2020版高考数学总复习第八章立体几何初步第3节空间图形的基本关系与公理教案文(含解析)北师大版

第3节 空间图形的基本关系与公理

最新考纲 1.理解空间直线、平面位置关系的定义；2.了解可以作为推理依据的公理和定理；3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题

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知 识 梳 理

1. 空间图形的公理

(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内).

(2)公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面). (3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.

(4)公理4：平行于同一条直线的两条直线平行.

推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面. 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面. 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面. (5)等角定理

空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 2.空间点、直线、平面之间的位置关系

a α 3.(1)定义：过空间任意一点P 分别引两条异面直线a ，

b 的平行线l 1，l 2(a ∥l 1，b ∥l 2)，这两条相交直线所成的锐角(或直角)就是异面直线a ，b 所成的角.

(2)范围：⎝

⎛⎥⎤0，π2.

[微点提醒]

1.空间中两个角的两边分别对应平行，则这两个角相等或互补.

2.异面直线的判定：经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线.

3.两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角.

基 础 自 测

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)两个平面α，β有一个公共点A ，就说α，β相交于过A 点的任意一条直线.( ) (2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.( ) (3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.( )

(4)若直线a 不平行于平面α，且a ⊄α，则α内的所有直线与a 异面.( )

解析 (1)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，故错误.

(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面相交或重合，故错误.

(4)由于a 不平行于平面α，且a α，则a 与平面α相交，故平面α内有与a 相交的直线，故错误.

答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×

2.(必修2P28A4改编)如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，则异面直线B 1C 与EF 所成角的大小为( )

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

解析连接B1D1，D1C，则B1D1∥EF，故∠D1B1C为所求的角.又B1D1＝B1C＝D1C，∴∠D1B1C＝60°.答案 C

3.(必修2P26例1改编)已知空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是( )

A.梯形

B.矩形

C.菱形

D.正方形

解析如图所示，易证四边形EFGH为平行四边形，因为E，F分别为AB，BC的中点，所以EF∥AC，又FG∥BD，所以∠EFG或其补角为AC与BD所成的角，而AC与BD所成的角为90°，所以∠EFG＝90°，故四边形EFGH为矩形.

答案 B

4.(2019·萍乡调研)α是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，若mα，nα，且A∈m，A∈α，则m，n的位置关系不可能是( )

A.垂直

B.相交

C.异面

D.平行

解析依题意，m∩α＝A，nα，∴m与n异面、相交(垂直是相交的特例)，一定不平行. 答案 D

5.(一题多解)(2017·全国Ⅰ卷)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是( )

解析法一对于选项B，如图(1)所示，连接CD，因为AB∥CD，M，Q分别是所在棱的中点，所以MQ∥CD，所以AB∥MQ，又AB平面MNQ，MQ平面MNQ，所以AB∥平面MNQ.同理可证选项C，D中均有AB∥平面MNQ.因此A项中直线AB与平面MNQ不平行.

图(1) 图(2)

法二对于选项A，其中O为BC的中点(如图(2)所示)，连接OQ，则OQ∥AB，因为OQ与平面MNQ有交点，所以AB与平面MNQ有交点，即AB与平面MNQ不平行.

答案 A

6.(2018·西安调研)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有________条.

解析在EF上任意取一点M，如图，

直线A1D1与M确定一个平面，

这个平面与CD有且仅有1个交点N，

当M取不同的位置就确定不同的平面，

从而与CD有不同的交点N，

而直线MN与这3条异面直线都有交点.

故在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有无数条.

答案无数

考点一空间图形的公理及应用

【例1】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点.求证：

(1)E，C，D1，F四点共面；

(2)CE，D1F，DA三线共点.

证明(1)如图，连接CD1，EF，A1B，

因为E ，F 分别是AB 和AA 1的中点， 所以EF ∥A 1B 且EF ＝1

2A 1B .

又因为A 1D 1綊BC ，

所以四边形A 1BCD 1是平行四边形. 所以A 1B ∥CD 1， 所以EF ∥CD 1，

所以EF 与CD 1确定一个平面α.

所以E ，F ，C ，D 1∈α，即E ，C ，D 1，F 四点共面. (2)由(1)知，EF ∥CD 1，且EF ＝1

2CD 1，

所以四边形CD 1FE 是梯形， 所以CE 与D 1F 必相交.设交点为P ， 则P ∈CE 平面ABCD ， 且P ∈D 1F 平面A 1ADD 1，

所以P ∈平面ABCD 且P ∈平面A 1ADD 1. 又因为平面ABCD ∩平面A 1ADD 1＝AD ， 所以P ∈AD ，所以CE ，D 1F ，DA 三线共点.

规律方法 1.证明点或线共面问题的两种方法：(1)首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；(2)将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合.

2.证明点共线问题的两种方法：(1)先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；(2)直接证明这些点都在同一条特定直线(如某两个平面的交线)上.

3.证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点. 【训练1】 如图，在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，G ，H 分别在BC ，CD 上，且BG ∶GC ＝DH ∶HC ＝1∶2.