【新】宁夏石嘴山市第三中学2018-2019学年高二数学上学期期中试题 文

石嘴山市三中高二年级第一学期期中数学(文科）试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的．
1、下列语句中是命题的为 ①x 2
－3＝0；②与一条直线相交的两直线平行吗？③3＋1＝5；④∀x ∈R,5x －3>6. A ．①③ B ．②③ C ．②④ D ．③④
2、命题“若△ABC 不是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等”的逆否命题是
A ．若△ABC 是等腰三角形，则它的任何两个内角相等
B ．若△AB
C 中任何两个内角不相等，则它不是等腰三角形 C ．若△ABC 中有两个内角相等，则它是等腰三角形
D ．若△ABC 中任何两个内角相等，则它是等腰三角形
3、已知命题p ：∀x >0，总有(x ＋1)e x
>1，则﹁
p 为
A ．∃x 0≤0，使得(x 0＋1)e x 0≤1
B ．∃x 0>0，使得(x 0＋1)e x 0
≤1 C ．∀x >0，总有(x ＋1)e x
≤1 D ．∀x ≤0，使得(x ＋1)e x
≤1
4、已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，则a 20等于
A ．－1
B ．1
C ．3
D ．7
5、“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122，若第一个
单音的频率f ，则第八个单音频率为
A.f 32
B.f 3
22 C. f 1252 D.f 127
2
6.已知椭圆x 2
25＋y 2
m
2＝1(m >0)的左焦点为F 1(－4,0)，则m ＝ A ．2
B ．3
C ．4
D ．9
7、已知实数1,,9m 成等比数列，则椭圆2
21x y m
+=的离心率为
A ．2 C 2 D 8、命题：若y x >，则y x tan tan >；命题：xy y x 22
2≥+．下列命题为假命题的是
A ．q p ∧
B ．q p ∨
C ．p ⌝
D ．q
9、已知()+∞∈,0,y x ，且满足
1211=+y
x ，那么y x 4+的最小值为 A ．223- B ．26+ C ．223+ D ．26-
10、若0a >，且1a ≠，则“函数x
y a =在R 上是减函数”是“函数3
(2)y a x =- 在R 上是增函数 ”的
A ． 充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ． 充分必要条件
D ． 既不充分也不必要条件
11、设集合(){}
2,4,1,≤->+≥-=ay x y ax y x y x A 则
A. 对任意实数a ，()A ∈1,2
B. 对任意实数a ，()A ∉1,2
C. 当且仅当a <0时, ()A ∉1,2
D. 当且仅当2
3
≤
a 时, ()A ∉1,2 12、已知椭圆E ：122
22=+b
y a x (a>b>0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y
＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若4=+BF AF ，点M 到直线l 的距离不小于4
5，则椭圆E 的离
心率的取值范围是
A.⎥⎦⎤ ⎝⎛23,0
B.⎥⎦⎤ ⎝⎛43,0
C.⎪⎪⎭
⎫⎢⎣⎡1,23 D.⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,43
二、填空题： 本大题共4小题，每小题5分.
13．椭圆19
42
2=+y x 的焦距长是________ 14. 若命题“∃t ∈R ，022
<--a t t ”是假命题，则实数a 的取值范围是________．
15. 已知P 为椭圆2
21214
x y F F +=上任意一点，，是椭圆的两个焦点，则：12PF PF ⋅的最大值为_________； 16、下列四种说法：
①命题“∀x ∈R ，都有x 2
－2<3x ”的否定是“∃x ∈R ，使得x 2
－2≥3x ”；
②命题“在数列{}n a 中，若数列{}n a 为等比数列,则3122a a a ⋅=”的逆命题为真命题；
③若“p q ∨”为真命题，则“()p q ∧⌝”也为真命题 ④若a ，b ∈R ，则2a <2b
是log 12a >log 12b 的充要条件；
其中正确的说法是________．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.
17．（10分）设命题p ：实数x 满足0342
2<+-a ax x ，其中0>a .
命题q ：实数x 满足⎩⎨⎧>-+≤--0
820
622x x x x
(1) 当a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围； (2) 若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．
18．（12分）设{}n a 是等差数列，且2ln 1=a ,2ln 532=+a a . (1) 求{}n a 的通项公式； (2) 求n a a a e e e +++ 21
.
19.（12分）某工厂修建一个长方体形无盖蓄水池,其容积为4800立方米,深度为3米.池底每平方米的造价为150元,池壁每平方米的造价为120元。

设池底长方形长为x 米. (1) 求底面积，并用含x 的表达式表示池壁面积； (2) 怎样设计水池能使总造价最低?最低造价是多少?
20. （12分）已知动点P 与平面上两定点(A B 连线的斜率的积为定值1
2
-. (1) 试求动点P 的轨迹方程C .
(2) 设直线1:+=kx y l 与曲线C 交于M 、N 两点，当3
2
4=MN 时，求直线l 的方程.
21. （12分）在等比数列{a n }中，a n >0 (
n N *
∈)，公比q ∈(0,1)，且252825351=++a a a a a a ,
又3a 与5a 的等比中项为2. (1) 求数列{a n }的通项公式；
(2) 设2log n n b a =，数列{b n }的前n 项和为S n ，当S 11＋S 22＋…＋S n
n 最大时，求n 的值.
22．（12分）已知椭圆C 的两个顶点分别为()()0,2,0,2B A -，焦点在x ． (1) 求椭圆C 的方程；
(2) 点D 为x 轴上一点，过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M ，N ，过D 作AM 的垂线交
BN 于点E .求证：△BDE 与△BDN 的面积之比为4:5．
．
石嘴山市三中高二年级第一学期期中数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的．
1、下列语句中是命题的为
( )
①x 2
－3＝0；②与一条直线相交的两直线平行吗？③3＋1＝5；④∀x ∈R,5x －3>6. A ．①③ B ．②③ C ．②④ D ．③④
答案：D
2、命题“若△ABC 不是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等”的逆否命题是( ) A ．若△ABC 是等腰三角形，则它的任何两个内角相等 B ．若△ABC 中任何两个内角不相等，则它不是等腰三角形 C ．若△ABC 中有两个内角相等，则它是等腰三角形 D ．若△ABC 中任何两个内角相等，则它是等腰三角形 答案：C
3、已知命题p ：∀x >0，总有(x ＋1)e x
>1，则﹁
p 为 ( ) A ．∃x 0≤0，使得(x 0＋1)e x 0
≤1 B ．∃x 0>0，使得(x 0＋1)e x 0
≤1 C ．∀x >0，总有(x ＋1)e x
≤1 D ．∀x ≤0，使得(x ＋1)e x ≤1 答案：B
4、已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，则a 20等于 ( )
A ．－1
B ．1
C ．3
D ．7
解析：选 B.∵a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝105，∴a 3＝35，∴a 2＋a 4＋a 6＝3a 4＝99，∴a 4＝33，∴d ＝a 4－a 3＝33－35＝－2，
∴a 20＝a 3＋17d ＝35＋17×(－2)＝1.
5、“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122，若第一
个单音的频率f ，则第八个单音频率为
（ ）
A.f 32
B.f 3
22 C. f 1252 D.f 127
2
【答案】D
6、已知椭圆x 2
25＋y 2
m
2＝1(m >0)的左焦点为F 1(－4,0)，则m ＝ ( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．9 答案：B
7、已知实数1,,9m 成等比数列，则椭圆2
21x y m
+=的离心率为 （ ）
A
．2 C
2 D
8、命题：若y x >，则y x tan tan >；命题：xy y x 222≥+．下列命题为假命题的是 A ．q p ∧ B ．q p ∨ C ．p ⌝ D ．q （ ） 【答案】A
9、已知()+∞∈,0,y x ，且满足
1211=+y
x ，那么y x 4+的最小值为 （ ） A ．223- B ．26+ C ．223+ D ．26-
【答案】C
备选：已知数列{}n a 是各项均为正数的等差数列，其前9
2814a a +的最小值为
A ．8
B ．9
C ．12
D ．16 【答案】B
10、若0a >，且1a ≠，则“函数x y a =在R 上是减函数”是“函数3
(2)y a x =- 在R 上是增函数 ”的
（ ）
A ． 充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ． 充分必要条件
D ． 既不充分也不必要条件
备选：在焦距为2c 的椭圆22
22:1(0)x y M a b a b
+=>>中，12,F F 是椭圆的两个焦点，则
“b c <”是“椭圆M 上至少存在一点P ，使得12PF PF ⊥”的
（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件
（D ）既不充分也不必要条件
【答案】A
11、设集合(){}
2,4,1,≤->+≥-=ay x y ax y x y x A 则 （ ） A. 对任意实数a ，()A ∈1,2 B. 对任意实数a ，()A ∉1,2 C. 当且仅当a <0时, ()A ∉1,2 D. 当且仅当2
3
≤a 时, ()A ∉1,2 【答案】D 【解析】分析：求出
及
所对应的集合，利用集合之间的包含关系进行求解.
点睛：此题主要结合充分与必要条件考查线性规划的应用，集合法是判断充分条件与必要条件的一种非常有效的方法，根据
成立时对应的集合之间的包含关系进行判断. 设
，若
，则
；若
，则
，当一个问题从正面思考很难
入手时，可以考虑其逆否命题形式.
备选：已知函数()()33f x x x x R =+∈，若不等式()
()2
240f m mt f t ++<对任意实数1
t ≥恒成立，则实数m 的取值范围是 （ ）
A ． (),-∞⋃+∞
B ． ,2⎛-∞- ⎝⎭
C ． (2,-
D ． (,-∞
【答案】D
【解析】由题意得， ()()f x f x -=-，则()f x 为奇函数且()f x 在R 上单调递增，不等式
()
()2240f m mt f t ++<对任意实数1t ≥恒成立，则224m mt t +<-在1t ≥恒成立，分离
参数2
44
22t m t t t
<-
=-++，
又因为2t t +≥
t =取等号），
则m <故选D.
12、已知椭圆E ：122
22=+b
y a x (a>b>0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y
＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于4
5，则椭圆E 的离
心率的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，
32 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34 C.⎣⎢⎡⎭
⎪
⎫32，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，1 解析：根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得A ，B 两点到椭圆左、右焦点的距离和为4a ＝2(|AF |＋|BF |)＝8，所以a ＝2.又d ＝
|3×0－4×b |32
＋－
2
≥45，所以1≤b <2，所以e ＝c
a ＝ 1－
b 2
a
2＝ 1－b 2
4.因为1≤b <2，所以0<e ≤3
2.
答案：A
三、填空题： 本大题共4小题，每小题5分.
13．椭圆19
42
2=+y x 的焦距长是________ 14. 若命题“∃t ∈R ，t 2
－2t －a <0”是假命题，则实数a 的取值范围是________．
(－∞，－1]
15. 已知P 为椭圆2
21214
x y F F +=上任意一点，，是椭圆的两个焦点，则： 12PF PF ⋅的最大值为_________；
解(1) 2
122
1242PF PF PF PF a ⎛+⎫⋅≤==
⎪⎝⎭
故：12PF PF ⋅的最大值是4 16、下列四种说法：
①命题“∀x ∈R ，都有x 2
－2<3x ”的否定是“∃x ∈R ，使得x 2
－2≥3x ”；
②命题“在数列{}n a 中，若数列{}n a 为等比数列,则312
2a a a ⋅=”的逆命题为真命题；
③若“p q ∨”为真命题，则“()p q ∧⌝”也为真命题 ④若a ，b ∈R ，则2a <2b
是log 12a >log 12b 的充要条件；
其中正确的说法是________．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.
17．（10分）已知a >0，a ≠1，设p ：函数y ＝log a x 在(0，＋∞)上单调递减，q ：函数y ＝x 2
＋(2a －3)x ＋1的图象与x 轴交于不同的两点．如果p ∨q 真，p ∧q 假，求实数a 的取值范围．
解 对于命题p ：当0<a <1时，函数y ＝log a x 在(0，＋∞)上单调递减．
当a >1时，函数y ＝log a (x ＋3)在(0，＋∞)上单调递增，所以如果p 为真命题，那么0<a <1. 如果p 为假命题，那么a >1.
对于命题q ：如果函数y ＝x 2
＋(2a －3)x ＋1的图象与x 轴交于不同的两点， 那么Δ＝(2a －3)2
－4>0， 即4a 2
－12a ＋5>0⇔a <12，或a >52.
又∵a >0，所以如果q 为真命题， 那么0<a <12或a >5
2
.
如果q 为假命题，那么12≤a <1，或1<a ≤5
2.
∵p ∨q 为真，p ∧q 为假，∴p 与q 一真一假． 如果p 真q 假，那么⎩⎪⎨⎪
⎧
0<a <1，12≤a <1，或1<a ≤5
2，
⇔1
2
≤a <1. 如果p 假q 真，那么⎩
⎪⎨⎪
⎧
a >1，0<a <12，或a >5
2，⇔a >5
2
.
∴a 的取值范围是[12，1)∪(5
2
，＋∞)．
17．（10分）设命题p ：实数x 满足x 2
－4ax ＋3a 2
<0，其中a >0.命题q ：实数x 满足
⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2
－x －6≤0，
x 2
＋2x －8>0.
(1)当a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围； (2)若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围． 解 (1)由x 2
－4ax ＋3a 2
<0，得a <x <3a (a >0)． 当a ＝1时，1<x <3，所以p ：1<x <3.
由⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2
－x －6≤0，x 2
＋2x －8>0，解得2<x ≤3，所以q ：2<x ≤3.
若p ∧q 为真，则p 真且q 真，所以实数x 的取值范围是{x |2<x <3}．
(2)设A ＝{x |x 2
－4ax ＋3a 2
<0，a >0}＝{x |a <x <3a ，a >0}，B ＝⎩⎨⎧
x ⎪⎪⎪⎭
⎬⎫
⎩
⎪⎨⎪⎧ x 2
－x －6<0，
x 2
＋2x －8>0＝
{x |2<x ≤3}．
根据题意可得B A ，则0<a ≤2且3a >3，即1<a ≤2. 故实数a 的取值范围是{a |1<a ≤2}．
18．（12分）设{}n a 是等差数列，且2ln 1=a ,2ln 532=+a a . （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求n a a a e e e
+++ 21
.
【答案】（I ）
（II ）
【解析】（1）设公差为，根据题意可列关于的方程组，求解
，代入通项公式可得；（2）
由（1）可得
，进而可利用等比数列求和公式进行求解.
18．（12分）设{a n }是公比大于1的等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和.已知S 3＝7，且a 1＋3,3a 2，a 3＋4构成等差数列. (1)求数列{a n }的通项；
(2)令b n ＝ln a 3n ＋1，n ＝1,2，…，求数列{b n }的前n 项和T n . 考点 等差等比数列综合应用 题点 等差等比基本量问题综合
解 (1)由已知得⎩
⎪⎨⎪
⎧
a 1＋a 2＋a 3＝7，a 1＋＋a 3＋
2＝3a 2，
解得a 2＝2.
设数列{a n }的公比为q ，由a 2＝2，可得a 1＝2
q
，a 3＝2q ，
又S 3＝7，可知2q
＋2＋2q ＝7，即2q 2
－5q ＋2＝0.
解得q 1＝2，q 2＝1
2.由题意得q ＞1，∴q ＝2，∴a 1＝1.
故数列{a n }的通项为a n ＝2
n －1
.
(2)由于b n ＝ln a 3n ＋1，n ＝1,2，…， 由(1)得a 3n ＋1＝23n
，∴b n ＝ln 23n
＝3n ln 2. 又b n ＋1－b n ＝3ln 2，∴{b n }是等差数列， ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝n b 1＋b n
2
＝
3n n ＋
2
·ln 2.
故T n ＝
3n n ＋
2
ln 2.
19.（12分）某工厂修建一个长方体形无盖蓄水池,其容积为4800立方米,深度为3米.池底每平方米的造价为150元,池壁每平方米的造价为120元。

设池底长方形长为x 米. （Ⅰ）求底面积，并用含x 的表达式表示池壁面积； （Ⅱ）怎样设计水池能使总造价最低?最低造价是多少? 解：（Ⅰ）设水池的底面积为1S ，池壁面积为2S ,
则有14800
16003
S =
=（平方米）, 可知，池底长方形宽为1600
x
米，则
216001600
666()S x x x x
=+⨯=+--------------------------5分
（Ⅱ）设总造价为y ，则
1600
150********()24000057600297600y x x
=⨯+⨯+
≥+= 当且仅当x
x 1600
=
,即40=x 时取等号, 所以40=x 时,总造价最低为297600元.
答：40=x 时,总造价最低为297600元. --------------------------10分
20. （12分）已知动点P 与平面上两定点(A B 连线的斜率的积为定值1
2
-. （Ⅰ）试求动点P 的轨迹方程C .
（Ⅱ）设直线1:+=kx y l 与曲线C 交于M 、N 两点，当|MN |=3
时，求直线l 的方程.
【解析】 (1)设动点P 的坐标是（x ，y ），由题意得：k PA k PB =12
-
1
2=-，化简，整理得2212x y +=
故P 点的轨迹方程是2
212
x y +=，（x (2)设直线l 与曲线C 的交点M (x 1，y 1)，N （x 2，y 2）， 由22
1
22
y kx x y =+⎧⎨
+=⎩得，（1+2k 2）x 2-4k 2x +2k 2
-2=0
∴x 1+ x 2=22412k k +，x 1 x 2=22
22
12k k
-+
|AB 3
， 整理得，7k 4
-2k 2
-5=0，解得k 2
=1，或k 2
=-5
7
（舍） ∴k =±1,经检验符合题意。

∴直线l 的方程是y =±x +1即：x -y +1=0或x +y -1=0
21. （12分）在等比数列{a n }中，a n >0 (n ∈N
)，公比q ∈(0,1)，且a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25，又a 3与a 5的等比中项为2. (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝log 2a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，当S 11＋S 22＋…＋S n
n 最大时，求n 的值.
考点 数列综合问题 题点 数列与不等式的综合 解 (1)∵a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25，
∴a 23＋2a 3a 5＋a 2
5＝25， 又a n >0，∴a 3＋a 5＝5. 又a 3与a 5的等比中项为2， ∴a 3a 5＝4，而q ∈(0,1)， ∴a 3>a 5，∴a 3＝4，a 5＝1.
∴q ＝12，a 1＝16，∴a n ＝16×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝25－n
.
(2)b n ＝log 2a n ＝5－n ， ∴b n ＋1－b n ＝－1，
∴{b n }是以b 1＝4为首项，－1为公差的等差数列， ∴S n ＝
n
－n
2
， ∴S n n ＝9－n 2
， ∴当n ≤8时，S n n
>0； 当n ＝9时，S n n
＝0； 当n >9时，S n n
<0.
∴当n ＝8或9时，S 11＋S 22＋S 33＋…＋S n
n
最大.
22．（12分）已知椭圆C 的两个顶点分别为A (−2,0)，B(2,0)，焦点在x （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）点D 为x 轴上一点，过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M ，N ，过D 作AM 的垂线交BN 于点E .求证：△BDE 与△BDN 的面积之比为4:5．
【答案】（Ⅰ）2
214
x y += ；（Ⅱ）详见解析.
（Ⅱ）设(,)M m n ，则(,0),(,)D m N m n -. 由题设知2m ≠±，且0n ≠.
直线AM 的斜率2AM n k m =
+，故直线DE 的斜率2
DE m k n
+=. 所以直线DE 的方程为2
()m y x m n
+=--.
备选：22．（12分）设椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的右顶点为A ，上顶点为B ．已知椭圆的离
AB （1）求椭圆的方程；
（2）设直线():0l y kx k =<与椭圆交于P ，Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限．若BPM △的面积是BPQ △面积的2倍，求k 的值．
【答案】（1）22194x y +=；（2）1
2
-．
【解析】（1）设椭圆的焦距为2c ，由已知得225
9c a
=，又由222a b c =+，可得23a b =．
由AB 从而3a =，2b =．所以，椭圆的方程为22
194
x y +
=． （2）设点P 的坐标为()11,x y ，点M 的坐标为()22,x y ，由题意，210x x >>， 点Q 的坐标为()11,x y --．由BPM △的面积是BPQ △面积的2倍，可得PM PQ =2， 从而()21112x x x x -=--⎡⎤⎣⎦，即215x x =．
易知直线AB 的方程为236x y +=，由方程组236x y y kx +==⎧⎨⎩消去y ，可得26
32x k =+．
由方程组22
194x y y kx
⎧+
==⎪⎨⎪⎩
，消去y
，可得1x =215x x =，
()532k +，两边平方，整理得2182580k k ++=，解得89k =-，或1
2k =-．
当8
9
k =-时，290x =-<，不合题意，舍去；
当12k =-时，212x =，1125x =，符合题意．所以，k 的值为1
2
-．。