求极限的方法及例题总结

1．定义：

说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：；5

)13(lim 2

=-→x x

（2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。

利用导数的定义求极限

这种方法要求熟练的掌握导数的定义。

2．极限运算法则

定理1 已知)(lim x f ，)(lim x g 都存在，极限值分别为A ，B ，则下面极限都存在，且有（1）B A x g x f ±=±)]()(lim[ （2）B A x g x f ⋅=⋅)()(lim （3）

)0(,)()(lim

成立此时需≠=B B A

x g x f

说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。

. 利用极限的四则运算法求极限

这种方法主要应用于求一些简单函数的和、乘、积、商的极限。通常情况下，要使用这些法则，往往需要根据具体情况先对函数做某些恒等变形或化简。

8.用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限

例1

1213lim

1

--+→x x x

解：原式=4

3)213)(1(33lim )213)(1(2)13(lim 1221=++--=++--+→→x x x x x x x x 。

注：本题也可以用洛比达法则。 例2

)

12(lim --+∞

→n n n n

解：原式=

2

3

11213lim

1

2)]1()2[(lim

=

-++

=

-++--+∞

→∞

→n

n n n n n n n n

n 分子分母同除以

。

例3 n

n n n n 323)1(lim ++-∞→

解：原式11)32(1)31

(lim 3

=++-=

∞→n

n n n

上下同除以。

3．两个重要极限

（1）1

sin lim

0=→x x

x

（2）e

x x

x =+→1

)1(lim ；e

x x x =+∞→)11(lim

说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式，

例如：133sin lim

0=→x x

x ，e x x

x =--→21

)

21(lim ，e x x

x =+∞

→3

)31(lim ；等等。

利用两个重要极限求极限

例5 2

03cos 1lim

x x

x -→

解：原式=

61

)2(122sin 2lim 32sin 2lim

2

2

02

20

=⋅=→→x x

x x x x 。

注：本题也可以用洛比达法则。

例6

x

x x 2

)

sin 31(lim -→

解：原式=6

sin 6sin 31

sin 6sin 310

]

)

sin 31[(lim )sin 31(lim ---→-⋅

-→=-=-e x x x

x x

x x

x

x x 。

例7

n

n n n )12(

lim +-∞

→

解：原式=31

331

1

331])131[(lim )131(lim -+--+∞→+-⋅

-+∞→=+-+=+-+e n n n n

n n n n

n n 。

4．等价无穷小

定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。 定理3 当0→x 时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有：

x ～x sin ～x tan ～x arcsin ～x arctan ～)1ln(x +～1-x

e 。

说明：当上面每个函数中的自变量x 换成)(x g 时（0)(→x g ），仍有上面的等价

关系成立，例如：当0→x 时，13-x

e

～x 3；)1ln(2x -～2x -。

定理 4 如果函数)(),(),(),(11x g x f x g x f 都是0x x →时的无穷小，且

)(x f ～)(1x f ，)(x g ～)(1x g ，则当)()(lim

110

x g x f x x →存在时，)()

(lim

0x g x f x x →也存在且

等于)(x f )

()(lim

110

x g x f x x →，即)()

(lim

0x g x f x x →=)()(lim 110x g x f x x →。

利用等价无穷小代换（定理4）求极限

例9

)arctan()

31ln(lim

20

x x x x +→