高二数学 3.2.4 二面角及其度量

3.2.4 二面角及其度量

1．二面角的概念

(1)二面角的定义：平面内的一条直线把平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半

平面．从一条直线出发的______________所组成的图形叫做二面角．如图所示，其

中，直线l叫做二面角的______，每个半平面叫做二面角的______，如图中的α，β.

(2)二面角的记法：棱为l，两个面分别为α，β的二面角，记作α—l—β.如图，A∈α，

B∈β，二面角也可以记作A—l—B.

(3)二面角的平面角：在二面角α—l—β的棱上任取一点O，

在两半平面内分别作射线OA⊥l，OB⊥l，则∠AOB叫做二面角α—l—β的平面角，如图所示，由等角定理知，这个平面角与点O在l上的位置无关．

(4)直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角．

(5)二面角的范围是[0°，180°]．

2．用向量夹角来确定二面角性质及其度量的方法

(1)如图，分别在二面角α—l—β的面α、β内，并沿α、β延伸的方向，

作向量n1⊥l，n2⊥l，则〈n1，n2〉等于该二面角的平面角．

(2)如图，设m1⊥α，m2⊥β，则〈m1，m2〉与该二面角相等或互补.

探究点一定义法求二面角

问题1如何找二面角的平面角？

问题2如何利用面积射影求二面角？

例 1 如图，S是△ABC所在平面外一点，且SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA＝AB，SB＝BC，E是SC的中点，DE⊥SC交AC于D.求二面角E—BD—C的大小．

跟踪1如图，ABCD是正方形，V是平面ABCD外一点，且VA＝VB＝VC＝

AB，求二面角A—VB—C的余弦值．

探究点二用向量方法求二面角

问题怎样利用向量法求二面角？

例2(教材P109例1)二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝217，则该二面角的大小为________．

跟踪2如图所示，在120°的二面角α—AB—β中，AC⊂α，BD⊂β，且AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A、B.已知AC＝AB＝BD＝6，试求线段CD的长．

例3如图所示，在底面为直角梯形的四棱锥S—ABCD中，∠ABC＝90°，SA⊥平面

ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12

，求平面SCD 与平面SAB 所成二面角α的正切值．

跟踪3 在底面为平行四边形的四棱锥P —ABCD 中，AB ⊥AC ，P A ⊥平面ABCD ，且P A ＝AB ，E 是PD 的中点，求二面角E —AC —D 的大小．

【达标检测】

1．所示，已知二面角α—l —β的大小为60°，m ，n 为异面直线，且m ⊥α，n ⊥β，

则直线m ， n 的夹角为 ( )

A ．30°

B ．60°

C ．90°

D ．120°

2．一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向

倾斜．记三种盖法屋顶面积分别为P 1、P 2、P 3.

若屋顶斜面与水平面所成的二面角都是α，则 ( )

A ．P 3>P 2>P 1

B ．P 3>P 2＝P 1

C ．P 3＝P 2>P 1

D ．P 3＝P 2＝P 1

3．已知两平面的法向量分别为m ＝(0,1,0)，n ＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角为__________．

4．P A ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，P A ＝AC ＝1，BC ＝ 2.求二面角A —PB —C 的余弦值．

【课堂小结】二面角的求法：①定义法．

②三垂线法，如图A ∈β，过A 作AB ⊥α于点B ，在α内作BO ⊥l 于点O ，连接AO ，则由三垂线定理知AO ⊥l ，故∠AOB 是二面角α—l —β的平面角．

③用公式cos θ＝S ′S

,其中S ′为射影面积，S 为原图形面积． ④利用向量夹角公式求〈OA →，OB →

〉．

⑤用法向量，若二面角α—l —β的大小为θ，其两半平面的法向量分别为n 1、n 2，其夹角为φ，则θ＝φ或θ＝π－φ.一定要注意检验.

3.2.4 二面角及其度量

一、基础过关

1．一个二面角的两个面分别平行于另一个二面角的两个面，那么这两个二面角( )

A ．相等

B ．互补

C ．相等或互补

D ．不确定

2．若分别与一个二面角的两个面平行的向量m ＝(－1，2,0)，n ＝(1,0，－2)，且m 、n 都与

二面角的棱垂直，则二面角的正弦值为 ( )

A.15

B.245

C.14

D.154

3．二面角α—l —β中，平面α的一个法向量n 1＝⎝⎛⎭

⎫32，－12，－2，平面β的一个法向量n 2＝⎝⎛⎭⎫0，12，2，则二面角α—l —β的大小为

( ) A ．120°

B ．150°

C ．30°或150°

D ．60°或120° 4.在正方体AC 1中，点

E 为BB 1的中点，则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的二面角的余弦值为 ( )

A ．－12

B.23

C.33

D.22

5．平面α的一个法向量n 1＝(1,0,1)，平面β的一个法向量n 2＝(－3,1,3)，则α与β所成的

角是_____．

6．已知A ∈α，P ∉α，P A →＝⎝⎛⎭

⎫－32，12，2，平面α的一个法向量n ＝⎝⎛⎭⎫0，－12，－2，则直线P A 与平面α所成的角为________．

二、能力提升

7．在边长为1的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，将菱形沿对角线AC 折起，使折起后BD ＝1，则二面角B —AC —D 的余弦值为

( )

A.13

B.12

C.233

D.32 8．A 、B 是二面角α—l —β的棱l 上两点，P 是平面β上一点，PB ⊥l 于B ，P A 与l 成45

°角，P A 与平面α成30°角，则二面角α—l —β的大小是

( ) A ．30° B ．60° C ．45° D ．75°

9.如图，甲站在水库底面上的点A 处，乙站在水坝斜面上的点B 处．从

A ，

B 到直线l (库底与水坝的交线)的距离A

C 和B

D 分别为a 和b ，CD 的

长为c ，AB 的长为d .水库底与水坝所成二面角的余弦值为________．

10.如图，已知四棱锥P —ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，且ABCD 为正方形，P A ＝AB ＝a ，点M 是PC 的中点．

(1)求BP 与DM 所成的角的大小；

(2)求二面角M —DA —C 的大小．