河北大学自控课件

ຫໍສະໝຸດ x0 (x x0 )2
增量较小时略去其高次幂项，则有
x0
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x y y0 f (x) f (x0 ) f '(x0 )( x x0 )
y Kx
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例 单摆运动
非线性项
根据牛顿运动定律可以直接导出此系统的动态方程为
θl Mgsinθ
Ml d 2 l d Mg sin 0
c 1 c a 1
—过原点，斜率k 1
a 1
的直线
据此，求得 取a 不同值时的等倾线：
当 a 取不同的值时，就得到不同斜率的
等倾线，在每一条等倾线上作一系列相应
斜率为 a 的短线段。
a 2 a 1.2 a 1
a0
k 1 k 5 k
k 1
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第八章 非线性控制系统
8.1 非线性控制系统概述 8.2 相平面法 8.3 描述函数法
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8.1 非线件控制系统概述
一、为什么研究非线性控制系统
理想的线性系统并不存在，实际系统往往都是非线性系统，只是做了一些合 理的假设以后把他们看成线性系统来处理。但是，这种线性方法并不是在一切 情况下都适用的。
不同的初始状态对应不同的相轨迹—相轨迹簇。
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相平面 相轨迹簇
c
相平面法
相平面图——根据相平面图分析系统的运动特征
t1
c(t )
t4
t2
t3
t
0
c
t1 t2 t4
t3
c(t )
tttt1234
t
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例8-1 某弹簧-质量运动系统如图所示，若初始条件为 c(0) c0 ， c(0) c0 ，试确定系统自由运动的相轨迹 。
系统中的非线性主要存在于两个部分 1）控制仪表和传动机构
2）对象本身的特性
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小偏差线性化：
实质：将连续变化的非线性函数y=f(x)在平衡工作点（x0 y0）展开
为泰勒级数：
y
y=f(x)
y
f
(
x0
)

df (x) dx
x0
(
x

x0
)

1 2!
d
2 f (x) dx2
在许多情况下，上述条件并不能够满足，如：存在有本质非线性情况。
1、饱和特性 放大器等很多元件都具有饱和特性
u
ke(t) x(t) ka ka
e(t) a e(t) a e(t) a
2、死区特性 测量元件，电机等都有死区
k －a
0 ae
u
x(t)

0
k[e(t) a sgne(t)]
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二、相轨迹的性质：
（1）相轨迹上每一点斜率
c f (c, c) c dc dc dc dc c f (c, c)
dt dc dt dcc 0
dc dc
f (c, c) c
—相轨迹斜率
（2）相轨迹的奇点
相平面法是推广应用时域分析法的一种图解分析方法。该方法既能提供
稳定性信息，又能提供时间响应信息，特别适用于分析非线性系统在不同初 始条件下或非周期信号输入(脉冲、阶跃、斜坡等)作用下的瞬态响应特性。 但相平面法只限于一阶、二阶系统的分析和设计。
(2) 描述函数法
描述函数法是基于频域分析法和非线性特性谐波线性化的一种图解分析 方法。特别适用于分析非线性系统的稳定性或自激振荡 。
dt 2
dt
这是一输入为零，输出量为摆幅的二阶非线性微分方程。当 控制系统处在自动调节状态的小摆幅下运行时，可应用小偏 Mg 差线性化方法将非线性系统线性化。
单摆运动示意图
sin sin( 0 ) sin 0 cos 0
平衡状态为 0 0 sin
0
c(t )—横坐标 c(t)—纵坐标 （ c(t) ， c(t)）直角坐标平面称为相平面
在一定的初始条件(c0 ,c0 )下，求解 c f (c, c)
c(t )
c(t )
相平面
c(t )
相变量从初始时刻 t0 对应的状态点起(c0 , c0 )，随着时间 t 的推移，
状态点在相平面上运动形成的曲线称为相轨迹 。
同时满足 c 0 ，f (c, c) 0 的点称为奇点。
当相轨迹同时满足 c 0 ，f (c, c) 0时 ，该点相轨迹的斜率为0/0 ，
是一个不定值，因此通过该点的相轨迹就有无数多条。
如果在一条线上满足 c ，0 f (c, c) 则0 该直线为奇线 。
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描述系统自由运动的微分方程式为
k 1 m 1
c c 0 c dc c
dc 分离变量积分得：
c
c0
0 c0
c
c
c 2 c 2 (c02 c02 )
平衡位置
该系统自由运动的相轨迹为以坐标原点为圆心、 c02 c02 为半径的圆
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3、 b 0 取 a
2b
（1）0 1
c
（3） 法（圆弧近似法）
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四、线性系统的相轨迹 一阶线性系统
一阶线性系统自由运动的微分方程：Tc c 0
c
c
c 1 c T
c
T<0
不稳定
c
T>0
稳定
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二阶线性系统
二阶线性系统自由运动的微分方程： c ac bc 0
2、稳定性分析复杂。
c(t)
例：一阶非线性系统：
c=1
c c2 c c(c 1)
c0>1 c0<1
两个平衡状态 c 0 ，c 1
c=0
t
其解为
c(t)

1
c0 e t c0 c0et

1
1 1 c0
et
c0
平衡状态 c 0是稳定的平衡状态 —小范围稳定 c0 1
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（3）相轨迹正交于 c 轴
在 c 轴上 c 0，因而除去奇点外，在这些点上的斜率为∞，这
表示相轨迹与相平面的横轴正交。
（4）相轨迹的运动方向
在相平面的上半平面，c 0
随着时间的推移，系统状态沿相轨迹的运动方
向是 c 的增大方向，即向右运动。
在相平面的下半平面，c 0
(3) 逆系统法
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8.2 相平面法
一、相平面的基本概念
描述二阶时不变系统的常微分方程为c f (c, c)
f (c, c) 是c(t)和 c(t)的线性或非线性函数
c(t )
c(t )
c(t )
——系统运动的相变量(状态变量)
1、 b 0
a a2 4b
1,2
2
c
c 1c
2
1
c
c 2c
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2、 b 0 1 0, 2 a
c
c ac 0 c 0 —奇线
2
1
dc a dc
c
c
发散
a0
c
收敛
a0
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平衡状态 c 1 是不稳定的平衡状态
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总结： 对于线性系统，只有一个平衡状态，而且其稳定性只取决于系统本身 的结构和参数，与外作用和初始条件无关。对于非线性系统，系统可能 存在多个平衡状态，系统的稳定性需要考虑各个平衡状态的稳定性，而 且其平衡状态的稳定性与外作用和初始条件有关。
随着时间的推移，系统状态沿相轨迹的运动方
向是 c 的减小方向，即向左运动。
c c 0
0
c
c 0
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三、相轨迹的绘制方法
（1）解析法
基本思想： 直接由微分方程获得 c(t) 和 c(t) 的解析关系式 。 （2）等倾线法
基本思想： 先确定相轨迹的等倾线，进而绘出相轨迹的切线方向场，然 后从初始条件出发，沿方向场逐步绘制相轨迹。（不需求解微分方程）
当相轨迹运动至特殊的等倾线时，将沿着等倾线收敛或发散——渐近线
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c(t) bc(t) c(t) a
两条特殊的等倾线斜率满足： 2 a b 0
1,2 a
a2 4b 2
——二阶线性系统自由运动的微分方程
所对应的特征方程的特征根
对应的特征方程的特征根
1,2 a
a2 4b 2
求其等倾线方程：
c 2 nc n2c 0
等倾线方程
令
dc dc


ac c
bc


c(t) bc(t)
a
等倾线斜率为： k b
a
等倾线斜率＝过等倾线的相轨迹的斜率
两条特殊的等倾线： c(t) bc(t) c(t) a
c(t)
1
0
-1
t
非线性系统的 自持振荡
当扰动使 c 1 时 2(1 c2 ) 0 —系统具有负阻尼
此时系统从外部获得能量，c(t) 的运动呈发散形式
当扰动使 c 1 时 2(1 c2 ) 0 —系统具有正阻尼 此时系统消耗能量 ，c(t) 的运动呈收敛形式
当 c 1 时，系统为零阻尼，其运动呈等幅振荡形式
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a 1
c
a 1.2
a0
a 2
c
在绘制相轨迹时，只要从初 始点出发，沿着方向场依次连 接各等倾线上的短线段。就得 到系统在确定初始条件下的完 整的相轨迹。由图可见，由任 何初始状态出发的相轨迹是一 卷向坐标原点的螺旋线。
使用等倾线法绘制相轨迹应注意：坐标轴小和应选用相同的比例尺，以 便于根据等倾线斜率准确绘制等倾线上一点的相轨迹切线；一般地，等倾 线分布越密，则所作的相轨迹越准确。但随所取等倾线的增加，绘图工作 量增加，同时也使作图产生的积累误差增大。为提高作图精度，可采用平 均斜率法，即取相邻两条等倾线所对应的斜率的平均值为两条等倾线间直 线的斜率。
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例8-3 试用等倾线法绘制二阶系统的相轨迹图。
a 1 a0
c
a 1.2
c 2 nc n2c 0 0 1
dc dc


n2c
2
c
nc

a
a 2
c n2 c —等倾线方程 a 2n
，
c 设 0.5 n 1 ，等倾线方程为
1 e(t) 0 sgne(t) 1 e(t) 0
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e(t) a e(t) a
k －a
0a
e
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二、非线性控制系统的特点
1、非线性系统的重要特征是不满足线性叠加原理。
由于描述非线性系统运动的数学模型为非线性微分方程，因此叠加原理 不能应用。故能否应用叠加原理是两类系统的本质区别。
3、可能存在自激振荡现象 所谓自激振荡是指没有外界周期变化信号的作用时，系统内产
生的具有固定振幅和频率的稳定周期运动。
范德波尔方程 c 2(1 c2 )c c 0 0
非线性阻尼项
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c 2(1 c2 )c c 0
系统能克服扰动的影响，保持幅值为1的等幅振荡——自持振荡
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4、频率响应发生畸变 非线性系统的频率响应除了含有与输入同频率的正弦信号分量(基
频分量)外，还含有关于 的高次谐波分量，使输出波形发生非线性
畸变。
例：死区非线性特性
三、非线性系统的分析与设计方法
(1) 相平面法
Ml d 2 ( ) l d ( ) Mg ( ) 0
dt 2
dt
Ml
d 2
dt 2
l
d
dt
Mg
0

线性二阶微分方程
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小偏差线性化条件： （1）系统中的变量在某一额定工作点附近做微小变化。 （2）非线性特性在此工作点可导，也就是曲线光滑。
等倾线：相平面上相轨迹具有相等斜率的点的连线。
c f (c, c)
dc dc
f (c, c) c
该方程给出了相轨迹在相平面上任一点 (c, c) 处切线的斜率。
取相轨迹切线的斜率为某一常数 a ，得等倾线方程 ：
c f (c, c) a
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对于线性系统，等倾线为直线，非线性 系统的等倾线为曲线。