《概率论与数理统计》习题一参考答案 概率论的基本概念(熊万民、杨波版)

概率论与数理统计（熊万民、杨波版）第一章答案
1、 写出下列随机试验的样本空间
（1） 连续抛掷一枚硬币，直至出现正面为止，观察抛掷的次数。

（2） 连续抛掷一枚硬币，直至出现正面为止，观察正反面出现的情况。

（3） 连续抛掷一个骰子直至6个结果中一个结果出现2次，记录抛掷次数。

（4） 抛一枚硬币，若垂涎正面H 则再抛一次，若出现反面T,则再抛一颗骰子，观察出现
的各种结果
解：(1){1,2,3},(2){,,,
}
(3){2,3,4,5,6,7},(4){,,1,2,3,4,5,6}
H TH TTH HH HT T T T T T T Ω=Ω=Ω=Ω=
2、一位工人生产4个零件，以事件i A 表示他生产的第(1,2,3,4)i i =个零件是不合格品，请用i A 表示如下事件：（1）全是合格品；（2）全是不合格品；（3）至少有一个零件是不合格品；（4）恰好有一个零件是不合格品。

解：123412341234(1),(2),(3)A A A A A A A A A A A A
(4)1234
123412412343A A A A A A A A A A A A A A A A
3、请叙述下列事件的对立事件，（1）A=”掷2枚硬币，皆为正面”；（2）B=“射击3次，皆命中目标“；（3）C=”加工4个产品，至少有一个正品“。

解：（1）A 的对立事件A 表示“掷2枚硬币，至少出现一次反面” （2）B 的对立事件B 表示“射击3次，至少有1次没有命中目标” （3）C 的对立事件C 表示“加工4个零件，皆为次品”。

4、设,A B 是互不相容事件，已知()0.4,()0.5,P A P B ==求
(),(),(),()P A B P AB P AB P A B 。

解：因为,A B 互不相容,所以
()()()0.40.50.9()()()()0.4()()1()10.90.1()()1
P A B P A P B P AB P A AB P A P AB P AB P A B P A B P A B P A B =+=+==-=-===-=-===
5、设,,A B C 是三事件，且11
()()(),()()0,(),48P A P B P C P AB P BC P AC ======
求,,A B C 至少有一个发生的概率。

解：()()()()()()()(),
,()()0,()0,11115
()00044488
P A
B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC ABC BC P ABC P BC P ABC P A B C =++---+⊂∴≤=∴=∴=
++---+=。

6、在100,101，…999这900个三位数中任取1个三位数，求不包含数字2的概率？
解：用A 表示事件三位数不包含数字“2”，则111
899
1
900
()C C C P A C = 。

7、在一标准英语字典中有55个由2个不相同的字母所组成的单词，若从26个英文字母中任取2个字母予以排列，求能排成上述单词的概率？ 解：用A 表示事件2个不同字母能组成的55个单词，则226
55()P A A = 。

8、在8位电话号码中，求数字6恰好出现4次的概率？
解：用A 表示事件8位电话号码中数字6恰好出现4次，则341437871
7
999
()10C C C P A C += 。

9、从1个同类产品（其中8个正品，2个次品）中任意抽取3个，试求（1）抽出的3个产品中都是正品的概率；（2）至少1个是次品的概率；（3）仅有1个次品的概率。

解：用A 表示事件抽出的三个产品都是正品，则383107(),15
C P A C ==
用B 表示事件抽出的三个产品至少一个是次品，则8
()()1(),15
P B P A P A ==-=
用C 表示事件抽出的三个产品仅有一个是次品，则12283
107
()15
C C P C C ==。

10、一袋中装有6只球，其中4只白球，2只红球，从袋中取球2次，每次随机取1只，取后不放回，试求（1）取到2只球都是白球的概率；（2）取到2只球颜色相同的概率；（3）取到2只球中至少有1只是白球的概率。

解：用A 表示事件取到的两只球都是白球，则43
()65
P A ⨯=
⨯ ,
用B 表示事件取到的两只球颜色相同，则4321
()6565
P B ⨯⨯=
+
⨯⨯ , 用C 表示事件取到的两只球没有一只白球，则2114
()16515
P C ⨯=-=⨯ .
11、有5个人在第一层进入18层楼的电梯，假设每个人以相同的概率走出任一层（从第二层开始），在5个人在不同层走出的概率是多少？ 解：用A 表示事件5个人在不同层走出电梯，则5
1716151413
()17P A ⨯⨯⨯⨯=。

12、一公司向M 个销售点分发n （n<M ）张提货单，设每张提货单分发给每一销售点是等可能的，每一销售点得到提货单的张数不限，求其中某一特定的销售点得到k （k<n ）张提货单的概率？
解：用A 表示事件某一特定的销售点得到k 张提货单，则(1)()k n k
n n
C M P A M
--= 。

13、从5双不同的鞋子中任取4只，问：这4只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少？
解：用A 表示事件取到的4只鞋子至少有两只配成一双，则1222
5454
10
2()C C C P A C += 。

14、将3个球随机放入4个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为1,2,3的概率。

解：用A 表示事件杯子中球的最大个数为1，则3
432
()4P A ⨯⨯=
， 用B 表示事件杯子中球的最大个数为2，则112433
3()4C C C P B = ，
用C 表示事件杯子中球的最大个数为3，则14
3()4
C P B =。

15、甲、乙两轮船驶向一个不能同时停泊2艘轮船的码头停泊，它们在一昼夜内到达的时间是等可能的，如果甲船的停泊时间是1小时，乙船停泊时间是2小时，求它们中任何一艘船都不需要等候码头空出的概率。

解：设甲乙到达时间分别为,x y ，则样本空间{(,)|024,024},E x y x y =≤≤≤≤
所求事件A 的样本点为1{(,)|1,2}E x y x y y x =-≥-≥ ，
所以222
1
(2223)
2()24
P A += 。

16、某商务服务中心只设有一条对外服务的网线，服务时间是每天8小时，设每个用户的平均服务时间是10分钟，每天有20个用户要求服务，如果在8小时以内，以10分钟为一个服务单元，用户以均等的机会随机在各单元内要求服务，问（1）8小时中不会有用户打不进服务中心的概率；（2）只出现有两个用户在同一单元内试图与服务中心联网的概率？ 解：用A 表示事件8小时不会有用户打不进服务中心，则20
484729
()48P A ⨯⨯⨯=
，
用B 表示只出现有两个用户在同一个单元内试图与服务中心联网事件，则
22020
484730
()48C P B ⨯⨯
⨯=。

17、10个参赛队参加知识竞赛，竞赛采用自己抽题解答后积分的方式进行，每一轮有10道选择题，其中有9道难度中等，另外一题则稍有难度，试求每一轮第k(k=1,2…10)个参赛队抽到有难度的参赛题目的概率。

解：用A 表示每一轮第k 个参赛队抽到稍有难度的参赛题目，则
1k = 时，1(),10
P A =
9810111
(),2,3,,10.10910210110
k P A k k k -+=⨯⨯⨯⨯==-+-+
18、已知111
(),(|),(|)432
P A P B A P A B ===，求()
P A B
解：111
()()(|),
43121
()1
12(),
1(|)62
1111
()()()()46123
P AB P A P B A P AB P B P A B P A B P A P B P AB ==⨯=====+-=+-= 。

19、掷2颗骰子，已知2颗骰子点数之和为7，求其中有一颗为1点的概率。

解：样本空间样本点为{(1,6)(2,5)(3,4)(4,3)(5,2)(6,1)}，用A 表示有一颗为1点，则
1
()3
P A = 。

20、某人忘了电话号码的最后一位数字，因而他随意拨号，试求他拨号不超过3次而接通所需电话的概率。

若已知最后一个数字是奇数，那么此概率又是多少？ 解：用A 表示事件拨号不超过3次，则1919813()10109109810
P A =
++= 。

21、已知在10只晶体管中有2只次品，在其中取2次，每次任取1只，取后不放回，试求下列事件的概率：（1）2只都是正品；（2）2只都是次品；（3）一只是正品，1只是次品；（4）第二次取出的是次品。

解：用A 表示两只都是正品，则87()109P A = ， 用B 表示两只都是次品，则2
1()10
9
P B =
， 用C 表示一只是正品，一只是次品，则8228
()109109P C =
+
， 用D 表示第二次取出的是次品，则2182
()109109
P D =+。

22、设一批产品的一、二、三等品各占60%，30%，10%，现从中任取一件，结果不是三等品，则取到的是一等品的概率是多少？ 解：用,,A B C 分别表示所取出的产品是一、二、三等品，则所求事件概率为
60
()2
100(|)60303()100100
P AC P A C P C ===+ 。

23、已知123,,A A A 为样本空间的划分，且
12123()0.1,()0.5,(|)0.2,(|)0.6,(|)0.1P A P A P B A P B A P B A =====,求1(|)P A B 。

解：因为123,,A A A 为划分，所以3()0.4P A =， 111()()(|)
0.10.
2P A B
P A P B A ==⨯ ， 3
1
()()(|)0.10.20.50.60.
40.1i
i i P B P A
P B A ==
=⨯+⨯+⨯∑， 所以11()0.10.21
(|)()0.10.20.50.60.40.118
P A B P A B P B ⨯=
==⨯+⨯+⨯ 。

24、袋子中有50个乒乓球，其中20个是黄色，30个是白色，今有2人依次随机地从袋子
中各取1个球，求第二个人取到黄色球的概率。

解：用事件A 表示第2个人取到黄色球，则20303020
()50495049
P A =
+。

25、设飞机射击某目标时，能够飞到距离目标400m ，200m ，100m 的概率分别为0.5,0.3,0.2，击中目标的概率分别为0.01，0.02，0.1，试求：（1）飞机击中目标的概率；（2）已知目标被击中，是在200m 处击中的概率。

解：用123,,A A A 分别表示400米，200米，100米击中目标，则123,,A A A 组成击中的一个划分，用D 表示飞机击中目标，则
3
1
()()(|)0.50.010.30.020.20.10.031i i i P D P A P D A ===⨯+⨯+⨯=∑ ，
2()0.020.36
(|)()0.03131
P BD P A D P D ⨯=
== 。

26、设有甲、乙两个旅行团，旅行团甲中有中国游客n 人，外国游客m 人；旅行团乙中有
中国游客a 人，外国游客b 人，今从甲团中随机挑选2人编入乙团，然后再从乙团中随机挑1人，试求此人恰是中国人概率？
解：用(0,1,2)i A i =表示甲团中挑出i 个人中国人到乙团事件，则(0,1,2)i A i =为一个划分，用B 表示从乙团中挑选出的一个人是中国人事件，则
22
2
2
00()()()(|)(2)
i i
m n
i i i i m n a i C C P B P A P B A C a b -==++==++∑∑ 。

27、略。

28、已知男子有0.05是色盲患者，女子有0.0025的色盲患者，今从男女人数相等的人群中随机地挑选1人，恰好是色盲患者，问：此人是男性的概率是多少？
解：用B 表示挑选出的此人是色盲，用A 表示此人是男人，由贝叶斯公式
1
0.05
(|)()202(|)1121()(|)()(|)0.050.002522
P B A P A P A B P A P B A P A P B A ⨯===
+⨯+⨯ 。

29、盒中放有12个乒乓球，其中9个是新的，第一次比赛时从中任取3个来使用，比赛后
仍放回盒子中，第二次比赛时，再从盒子中任取3个求，求（1）第二次取到的球都是新球的概率；（2）已知第二次使用时，取到的是3只新球，而第一次使用时取到的是1只新球的概率。

解：用(0,1,2,3)i A i =表示第一次取到的3个球中有i 个新球，则(0,1,2,3)i A i =构成一个划分，用B 表示第二次取到的球都是新球，则
333
3
93933
00
1212()()(|),i i i
i i i i C C C P B P A P B A C C --====∑∑ 用贝叶斯公式，所求事件的概率为 123938
1113
339390
(|)()
(|)()
i i i
i C C C P B A P A P A B P B C C
C --===
∑ 。

30、事件A 与B 相互独立，()0.4,()0.7P A P A B ==,求()P B 。

解：()()()()()()()P A
B P A BA P A P BA P A P B P A ==+=+，
所以0.70.40.6()P B =+，所以()0.5P B =。

31、某机械零件的加工由两道工序组成，第一道工序的废品率为1.5%，第二道工序的废品
率为2%，假定两道工序处废品是彼此独立的，求产品的合格率。

解：用,,A B C 分别表示生产的产品在第一道工序合格，第二道工序合格，产品合格， 则()()()()98.5%98%0.9653P C P AB P A P B ===⨯=。

32、某射手命中目标的概率为0.95，他独立重复向目标射击5次，求恰好命中4次的概率以及至少命中3次的概率。

解：用X 表示命中次数，则5次射击中恰好命中4次的概率为4
4
5{4}(0.95)0.05P X C ==， 至少命中3次的概率为5
55
3
{3}(0.95)(0.05)
i
i
i
i P X C -=≥=
∑ 。

33、3人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为111
,,534
，问：3人中至少有
1人能将此密码译出的概率是多少？
解：用,,A B C 分别表示3人均译出密码，则至少有1人译出密码的概率可以表示为
42336
1()153460
P ABC -=-⨯⨯=。

34、有10道判断对错的测验题，1人随意猜答，他答对不少于6道题的概率是多少？ 解：用X 表示答对的题数，则所求事件的概率为
10
10
10
10661{}()2i i i P X i C ====∑∑。

35、在4次独立重复试验中，事件A 至少出现1次的概率等于65/81，求时间A 在每次试验
中发生的概率。

解：因为65()181P AAAA =-，因为4次试验独立，所以有4
162(),()813
P A P A =∴=，所以1
()3
P A =。

36、若(|)(|)P A B P A B =，证明事件A 与B 相互独立。

证：因为(|)(|)P A B P A B =，所以
()()
()()()()()()(1())()()()()()()()()()()(()())()()()()
P AB P AB P B P AB P B P AB P B P B P B P AB P B P AB P AB P B P AB P B P AB P AB P B P AB P AB P B P AB
AB P B P A =⇒=⇒-=⇒=+⇒=+==
37、设甲、乙、丙3个运动员自离球门25码处踢进球的概率依次为0.5,0.7,0.6，设3个人各在离球门25码处踢一球，设各人进球与否相互独立，求：（1）恰好有一人进球的概率；（2）恰好有2人进球的概率；（3）至少有一人进球的概率。

解：用,,A B C 分别表示甲、乙、丙在离球门25码处踢进球，则 （1）恰有一人进球的概率为()()()()()()()()()()()()()0.50.30.40.50.30.60.50.70.40.29
P ABC
ABC ABC P ABC P ABC P ABC P A P B P C P A P B P C P A P B P C =++=++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=
(2) 恰好有两人进球的概率为()()()()()()()()()()()()()0.50.70.40.50.30.60.50.70.60.44
P ABC
ABC ABC P ABC P ABC P ABC P A P B P C P A P B P C P A P B P C =++=
++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=
(3) 至少有1人进球的概率为1()10.50.30.40.94P ABC -=-⨯⨯=。

38、10个题中签中有4个是难题，甲、乙、丙3位学生，按甲先乙次丙最后的顺序进行抽签考试，问：这种考试是否公平？ 解：公平。

因为
用,,A B C 分别表示甲、乙、丙抽到难题则
4(),10
43642
()()(|)()(|),1091095
6546434634322
()()()()()10981098109810985P A P B P A P B A P A P B A P C P ABC P ABC P ABC P ABC =
=+=
+==+++=+++=
39、已知100件产品中有10件是正品，正品每次使用绝对不会发生故障，还有90件非正品，每次使用有0.1的可能性发生故障，现从100件产品中任取1件，使用n 次均没发生故障，问：n 至少多大时才有70%的把握认为所取得产品是正品？
解：用A 表示该产品是正品，用B 表示该产品是次品，用C 表示使用n 次无故障，则所求
事件概率为101
()(|)()100(|)0.7,1090()()10.9100100
n
n n
P AC P C A P A P A C P C P C ⨯===>⨯+⨯得29n ≥。