「基础高考」判断函数周期性的方法技巧

「基础⾼考」判断函数周期性的⽅法技巧
定义法：
对于函数y＝f(x)，如果存在⼀个⾮零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有
f(x+T)=f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
判断函数周期，主要是看f(x+T)=f(x)公式
例如：已知函数满⾜f(x+a)=－f(x)，问它的性质，怎么推导？
f[(x+a)+a]=－f(x+a)=-（-f(x)）=f(x),f(x)为周期为T=2a的函数
公式法
基本函数的周期性，y=sinx,y=Asin(ωx+φ),
y=cosx,y=Acos(ωx+φ) T=2π/w
y=tanx,y=Atan(ωx+φ),T=π/w周期固定，有公式法，
但要牢记y=sinx，y=cosx，y=tanx的图像
固定结论
命题1：若a是⾮零常数，对于函数y=f(x)定义域的⼀切x，满⾜下列条件之⼀，则函数y=f(x)是周期函数.
（1）函数y=f(x)满⾜f(x+a)=－f(x)，则f(x)是周期函数，且2a是它的⼀个周期.
（2）函数y=f(x)满⾜f(x+a)=±1/f(x)，则f(x)是周期函数，且2a是它的⼀个周期.
（3）函数y=f(x)满⾜f(x＋a)＝f(x－a)，则f(x)是周期函数，且2a是它的⼀个周期.
上⾯这⼏个公式应⽤的概率更⼤，要记熟！⽅便思路的形成！
命题2：若a、b()是⾮零常数，对于函数y=f(x)定义域的⼀切x，满⾜下列条件之⼀，则函数y=f(x)是周期函数.
(1) 函数y=f(x)满⾜f(x+a)=f(x+b)，则f(x)是周期函数，且|a-b|是它的⼀个周期.
(2)函数图象关于两条直线x=a，x=b对称，则函数y=f(x)是周期函数，且2|a-b|是它的⼀个周期.
(3) 函数图象关于点M(a,0)和点N(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且2|a-b|是它的⼀个周期.
(4)函数图象关于直线x=a，及点M(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且4|a-b|是它的⼀个周期.
命题3：若a是⾮零常数，对于函数y=f(x)定义域的⼀切x，满⾜下列条件之⼀，则函数y=f(x)是周期函数.
（1）若f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=a对称，则f(x)是周期函数，且2a是它的⼀个周期.
（2）若f(x)是定义在R上的奇函数，其图象关于直线x=a对称，则f(x)是周期函数，且4a是它的⼀个周期.
为了⽅便您的记忆，您可以联想正弦函数和余弦函数图像和性质，来记忆这些结论。