数学分析试题及答案解析

2014 -——2015学年度第二学期
《数学分析2》A试卷
学院班级学号（后两位）姓名
一.判断题（每小题3分，共21分）（正确者后面括号内打对勾，否则打叉）
1。

若在连续，则在上的不定积分可表为（）.
2.若为连续函数，则（)。

3。

若绝对收敛，条件收敛，则必然条件收敛（).
4。

若收敛，则必有级数收敛( )
5. 若与均在区间I上内闭一致收敛,则也在区间I上内闭一致收敛（).
6. 若数项级数条件收敛，则一定可以经过适当的重排使其发散于正无穷大（).
7. 任何幂级数在其收敛区间上存在任意阶导数,并且逐项求导后得到的新幂级数收敛半径与收敛域与原幂级数相同（）.
二.单项选择题（每小题3分,共15分）
1.若在上可积,则下限函数在上( ）
A.不连续
B. 连续C。

可微D。

不能确定
2。

若在上可积，而在上仅有有限个点处与不相等，则（）
A。

在上一定不可积;
B. 在上一定可积,但是;
C。

在上一定可积，并且；
D. 在上的可积性不能确定。

3.级数
A。

发散 B.绝对收敛 C.条件收敛 D. 不确定4。

设为任一项级数,则下列说法正确的是( )
A.若，则级数一定收敛；
B。

若，则级数一定收敛;
C。

若，则级数一定收敛；
D. 若，则级数一定发散；
5。

关于幂级数的说法正确的是( ）
A. 在收敛区间上各点是绝对收敛的；
B. 在收敛域上各点是绝对收敛的;
C。

的和函数在收敛域上各点存在各阶导数；
D。

在收敛域上是绝对并且一致收敛的；
三.计算与求值（每小题5分，共10分）
1。

2。

四. 判断敛散性（每小题5分，共15分)
1.
2.
3.
五. 判别在数集D上的一致收敛性（每小题5分，共10分）
1。

2。

六．已知一圆柱体的的半径为R，经过圆柱下底圆直径线并保持与底圆面角向斜上方切割，求从圆柱体上切下的这块立体的体积。

(本题满10分）
七. 将一等腰三角形铁板倒立竖直置于水中（即底边在上)，且上底边距水表面距离为10米，已知三角形底边长为20米,高为10米，求该三角形铁板所受的静压力。

（本题满分10分）
八。

证明:函数在上连续，且有连续的导函数。

（本题满分9分）
2014 ——-2015学年度第二学期
《数学分析2》B卷答案
学院班级学号（后两位）姓名
一、判断题（每小题3分，共21分，正确者括号内打对勾,否则打叉）
1。

✘2。

✔ 3.✘ 4. ✔ 5. ✔6。

✔7。

✔
二。

单项选择题（每小题3分，共15分)
1。

B ；2。

C ； 3.A ；4。

D； 5.B
三.求值与计算题（每小题5分，共10分)
1。

解：由于-----——-————-—-—--—-————-3分
而-—----———-——-———------———-—-———--4分
故由数列极限的迫敛性得:
----—-—-——-—----—————————--—----—————5分2。

设，求
解：令得
=---—-—-—--—-—--—2分
=
= —-—----—————-——--—--—---—---—
---——-4分
=
=---—-—-——-—-——-5分
四。

判别敛散性（每小题5分，共10分）
1。

解: -——-—-—3分
且，由柯西判别法知，
瑕积分收敛-——-—--—--——-—---—----—-—5分2。

解：
有---—-———--———-—--—--————-----2分
从而当-—-—-—--——————--——-———--—---—--4分
由比较判别法收敛-————-—-——---———-———-——————-5分
五。

判别在所示区间上的一致收敛性(每小题5分，共15分）
1.
解：极限函数为——-——--———-—-——-——-—--—2分
又----———-3分
从而
故知该函数列在D上一致收敛。

-———-——--———---——--—--——-5分
2。

解：因当时，—-——-—---—--—-2分
而正项级数收敛, -——-—-—----—-—-—-—----—————--4分
由优级数判别法知,该函数列在D上一致收敛.-—-—--—-—————5分
3.
解：易知,级数的部分和序列一致有界，-—-2分
而对是单调的，又由于
,-——---——-———-—————4分
所以在D上一致收敛于0，
从而由狄利克雷判别法可知,该级数在D上一致收敛。

-----—5分
六。

设平面区域D是由圆，抛物线及x轴所围第一象限部分,求由D绕y轴旋转一周而形成的旋转体的体积（本题满分10分)
解：解方程组得圆与抛物线在第一象限
的交点坐标为：，-——----————-————---——-—---—-—--—-—--—-—3分
则所求旋转体得体积为：
---————-—--————--—---———--—-——-7分
=----———--——--—-———
= -——-——-—--—-—--——--—-————————--—--—-—---—-——--———-———-10分
七。

现有一直径与高均为10米的圆柱形铁桶（厚度忽略不计)，内中盛满水，求从中将水抽出需要做多少功？(本题满分10分）
解：以圆柱上顶面圆圆心为原点，竖直向下方向为x轴正向建立直角坐标系则分析可知做功微元为：
—-—-——--—————--—————-———-—-—-———5分故所求为：—-———--—--—-—-—-—-———-—---——-—---————8分
=1250
=12250(千焦）-———--—--——————----——-——-—---—--—-—10分
八．设是上的单调函数，证明：若与都绝对收敛，则在上绝对且一致收敛. （本
题满分9分）
证明：是上的单调函数，所以有
-—————-———-—--—--—--—-——-—--—-4分
又由与都绝对收敛,
所以收敛,-———--—-———--—--———--———-----———-——--—7分
由优级数判别法知：
在上绝对且一致收敛。

—-——--———-—-———--———-———--—-
—---
2013 -—-2014学年度第二学期
《数学分析2》A试卷
学院班级学号（后两位）姓名
一.判断题（每小题2分，共16分）(正确者后面括号内打对勾，否则打叉）
1.若在［a,b］上可导，则在［a,b]上可积。

( )
2.若函数在[a，b］上有无穷多个间断点,则在［a，b］上必不可积。

（)
3.若均收敛，则一定条件收敛。

（）
4。

若在区间I上内闭一致收敛，则在区间I处处收敛（）
5.若为正项级数（)，且当时有：,则级数必发散。

（）
6。

若以为周期,且在上可积，则的傅里叶系数为：
（）
7.若，则( ）
8.幂级数在其收敛区间上一定内闭一致收敛。

（)
二.单项选择题（每小题3分，共18分）
1. 下列广义积分中，收敛的积分是（）
A B C D
2。

级数收敛是部分和有界的（）
A 必要条件
B 充分条件C充分必要条件 D 无关条件
3。

正项级数收敛的充要条件是（）
A. B。

数列单调有界
C。

部分和数列有上界 D.
4。

设则幂级数的收敛半径R=（）
A. B. C. D。

5. 下列命题正确的是( ）
A 在绝对收敛必一致收敛
B 在一致收敛必绝对收敛
C 若,则在必绝对收敛
D 在条件收敛必收敛
6。

.若幂级数的收敛域为,则幂级数在上
A. 一致收敛B。

绝对收敛 C. 连续 D.可导
三.求值或计算（每题4分，共16分)
1.；
2。

3．。

4.设在［0，1］上连续,求
四。

（16分）判别下列反常积分和级数的敛散性.
1.;
2.
3. ；
4。

五、判别函数序列或函数项级数在所给范围上的一致收敛性(每题5分，共10分）
1.
2。

;
六。

应用题型（14分）
1。

一容器的内表面为由绕y轴旋转而形成的旋转抛物面，其内现有水（），若再加水7（),问水位升高了多少米？
2. 把由，x轴,y轴和直线所围平面图形绕x轴旋转得一旋转体,求此旋转体的体积，并求满足条件的.
七．证明题型（10分）
已知与均在[a，b]上连续，且在［a,b］上恒有,但不恒等于，证明：
2013 --—2014学年度第二学期
《数学分析2》B试卷
学院班级学号（后两位）姓名
一、判断题（每小题2分,共18分，正确者括号内打对勾，否则打叉）
1。

对任何可导函数而言,成立.（)
2。

若函数在上连续,则必为在上的原函数。

（)
3。

若级数收敛，必有。

（）
4.若,则级数发散。

5.若幂级数在处收敛，则其在[—2,2]上一致收敛。

（)
6.如果在以a，b为端点的闭区间上可积，则必有。

（）
7.设在上有定义，则与级数同敛散.（）
8。

设在任子区间可积,b为的暇点，则与
同敛散。

（）
9。

设在上一致收敛，且存在，则。

二.单项选择题（每小题3分，共15分）
1。

函数在上可积的必要条件是（）
A 连续
B 有界
C 无间断点
D 有原函数
2。

下列说法正确的是（）
A。

和收敛，也收敛
B。

和发散，发散
C。

收敛和发散，发散
D. 收敛和发散，发散
3. 在收敛于，且可导,则（)
A. B。

可导
C. D。

一致收敛，则必连续
4。

级数
A.发散B。

绝对收敛C。

条件收敛 D. 不确定
5。

幂级数的收敛域为：
A。

(—0.5，0.5) B。

［—0.5,0。

5] C。

D。

三。

求值与计算题（每小题4分,共16分)
1.
2。

3。

4。

四.判别敛散性（每小题4分,共16分）
1.；
2.
3.。

4。

五。

判别在所示区间上的一致收敛性（每小题5分，共10分)
1.
2.
六.应用题型（16分)
1。

试求由曲线及曲线所平面图形的面积.
2.将表达为级数形式，并确定前多少项的和作为其近似，可使之误差不超过十万分之一.
七.（9分)证明：若函数项级数满足：
（ⅰ) ；（ⅱ）收敛.则函数项级数在D上一致收敛.
014 --—2015学年度第二学期
《数学分析2》A卷答案
三.判断题（每小题3分,共21分）
1。

✔2。

✘3。

✔ 4.✘5。

✔ 6. ✔7。

✘
二。

单项选择题（每小题3分，共15分）
B, C, C，D, A
三.计算与求值（每小题5分，共10分)
1。

解：原式=
=--——--—---——--—-—-—--——-———2分
=—-————-———---—-——-——————-3分
==---————----—-——-----—-----—5分
2.原式= --—————-—-——————-----—-——---——-2分
= —-—————-—-——-———----4分
= -----——---—------——--—---—-5分
四. 判断敛散性（每小题5分，共15分)
1。

——---—------—-————-——-—-—--—2分
且-——-————-———-————--—--————---———-3分
由柯西判别法知，收敛.--————---5分
2。

由比式判别法
-——--4分
故该级数收敛. -——————-——-----—---—---——--————5分
3. 解：由莱布尼兹判别法知，交错级数收敛-——----——--2分
又知其单调且有界，—------——4分
故由阿贝尔判别法知，级数收敛. -———————-—————----———-———---——-—5分
五。

1。

解：极限函数为-—--————-—----——-—--—2分又——--———-—----—-—————-----——-—---—4分
故知该函数列在D上一致收敛。

-—-—-—-——-—5分
2。

解:因当时，———-——-—-————-——-—————3分而正项级数收敛，—----—-———-————--—--—--————--4分
由优级数判别法知，该函数列在D上一致收敛。

--—-—----—-———-5分
六．已知一圆柱体的的半径为R,由圆柱下底圆直径线并保持与底圆面角
向斜上方切割，求所切下这块立体的体积。

（本题满分10分）
5分
则第一象限等腰边的方程为-—---—--——-—————-——--——-—-—--—----——3分
压力微元为:
故所求为
————-—-—-——-—-—-———-——--—-——---—-——-—--—7分
——---—10分
八。

证明:每一项在上连续，
又而收敛
所以在上一致收敛,-—--—-—-———-—--——--——-—---—-———3分
故由定理结论知
在上连续，-—--———-———--——-———-——--———-—-5分
再者而收敛
所以在上一致收敛,结合在上的连续性
可知在上有连续的导函数。

—--——-—-—---—---9分
2014 -——2015学年度第二学期
《数学分析2》B试卷
学院班级学号（后两位）姓名
二、判断题（每小题3分，共21分，正确者括号内打对勾，否则打叉）
1。

若为偶函数，则必为奇函数（)。

2.为符号函数，则上限函数y=在上连续（）.
3.若收敛，必有（）.
4。

若在区间I上内闭一致收敛，则在区间I上处处收敛（)。

5。

若在上内闭一致收敛，则在上一致收敛( ）。

6.若数项级数绝对收敛，则经过任意重拍后得到的新级数仍然绝对收敛，并且其和不变( ）。

7.若函数项级数在上的某点收敛,且在上一致收敛，则也在上一致收敛（).
二.单项选择题（每小题3分，共15分）
1. 函数是奇函数，且在上可积，则（）
A B
C D
2.关于积分，正确的说法是（）
A。

此为普通积分B。

此为瑕积分且瑕点为0
C。

此为瑕积分且瑕点为1 D。

此为瑕积分且瑕点为0，1
3.就级数（）的敛散性而言，它是（）
A. 收敛的B。

发散的
C。

仅时收 D. 仅时收敛
4。

.函数列在区间上一致收敛于0的充要条件是( ）
A. B.
C。

D。

5.幂级数的收敛域为：
A。

（—0.5，0.5) B。

［-0.5,0.5］C。

D。

三。

求值与计算题（每小题5分，共10分)
1.
2。

设，求
四.判别敛散性（每小题5分，共10分）
1。

2.
五。

判别在所示区间上的一致收敛性(每小题5分，共15分）1。

.
.
2。

3。

六. 设平面区域D是由圆，抛物线及x轴所围第一象限部分，求由D绕y轴旋转一周而形成的旋转体的体积（本题满分10分）
七。

现有一直径与高均为10米的圆柱形铁桶（厚度忽略不计）,内中盛满水，求从中将水抽出需要做多少功？（本题满分10分）
八．设是上的单调函数，证明：若与都绝对收敛，则在上绝对且一致收敛。

（本题满分9分）。