微观组织数值模拟——相场法与元胞自动机

微观组织数值模拟——相场法与元胞⾃动机
微观组织的数值模拟
——相场法与元胞⾃动机法相场法和元胞⾃动机法是材料科学与⼯程研究中常⽤的两种数值模拟⽅法。

相场模型是⼀种建⽴在热⼒学基础上，考虑有序化势与热⼒学驱动⼒的综合作⽤来建⽴相场⽅程描述系统演化动⼒学的模型。

其核⼼思想是引⼊⼀个或多个连续变化的序参量，⽤弥散界⾯模型代替传统的尖锐界⾯来描述界⾯。

相场法的不⾜是计算量巨⼤，可模拟的尺度较⼩（最⼤可达⼏⼗个微⽶）。

元胞⾃动机法是⼀种⽤来描述复杂系统在离散空间-时间上演化规律的数学算法。

元胞在某⼀时间步的状态转变由⼀定的演化规则来决定，并且这种转变是随时间推移对体系各元胞同步进⾏的。

元胞的状态受其相邻元胞状态的影响，同时也影响着相邻元胞的状态。

局部之间相互作⽤，相互影响，通过⼀定的规则变化⽽整合成⼀总体⾏为。

相场法
相场法的起源与发展
相场法PFM(Phase Field Method)的提出是针对具有⼗分复杂的界⾯结构的
问题时，⽤经典尖锐界⾯模型去跟踪界⾯演化，会遭遇到严重的数值困难。

并且真实材料中的相界或晶界实际上并不是严格的零厚度界⾯，⽽是具有⼀定厚度（纳⽶尺度）的边界层，这层厚度控制材料相变动⼒学，由此引⼊⼀个序参量场Φ来区分两相（如固相和液相），通常称之为相场。

在相场中，Φ在固/液界⾯的⼀侧从⼀个常值逐渐过渡⾄界⾯另⼀侧的某⼀常值，将这个扩散界⾯层定义为界⾯，因此，在相场法中的固/液界⾯为弥散型界⾯。

Φ的主要⽬的是跟踪两相不同的热⼒学状态，可以不严格地将其理解为结晶程度的度量。

相场模型的想法最初由Langer(1978, 1986)提出的，Collin和Levine (1985)
也引⼊了类似的相场模型(Phase field model)。

Caginalp(1985-1991)分析了这些相场模型，证明它们在界⾯层厚度趋于零时可以还原为尖锐界⾯的⾃由边界模型，这就从数学上证明了Langer 等⼈相场模型的有效性。

Fix(1983),Kobayashi(1991)等采⽤相场模型对具体凝固过程进⾏数值模拟。

1992年，Wheeler，Boettinger
和McFadden建⽴了WBM相场模型，1995年Warren等⾸次对Ni-Cu合⾦凝固过程组织演化进⾏了模拟。

1993年Chen，Wang 及Khachaturyan等将弥散界⾯概念⽤于固态相变模拟，建⽴了可考虑弹性场作⽤的相场模型(continuum field model)。

1998年Kim等基于界⾯局部平衡建⽴了KKS相场模型。

1998年及2001年Karma建⽴了纯物质凝固及合⾦凝固的定量相场模型。

2002年Elder等建⽴了晶体相场模型（phase field crystal model)。

相场法的原理及过程
相场法的关键是引⼊⼀个序参量场Φ来区分两相，通常称之为相场。

在相场中，Φ在界⾯的⼀侧从⼀个常值逐渐过渡⾄界⾯另⼀侧的某⼀常值，将这个扩散界⾯层定义为界⾯，因此，在相场法中的界⾯为弥散型界⾯。

Φ的主要⽬的是跟踪两相不同的热⼒学状态，可以不严格地将其理解为结晶程度的度量。

通过上述处理，从⽽使界⾯位置随空间和时间的变化隐含在相场变量随时间和空间的演化之中。

相场模型的基础是Landau相变理论。

Landau相变理论强调了对称的重要性，对称性的破坏对应着相变的发⽣。

在Landau相变理论中，对称性由序参量所描述。

对称破缺意味着序参量不为零的有序相出现。

序参量是某个物理量的平均值，描述偏离对称的性质和程度，可以是标量、⽮量、复数或更复杂的量。

如果使序参量在空间上是不均匀和连续的，则可以将Landau理论⽤于描述微观组织的演化。

通过序参量在空间上的依赖关系，可以确定⾮均匀组分和结构，并可通过序参量的空间分布对结构形态进⾏模拟。

对于⾮均匀的连续体系，需要采取弥散界⾯进⾏描述，即利⽤各种守恒和⾮守恒场变量（如：浓度、结构、取向、长程有序等）的空间梯度描述各相之间的弥散界⾯。

相变热⼒学和伴⽣的结构演化是通过选构⼀个依赖于保守和⾮保守参量的⾃由能密度泛函⽽实现的。

相变的本质由⼀组连续的序参量场所描述。

微观组织演化则通过求解控制空间上不均匀的序参量场的时间关联的相场动⼒学⽅程⽽获得。

相场法对相变过程中可能出现的瞬时形貌和微观组织不做任何事先的假设。

相场法的特点及应⽤
相场法的优点主要有⽆需跟踪界⾯、易于处理复杂的⽣长⾏为（如各向异性等）、与热⼒学直接相关，可耦合真实热⼒学、动⼒学数据库、易于与⼀些物理机制关联（如外场）。

缺点主要在于计算量巨⼤、需构造⾃由能函数（有时很复杂）、界⾯不真实、、⼀些物理参数获取较困难、数学处理复杂。

⽬前，在材料科学中，相场法被⼴泛应⽤于模拟液/固相变（枝晶⽣长、多元多相凝固、多晶凝固等）、固态相变（沉淀相析出、马⽒体相变、铁电相变等）、应⼒相变（薄膜⽣长，定向粗化）、结构缺陷相变（裂纹扩展、位错动⼒学）等。

图1,2,3分别展⽰了相场法在枝晶⽣长，沉淀相析出以及微裂纹扩展等⽅⾯具体的应⽤。

图1 Al-4.5wt%Cu 合⾦枝晶⽣长演变过程相场法模拟结果[1]
图2 Ni4Ti3沉淀相的⼆维形貌随时间的演化过程[2]
图3 韧性材料的微裂纹扩展和连通的晶体相场模拟[3]
元胞⾃动机法
元胞⾃动机法的提出与发展
元胞⾃动机法是描述复杂系统在离散的时间和空间上演化规律的⼀种算法。

元胞⾃动机法最早由V on Neumann和Stanislaw Ulam提出来。

1970 年，剑桥⼤学的J. H. Conway利⽤元胞⾃动机法编制了⼀个名为“⽣命”的游戏程序，并由M. Gardner 通过《科学美国⼈》介绍到全世界。

该游戏通过⼏条简单“⽣死”规则的组合，细胞在⽹格中就可以出现⽆法预测的延伸、变形、停⽌和周期性变化的复杂模式。

这种意想不到的结果吸引了⼤批计算机科学家研究“⽣命”程序的特点，最终证明这个程序与Turing 机等价，也就是说给定适当的初始条件，“⽣命”模
型可以模拟任何⼀种计算机。

20 世纪80 年代，物理学家、计算机科学家对元
胞⾃动机模型的兴趣⼤增。

S. Wolfram对CA 的贡献很⼤，他引⼊动⼒系统的思想理论和研究⽅法，对元胞⾃动机进⾏了系统的研究，⽤熵来描述其演化⾏为，并将元胞⾃动机按动⼒学⾏为分为平稳型、周期型、混沌型和复杂型，分别对应
于⼈们已经熟悉的不动点、周期⾏为、混沌状态和⾃组织现象。

1986 年，U. Frish 等⼈发表了《代替Navier-Stocks ⽅程的格⼦⽓⾃动机》，这种计算机⽐常见的Navier-Stocks (N-S)⽅程数值法快得多，开辟了流体⼒学的⼀个全新领域。

随后L. O. Chuan将CA 引⼊神经⽹络，建⽴细胞神经⽹络模型。

另外，由于元胞⾃
动机的运算每次不涉及全局的状态，专家们正在考虑按照这种思想设计新⼀代的计算机，采⽤⼤规模并⾏结构, 最终⽬的是以较⼩的代价达到超级计算机的能⼒。

元胞⾃动机法的原理及过程
在⼀个元胞⾃动机模型中,体系被分解成有限个胞,同时把时间离散化为⼀定间隔的步,每个胞的所有可能状态也划分为有限个分⽴的状态。

每个胞在前后时间步的状态转变按⼀定的演变规则来决定,这种转变是随时间不断地对体系各胞同步进⾏。

因此⼀个胞的状态受其邻居胞的状态的影响,同时也影响着邻居胞的状态,局部之间互相作⽤,相互影响。

通过这⼀定的规则变化⽽整合成⼀总体⾏为。

如此，利⽤⼤量的简单的元件，通过简单的连接和简单的运算规则，在时空中并⾏地持续运⾏，以模拟出复杂⽽丰富的现象。

以晶粒⽣长为例，元胞⾃动机的模拟过程主要有确定形核、选择时间步长、计算温度场、计算溶质场、计算界⾯元胞的⽣长动⼒学、确定胞状态、捕捉邻胞、计算曲率等过程组成。

元胞⾃动机法的特点及运⽤
元胞⾃动机法的特点主要是空间是离散的、时间是离散的、状态取值是离散的、演化的运算规则是局域的(⼀般情形）。

⽬前，元胞⾃动机法⼴泛应⽤于凝固与结晶、晶粒长⼤与再结晶、相沉淀与相分解、位错花样的形成等过程。

图4
展现了元胞⾃动机法在晶粒⽣长演化过程中的运⽤。

图4 晶粒⽣长演化过程[4]
相场法(PFM)与元胞⾃动机法(CA)的⽐较
相场法与元胞⾃动机法的异同点⽐较如表1所⽰：
表1 相场法与元胞⾃动机法的异同点
参考⽂献
[1]龙⽂元. 铝合⾦凝固过程枝晶⽣长的相场法数值模拟[D]. 华中科技⼤学, 2004.
[2]柯常波, 马骁, 张新平. NiTi形状记忆合⾦中共格Ni4Ti3沉淀相⽣长动⼒学⾏为的相场法模拟[J]. ⾦属学报, 2010, 46(1):84-90.
[3]⾼英俊, 罗志荣, 黄礼琳,等. 韧性材料的微裂纹扩展和连通的晶体相场模拟[J]. 中国有⾊⾦属学报, 2013, (7):1892-1899.
[4]何东. 晶粒组织演化的元胞⾃动机模拟[D]. 哈尔滨⼯业⼤学, 2007.。