2024年江西中考数学中考模拟卷(三)及参考答案

2024年江西中考数学中考模拟卷(三)
(本试卷满分120分，考试时间120分钟)
一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)
1．下列各式的值最小的是()
A．20B．|－2|
C．2-1D．－(－2)
2．“绿水青山就是金山银山”．某地积极响应党中央号召，大力推进农村厕所革命，已经累计投资1.102×108元资金，数据1.102×108可表示为()
A．1102亿B．1.102亿
C．110.2亿D．11.02亿
3．下列运算正确的是()
A．a2·a3＝a6B．2a(3a－1)＝6a2－1
C．(3a2)2＝6a4D．x3＋x3＝2x3
4．一根单线从纽扣的4个孔中穿过(每个孔只穿过一次)，其正面情形如图所示，下面4个图形中可能是其背面情形的是()
5．若点A(a，m)和点B(b，m)是二次函数y＝mx2＋4mx－3上的两个点，则a＋b的值为()
A．2B．4
C．－2D．－4
6．如图所示，如果将矩形纸沿虚线①对折后，沿虚线②剪开，剪出一个直角三角形，展开后得到一个等腰三角形，则展开后的等腰三角形周长是()
A．12B．18
C．2＋10D．2＋210
二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)
7．因式分解：2x 2－18＝________．
8．我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题目，大致意思是：有一竖立着的木杆，在木杆的上端系有绳索，绳索从木杆上端顺着木杆下垂后，堆在地面上的部分有3尺，牵着绳索头(绳索头与地面接触)退行，在离木杆底部8尺处时，绳索用尽．问绳索长为多少．绳索长为________尺．
9．某车间有26名工人，每人每天可以生产800个螺钉或1000个螺母，一个螺钉需要配两个螺母．为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套．设安排x 名工人生产螺钉，根据题意可列方程得________________．
10．有一组数据：55，57，59，57，58，58，57，若加上数据a 后，这组数据的众数不止一个，则a 的值为________．
11.如图，在菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°.若将菱形ABCD 绕点A 逆时针旋转α(0°＜α＜60°)得到四边形AEFG ，连接DE ，DG ，则∠EDG 的度数为________．
12．如图，在半径为5的⊙O 中，弦AB ＝6，P 是弦AB 所对的优弧上的动点，连接AP ，过点A 作AP 的垂线交射线PB 于点C ，当△PAB 是等腰三角形时，线段BC 的长为________________．
三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)
13．(1)－(π－6)0
＋3
－8＋tan 60°；(2)解不等式：1－2x 2－1≥x ＋2
3
14÷a
a－1，其中a＝5－1.
15．(2023·赣州三模)某校举行全校“红色文化诗歌朗诵”比赛，九(1)班从A，B两位男生和C，D两位女生中，选派学生代表本班参加全校决赛，如果采取随机抽取的方式确定人选．
(1)如果选派一位学生代表参赛，那么A恰好抽中是________事件，选派到的代表是A 的概率是________；
(2)如果选派两位学生代表参赛，求恰好选派一男一女两位同学参赛的概率．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是AB延长线上一点，且AB＝BD，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图．(保留作图痕迹)
(1)如图1，E是线段BC延长线上一点，连接AE，在图中作出一个以点D为顶点的∠α，使∠α＝∠CAE；
(2)如图2，E是△ABC外一点，连接AE，CE，在图中作出一个以点D为顶点的∠α，使∠α＝∠CAE.
17．如图1所示是某机场的平地电梯，其示意图如图2所示，电梯AB的长度为120米，
若两人不乘电梯在地面匀速行走，小明每分钟走的路程是小红的7
5倍，且1.5分钟后，小明
比小红多行走30米．
(1)求两人在地面上每分钟各行走多少米．
(2)若两人在平地电梯上行走，电梯以30米/分钟的速度向前行驶，两人保持原来在地面上匀速行走的速度也同时在电梯上行走．当小明到达B处时，小红还剩多少米才到达B处？
四、解答题(本大题共3小题，每小题8分，共24分)
18．某中学计划以“爱护眼睛，你我同行”为主题开展四类活动，分别为A ：手抄报；B ：演讲；C ：社区宣传；D ：知识竞赛，为了解全校学生最喜欢的活动(每人必选一项)的情况，随机调查了部分学生，根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图：
请根据以上信息，解答下列问题：(1)本次共调查了________名学生．(2)请将条形统计图补充完整．
(3)在扇形统计图中，D 类活动对应扇形的圆心角为多少度？(4)若该校有1500名学生，估计该校最喜欢C 类活动的学生有多少？
19．如图，点A 在函数y ＝4
x (x ＞0)的图象上，过点A 作x 轴和y 轴的平行线分别交函数
y ＝1x 的图象于点B ，C ，直线BC 与坐标轴的交点为D ，E .当点A 在函数y ＝4
x (x ＞0)的图象上运动时，
(1)设点A 横坐标为a ，则点B 的坐标为_________，点C 的坐标为_________．(用含a
的字母表示)
(2)△ABC的面积是否发生变化？若不变，求出△ABC的面积；若变化，请说明理由．
(3)请直接写出BD与CE满足的数量关系．
20．(2023·赣州一模)如图新建房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高AB所在的直线，为了测量房屋的高度，在地面上C点测得屋顶A的仰角为35°，此时地面上C点、屋檐上E点、屋顶上A点三点恰好共线，继续向房屋方向走6m到达点D 时，又测得屋檐E点的仰角为60°，房屋的横梁EF＝16m，EF∥CB，AB交EF于点G(点C，D，B在同一水平线上).(参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，3≈1.7)
(1)求屋顶到横梁的距离AG；
(2)求房屋的高AB.(结果精确到0.1m)
五、解答题(本大题共2小题，每小题9分，共18分)
21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上的一点，以AD为直径的⊙O 交BC于点E，交AC于点F，过点C作CG⊥AB于点G，交AE于点H，过点E的弦EP 交AB于点Q(EP不是直径)，点Q为弦EP的中点，连接BP，BP恰好为⊙O的切线．
(1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)求证：AE平分∠CAB；
(3)若AQ＝10，EQ＝5，HG
AG＝1
2，求四边形CHQE的面积．
22．如图，抛物线y1＝(x－a)(x－a－4)与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，平行于y轴的直线l过点Q(－2，0)，与抛物线y1交于点P.
(1)直接写出AB的长，并求当a＝1时抛物线y1的对称轴．
(2)将抛物线y1向右平移1个单位得到抛物线y2，向右平移2个单位得到抛物线y3，…，向右平移n－1(n为正整数)个单位得到抛物线y n，抛物线y2与直线l交于点Q.
①直线l与所有抛物线的交点个数为________，所有抛物线的顶点所在直线是________；
②当a＝－3时，抛物线y n与直线l交于点R，若四边形PARB的面积为70，求n的值．
六、解答题(本大题共12分)
23．综合与实践．
【动手操作】
第一步：如图1，正方形纸片ABCD沿对角线AC所在的直线折叠，展开铺平；再沿过点C的直线折叠，使点B、点D都落在对角线AC上(折痕分别为CE，CF).此时，点B与点D重合，记为点N，且点E，点N，点F在同一条直线上，如图2.
第二步：再沿AC所在的直线折叠，△ACE与△ACF重合，得到图3.
第三步：在图3的基础上继续折叠，使点C与点F重合，如图4，展开铺平，连接EF，FG，GM，ME，如图5，图中的虚线为折痕．
【问题解决】
(1)在图5中，∠BEC的度数是________，AE
BE的值是________；
(2)在图5中，请判断四边形EMGF的形状，并说明理由；
(3)在不增加字母的条件下，请你以图5中的字母表示的点为顶点，动手画出一个菱形(正方形除外)，并写出这个菱形：____________________．
2024年江西中考数学中考模拟卷(三)答案
1．C
20＝1，|－2|＝2，2-1＝1
2
，－(－2)＝2，
∵1
2
<1<2，∴最小的是2-1.2．B 1.102×108＝1.102亿．
3．D
A.a 2·a 3＝a 5，故不合题意；
B.2a (3a －1)＝6a 2－2a ，故不合题意；
C.(3a 2)2＝9a 4，
故不合题意；D.x 3＋x 3＝2x 3，故符合题意．
4．A 观察易得背面将有两条平行线，并且线头从纽扣的对角线处出来．
5．D
把A (a ，m )，B (b ，m )代入y ＝mx 2＋4mx －3得m ＝ma 2＋4ma －3，m ＝mb 2＋4mb
－3，∴ma 2＋4ma －3＝mb 2＋4mb －3，∴ma 2－mb 2＝4mb －4ma ，∴m (a ＋b )(a －b )＝－4m (a －b ).∵点A (a ，m )，B (b ，m )是抛物线y ＝mx 2＋4mx －3图象上两个不同的点，∴a ≠b ，m ≠0，∴a ＋b ＝－4.
6．D
根据题意，三角形的底边为2×(10÷2－4)＝2，腰的平方为32＋12＝10，
∴等腰三角形的腰为10，∴等腰三角形的周长为2＋210.
7．解析：2x 2－18＝2(x 2－9)＝2(x ＋3)(x －3).答案：2(x ＋3)(x －3)
8．解析：设绳索AC 的长为x 尺，则木柱AB 的长为(x －3)尺．
在Rt △ABC 中，由勾股定理得，AC 2－AB 2＝BC 2，即x 2－(x －3)2＝82，解得x ＝
736，∴绳索长为73
6
尺．答案：
73
6
9．解析：设安排x 名工人生产螺钉，则(26－x )人生产螺母，
由题意得1000(26－x )＝2×800x .答案：1000(26－x )＝2×800x
10．解析：原来这组数据中，出现次数最多的数据是57，出现了3次，其次是数据58，出现了2次．
若加上数据a 后，这组数据的众数不止一个，则a ＝58.答案：58
11．解析：由题意可知AB ＝AD ，∠BAD ＝60°.由旋转知∠DAG ＝∠BAE ＝α，AE ＝AB ，AD ＝AG ，∴∠EAD ＝∠BAD －∠BAE ＝60°－α，AE ＝AD ＝AG ，
∴∠ADE ＝180°－∠EAD 2＝60°＋α2，∠ADG ＝180°－∠DAG 2＝90°－α
2，
∴∠EDG ＝∠ADE ＋∠ADG ＝150°.答案：150°
12．解析：①当BA ＝BP 时，
则AB ＝BP ＝BC ＝6，即线段BC 的长为6.
②当AB ＝AP 时，如图1，连接AO 交PB 于点D ，过点O 作OE ⊥AB 于点E ，则AD ⊥PB ，AE ＝1
2
AB ＝3，
∴BD ＝DP .
在Rt △AEO 中，AE ＝3，AO ＝5，∴OE ＝52－32＝4.
∵∠OAE ＝∠BAD ，∠AEO ＝∠ADB ＝90°，∴△AOE ∽△ABD ，∴OE AO ＝BD AB ，即45＝BD 6，∴BD ＝245
，
∴BD ＝PD ＝245，即PB ＝48
5
.
∵AB ＝AP ＝6，
∴∠ABD ＝∠APC .
∵∠PAC ＝∠ADB ＝90°，
∴△ABD ∽△CPA ，
∴BD AB ＝PA CP ，即2456＝6CP
，∴CP ＝152
，∴BC ＝BP －CP ＝485－152＝2110
.③当PA ＝PB 时，
如图2，连接PO 并延长，交AB 于点F ，过点C 作CG ⊥AB ，交AB 的延长线于点G ，连接OB ，则PF ⊥AB ，
∴AF ＝FB ＝3.
在Rt △OFB 中，OB ＝5，FB ，∴OF ＝4，
∴FP ＝9.
∵∠PAF ＝∠ABP ＝∠CBG ，∠AFP ＝∠CGB ＝90°，
∴△PFB ∽△CGB ，
∴PF FB ＝CG BG ＝93
＝3.设BG ＝t ，则CG ＝3t .
∵∠PAF ＝∠ACG ，∠AFP ＝∠AGC ＝90°，
∴△APF ∽△CAG ，
∴AF PF ＝CG AG
，∴39＝3t 6＋t ，
解得t ＝34
，∴BG ＝34，CG ＝94
，
在Rt △BCG 中，BC ＝BG 2＋CG 2＝3104
.综上所述，当△PAB 是等腰三角形时，线段BC 的长为6或2110或3104.答案：6或2110或3104
13．解：(1)原式＝3－1－2＋3＝3.
(2)去分母，得3(1－2x )－6≥2(x ＋2)，
去括号，得3－6x －6≥2x ＋4，
移项，得－6x －2x ≥4－3＋6，
合并同类项，得－8x ≥7.
系数化为1，得x ≤－78
.
14．÷a a －1
＝2(a －1)＋a ＋2(a ＋1)(a －1)×a －1a
＝3a (a ＋1)(a －1)×a －1a
＝3a ＋1.当a ＝5－1时，
原式＝35－1＋1＝35
＝355.15．解：(1)如果选派一位学生代表参赛，那么A 恰好抽中是随机事件，
选派到的代表是A 的概率是14
，故答案为随机；14
.(2)由题意得：
A B C D
A(A，B)(A，C)(A，D)
B(B，A)(B，C)(B，D)
C(C，A)(C，B)(C，D)
D(D，A)(D，B)(D，C)
∵总共有12种等可能的结果，恰好选派一男一女两位同学参赛的结果有8种，
∴恰好选派一男一女两位同学参赛的概率＝8
12
＝2
3
.
16．解：(1)如图1，∠α即为所求；
(2)如图2，∠α即为所求．
17．解：(1)设小红每分钟行走x米，则小明每分钟行走7
5
x米，
依题意得1.5×7
5
x－1.5x＝30，
解得x＝50，
则7
5
x＝70.
答：小红每分钟行走50米，小明每分钟行走70米．
(2)120－120÷(70＋30)×(50＋30)
＝120－120÷100×80
＝120－96＝24(米).
答：当小明到达B处时，小红还剩24米才到达B处．18．解：(1)本次共调查的学生有20÷20%＝100(名)，
故答案为100.
(2)C对应人数为100－(20＋10＋30)＝40(名)，
补全条形图如下：
(3)360°×30100
＝108°，∴D 类活动对应扇形的圆心角为108度．
(4)1500×40100
＝600(名).答：估计该校最喜欢C 类活动的学生有600名．
19．解：
(2)∵|AB |＝x A －x B ＝3a 4，|AC |＝y A －y C ＝3a
，∴S △ABC ＝12·AB ·AC ＝12·3a 4·3a ＝98
，不发生改变．(3)BD ＝CE .
如图，延长AB 交y
轴于点G ，延长AC 交x 轴于点F .
∵AB ∥x 轴，
∴△ABC ∽△FEC ，
∴AB EF ＝AC FC ，即34a EF ＝3a 1
a
，∴EF ＝14
a .∵BG ＝14
a ，∴BG ＝EF .
∵AF ∥y 轴，
∴∠BDG ＝∠FCE .
在△DBG和△CEF BDG＝∠ECF，BGD＝∠EFC，＝EF，
∴△DBG≌△CEF(AAS)，
∴BD＝CE.
20．解：(1)由题意得AG⊥EF，EG＝1
2
EF＝8(m)，EF∥BC，∴∠AEG＝∠ACB＝35°.
在Rt△AGE中，∠AEG＝35°，
∴AG＝EG·tan35°≈8×0.7＝5.6(m).
答：屋顶到横梁的距离AG约为5.6m．
(2)过E作EH⊥CB于H，
由题意得EH＝GB，CD＝6m．
设DH＝x m，
∴CH＝CD＋DH＝(x＋6)m.
在Rt△EDH中，∠EDH＝，
∴EH＝DH·tan60°＝3x(m).
在Rt△ECH中，∠ECH＝35°，
∴EH＝CH·tan35°≈0.7(x＋6)m，
∴3x＝0.7(x＋6)，
解得x＝4.2，
∴GB＝EH＝3x≈7.14(m)，
∴AB＝AG＋BG＝7.14＋5.6＝12.74≈12.7(m).
答：房屋的高AB约为12.7m．
21．解：(1)证明：连接OE，OP.
∵AD为直径，点Q为弦EP的中点，∴AB垂直平分EP，
∴BP＝BE.
∵OE＝OP，OB＝OB，
∴△BEO≌△BPO(SSS)，
∴∠BEO＝∠BPO.
∵BP为⊙O的切线，
∴OP⊥BP，
∴∠BPO＝90°，
∴∠BEO＝90°，
∴OE⊥BC于点E.
∵OE是⊙O的半径，
∴BC是⊙O的切线．
(2)证明：∵∠BEO＝∠ACB＝90°，∴AC∥OE，
∴∠CAE＝∠OEA.
∵OA＝OE，
∴∠EAO＝∠OEA，
∴∠CAE＝∠EAO，
∴AE平分∠CAB.
(3)由(1)得EP⊥AB，
∴∠AQE＝90°.
∵CG⊥AB，
∴∠CGA＝90°，
∴∠CGA＝∠AQE＝90°，
∴CG∥EP，即CH∥EP，
∴∠QEH＝∠CHE.
∵∠ACE＝∠AQE＝90°，AE＝AE，由(2)得∠CAE＝∠EAO，
∴△ACE≌△AQE(AAS)，
∴∠CEH ＝∠QEH ，CE ＝QE ，
∴∠CEH ＝∠CHE ，
∴CH ＝CE ，
∴CH ＝QE ＝5.
∵CH ∥EP ，
∴四边形CHQE 是平行四边形．
∵CH ＝CE ，
∴四边形CHQE 是菱形，
∴QH ＝EQ ＝5.
设HG ＝x ，则AG ＝2x ，GQ ＝10－2x ，
在Rt △QHG 中，根据勾股定理得HG 2＋GQ 2＝QH 2，
∴x 2＋(10－2x )2＝52，解得x 1＝3，x 2＝5(不合题意，舍去).
∴HG ＝3，GQ ＝10－2x ＝4，
∴四边形CHQE 的面积＝CH ·GQ ＝5×4＝20.
22．解：(1)∵抛物线y 1＝(x －a )(x －a －4)与x 轴交于A ，B 两点，
∴A (a ，0)，B (a ＋4，0)，
∴AB ＝4.
当a ＝1时，A (1，0)，B (5，抛物线y 1的对称轴为直线x ＝3.
(2)①∵抛物线图象开口向上，无限延伸，故每个抛物线图象都与直线l 有一个交点，∴直线l 与所有抛物线的交点个数为n 个，
每个抛物线的顶点都由抛物线y 1的顶点(a ＋2，－4)向右移动，
故这些顶点都在直线y ＝－4上，
故答案为n ，y ＝－4.
②S ▱P ARB ＝S △ABR ＋S △ABP ＝12·AB ·QR ＋12
·AB ·QP ＝12
·AB ·(QR ＋QP )＝70，∴12
×4×PR ＝70，得PR ＝35.
当x ＝－2，a ＝－3时，
y 1＝(－2－a )(－2－a －4)＝(－2－a )(－6－a )＝a 2＋8a ＋12，
∴P (－2，－3).
y 1＝(x －a －2)2－4，
y n ＝(x －a －2－n ＋1)2－4，
∴R (－2，n 2－4)，
PR ＝n 2－4＋3＝35，
解得n 1＝6，n 2＝－6(舍去)，
∴n ＝6.
23．解：(1)由折叠的性质得，BE ＝EN ，AE ＝AF ，∠CEB ＝∠CEN ，∠BAC ＝∠CAD .∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠EAF ＝90°，
∴∠AEF ＝∠AFE ＝45°，
∴∠BEN ＝135°，
∴∠BEC ＝12
∠BEN ＝67.5°.由正方形的性质，得∠BAC ＝∠CAD ＝45°.
又∵∠AEF ＝45°，
∴△AEN 是等腰直角三角形，
∴AE ＝2EN ，∴AE BE ＝2EN EN
＝故答案为67.5°，2.
(2)四边形EMGF 是矩形．理由如下：
∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠B ＝∠BCD ＝∠D ＝90°.
由折叠的性质，得∠BCE ＝∠ECA ＝∠ACF ＝∠FCD ，CM ＝CG ，
∠BEC ＝∠NEC ＝∠NFC ＝∠DFC .
∴∠BCE ＝∠ECA ＝∠ACF ＝∠FCD ＝90°4
＝22.5°，∠BEC ＝∠NEC ＝∠NFC ＝∠DFC ＝67.5°.
由折叠可知，MH ，GH 分别垂直平分EC ，FC ，
∴MC ＝ME ＝CG ＝GF ，
∴∠MEC ＝∠BCE ＝22.5°，
∠GFC＝∠FCD＝22.5°，
∴∠MEF＝90°，∠GFE＝90°.
∵∠MCG＝90°，CM＝CG，
∴∠CMG＝45°.
∵∠BME＝∠BCE＋∠MEC＝22.5°＋22.5°＝45°，∴∠EMG＝180°－∠CMG－∠BME＝90°，
∴四边形EMGF是矩形．
(3)连接EH，FH，如图所示．
由折叠可知，MH，GH分别垂直平分EC，FC，同时EC，FC也分别垂直平分MH，GH，
∴四边形EMCH与四边形FGCH是菱形．
故答案为菱形EMCH或菱形FGCH.。