCD 为菱形，∴AB ＝BC ＝CD ＝DA (菱形的四条边相等)，AD ∥BC ，∴∠ADB ＝∠DBC ，∵∠A ＝60°，∴△ADB 是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形)，∴AD ＝BD ，∠A ＝∠ADB ＝60°，∴∠A ＝∠DBC ，∴
在△ADE 和△BDF ＝BD
A ＝∠DBF ＝BF
，∴△ADE ≌△BDF (SAS)，∴∠ADE ＝∠BDF ，DE
＝DF ，∴∠ADE ＋∠EDB ＝∠BDF ＋∠EDB ，∴∠ADB ＝∠EDF ＝60°，∴△DEF 是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形)，∴要使△DEF 的周长最小，只需要DE 最小即可，过点D 作DH ⊥AB 于点H ，∵△ADB 是等边三角形，AB ＝23，∴AH ＝12AB ＝3(等边三角形每条边上的中线、高线和角平分线互相重合)，∴DH ＝AH ·tan 60°＝3×3＝3，∴△DEF 周长的最小值为3×3＝9.
第5题解图
6.120°【解析】正多边形的每条边都相等，每个内角都相等，看到相等线段，可考虑全等三角形．∵六边形ABCDEF 是正六边形，∴∠ABC ＝∠BCD ＝120°，AB ＝BC ，∵BG ＝CH ，∴△ABG ≌△BCH (SAS)，∴∠BAG ＝∠CBH ，∴∠AOH ＝∠BAG ＋∠ABO ＝∠CBH ＋∠ABO ＝∠ABC ＝120°.
7.144
5【解析】如解图，过点D 作DH ⊥AB 交AB 于点H ，∵四边形ABCD 为菱形，∴AB
＝BC ＝CD ＝DA ＝10，AC ⊥DB ，OA ＝OC ＝
12AC ＝8，OD ＝OB (菱形的四条边相等，对角线互相垂直且平分)，∴根据勾股定理得，OB ＝AB 2－OA 2＝102－82＝6，∴DB ＝12，∵AB ∥CD (菱形的对边平行)，∴△DEC ∽△FEA ，∴CE AE ＝CD AF
，∵CE ＝CD ，∴AE ＝AF ，
∴AF ＝AE ＝AC －CE ＝AC －DC ＝16－10＝6，∵S 菱形ABCD ＝AB ·DH ＝12
AC ·BD (菱形的面积等于对角线乘积的一半)，即10DH ＝12×16×12，∴DH ＝485，∴S △ADF ＝12AF ·DH ＝12×6×485
＝1445.
第7题解图
8.①②③【解析】如解图①，过点E 作EM ⊥EB ，交AB 于点M ，则∠BEM ＝∠BEF ＋∠MEF ＝90°，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABC ＝90°，BD 平分∠ABC ，∴∠CBD ＝∠EBM ＝12
∠ABC ＝45°，∠BME ＝90°－∠EBM ＝45°，∴△BEM 为等腰直角三角形，∴ME ＝BE ，∠AME ＝180°－∠BME ＝135°，∠FBE ＝180°－∠CBD ＝135°，∵EF ⊥EA ，∴∠AEF ＝∠MEA
＋∠MEF ＝90°，∴∠MEA ＝∠BEF ，在△AME 和△FBE 中AME ＝∠FBE
＝BE
MEA ＝∠BEF
，∴△AME ≌△FBE (ASA)，∴EA ＝EF ，①正确；如解图①，在Rt △BME 中，∵BM 2＝BE 2＋ME 2＝2BE 2，∴BM ＝2BE ，∵△AME ≌△FBE ，∴BF ＝MA ，∵AB ＝AM ＋BM ，∴AB ＝BF ＋2BE ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ，∴BF ＋2BE ＝BC ，②正确；如解图②，过点A 作AO ⊥BD 于点O ，则∠AOE ＝90°，∵FG ⊥BG ，∴∠G ＝90°，∴∠AOE ＝∠G ，∵∠AEF ＝90°，∴∠GEF ＋∠AEO ＝90°，∵∠AEO ＋∠OAE ＝90°，∴∠OAE ＝∠GEF ，又∵AE ＝EF ，∴△AOE ≌△EGF (AAS )，∴AO ＝EG ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ，∵AO ⊥BD ，∴BO ＝DO (三线合一)，在△ABD 中，∵∠BAD ＝90°，BO ＝DO ，∴BD ＝2AO (直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)，∴BD ＝2EG ，③正确；如解图③，连接AF ，设AB 与EF 交于点P ，∵四边形ABCD 为正方形，∴AB ⊥BC ，∴∠PBF ＝90°，∵AE ⊥EF ，∴∠PEA ＝90°，∵∠APE ＝∠FPB ，∠PEA ＝∠PBF ＝90°，∴△AEP ∽△FBP ，∴AP PE ＝FP PB ，∵∠APF ＝∠EPB ，∴△APF ∽△EPB (两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似)，∴∠FAP ＝∠BEP ，即∠FAB ＝∠BEF ，∵AB ＝BC ，BC ＝3BF ，∴AB ＝3BF ，∴tan ∠BEF ＝tan ∠FAB ＝BF AB ＝13
，④错误；综上所述，正确的结论为①②③.
第8题解图
9.解：(1)添加的条件为：AF ＝CE (答案不唯一)；
证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD ∥BC .
∵AF ＝CE ，
∴四边形AECF 是平行四边形(有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)，(2分)∴AE ∥CF ，∴∠AEH ＋∠FHE ＝180°.
∵EH ⊥CF ，FG ⊥AE ，
∴∠FGE ＝∠FHE ＝∠GEH ＝90°，
∴四边形EGFH 为矩形(有三个角是直角的四边形是矩形)；(4分)
(2)设AG ＝x ，∵FG ⊥AE ，∴∠AGF ＝90°，
∴在Rt △AGF 中，tan ∠DAE ＝GF AG
＝2，∴GF ＝2AG ＝2x .(6分)
∵EG ＝2GF ，∴EG ＝4x ，
∵AE ＝AG ＋EG ，∴5＝x ＋4x .解得x ＝1，
∴AG 的长为1.(8分)
10.(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠BAF ＝∠ADE ＝90°，
∵CH ∥BF ，CH ⊥AE ，∴∠AGB ＝∠H ＝90°，
∴∠BAG ＋∠ABF ＝90°.(2分)
又∵∠DAE ＋∠BAG ＝90°，∴∠ABF ＝∠DAE ，
∵AF＝DE，
∴△ABF≌△DAE(AAS)，∴AB＝AD，
又∵四边形ABCD是矩形，
∴四边形ABCD是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形)；(5分) (2)解：∵∠H＝90°，∠ADE＝90°，∴∠H＝∠ADE，
又∵∠CEH＝∠AED，∴△CEH∽△AED，
∴AD
CH＝DE
HE，∴
HE
CH＝
DE
AD，即
2
CH＝
1
3，
∴CH＝6.(8分)
∵GH＝GE＋EH＝7＋2＝9，
∴在Rt△GCH中，CG＝GH2＋CH2＝313.(10分)。