高中数学第一讲坐标系一平面直角坐标系课件新人教A版
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(2)平面直角坐标系中的坐标伸缩变换：设点P(x，y)是平面直角坐标系中任
x′＝λxλ>0， 意一点， 在变换 φ： 的作用下， 点 P(x， y)对应到点 P′(x′， y′＝μyμ>0
φ 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换. y′)，称___
题型探究
类型一 坐标法的应用
解答
x2 y2 2.若圆x2＋y2＝1经过变换φ后得到曲线C′： ＋ ＝1 ，求φ的坐标变换公式． 25 16
解答
反思与感悟
(1)平面直角坐标系中的方程表示图形，则平面图形的伸缩
变换就可归结为坐标的伸缩变换，这就是用代数的方法研究几何变换．
(2)平面直角坐标系中的坐标伸缩变换：设点P(x，y)是平面直角坐标系中
y轴或纵轴：坐标轴 竖直 的数轴.
坐标原点：坐标轴的 公共点O .
③对应关系：平面直角坐标系内的点与 有序实数对(x,y) 之间一一对应.
(2)坐标法解决几何问题的“三部曲”：第一步，建立适当坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的 三步：把代数运算结果翻译成 _____结论.
元素，将几何问题转化为
问题；第二步，通过代数运算解决代数问题；第
A.y＝sin x C.y＝sin 4x B.y＝9sin 4x D.y＝9sin x √
解析
1 代入 y＝3sin 2x，可得3y′＝3sin x′， 即y′＝9sin x′.故选D.
1 2 3 4 5
x＝1x′， 2 x′＝2x， ∵伸缩变换 ∴ 1 y′＝3y， y＝3y′，
心为图形的顶点，为原点，对称轴边所在直线为坐标轴.
梳理 (1)平面直角坐标系的概念 简称直角坐标系. ②相关概念： 数轴的正方向：水平放置的数轴 向右 的方向、竖直放置的数轴 向上 的方向分别 是数轴的正方向. x轴或横轴：坐标轴 水平 的数轴.
①定义：在同一个平面上相互垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，
第一讲 坐标系
一 平面直角坐标系
学习目标 1.了解平面直角坐标系的组成，领会坐标法的应用.
2.理解平面直角坐标系中的伸缩变换.
3.能够建立适当的平面直角坐标系，运用解析法解决数学
问题.
内容索引
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
知识点一
思考1
平面直角坐标系
在平面中，你最常用的是哪种坐标系？坐标的符号有什么特点？
x′＝λxλ>0， 的任意一点，在变换 φ： 的作用下，点 P(x，y) 对应到点 y′＝μyμ>0
P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．
跟踪训练3
在同一直角坐标系中，将直线x－2y＝2变成直线2x′－y′＝4，
求满足条件的伸缩变换．
解
x′＝λxλ>0， 设满足条件的伸缩变换为 将其代入方程 2x′－y′＝4， y′＝μyμ>0，
4 跟踪训练2 在△ABC中，B(－3,0)，C(3,0)，直线AB，AC的斜率之积为 9 ， 求顶点A的轨迹方程. y y 解 设 A(x，y)，则 kAB＝ ， kAC＝ (x≠± 3). x＋3 x－3
4 y y 由 kAB· kAC＝ · ＝9， x＋3 x－3
x2 y2 化简可得 9 － 4 ＝1，
y＝3sin 2x.
思考2 伸缩变换一定会改变点的坐标和位置吗？ 答案 不一定，伸缩变换对原点的位置没有影响.但是会改变除原点外的 点的坐标和位置，但是象限内的点伸缩变换后仍在原来的象限.
梳理 平面直角坐标系中伸缩变换的定义 (1)平面直角坐标系中方程表示图形，那么平面图形的伸缩变换就可归结为
坐标的 伸缩变换，这就是用 代数方法研究 几何变换. _______
建立平面直角坐标系，常常利用垂直直线为坐标轴，充分利用图形的
对称性等特征．
2.伸缩变换的类型与特点
伸缩变换包括点的伸缩变换，以及曲线的伸缩变换，曲线经过伸缩变
换对应的曲线方程就会变化，通过伸缩变换可以领会曲线与方程之间
的数形转化与联系．
本课结束
证明
命题角度2 求轨迹方程
例2
如图，圆O1与圆O2的半径都是1，| O1O2|＝4，过动点P分别作圆
|PN|，试建
2 ＝ O1，圆O2的切线PM，PN(M，N分别为切点)，使得|PM|
立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程.
解答
反思与感悟
建立坐标系的几个基本原则：①尽量把点和线段放在
坐标轴上；②对称中心一般放在原点；③对称轴一般作为坐标轴.
x2 y2 所以顶点 A 的轨迹方程为 9 － 4 ＝1(x≠± 3).
解答
类型二 伸缩变换
x′＝3x， 例3 求圆x2＋y2＝1经过φ： y′＝4y 并说明新曲线的形状.
变换后得到的新曲线的方程，
解答
引申探究
x′＝1x， 2 1.若曲线C经过 变换后得到圆x2＋y2＝1，求曲线C的方程. 1 y′＝3y
得2λx－μy＝4，与x－2y＝2比较，将其变成2x－4y＝4.比较系数得λ＝1，μ＝4.
x′＝x， 所以 y′＝4y.
直线x－2y＝2图象上所有点的横坐标不变，纵坐标扩大到原来的4倍可得 到直线2x′－y′＝4.
解答
达标检测
1.在同一平面直角坐标系中，将曲线y＝3sin 2x变为曲线y′＝sin x′的伸 缩变换是
命题角度1 研究几何问题 例1 已知△ ABC 中， AB＝ AC ， BD ， CE 分别为两腰上的高，求证： BD ＝CE.
证明
反思与感悟
根据图形的几何特点选择适当的直角坐标系的一些规则：
①如果图形有对称中心，选对称中心为原点；②如果图形有对称轴，可 以选对称轴为坐标轴；③使图形上的特殊点尽可能多地在坐标轴上.
几何 几何
代数
知识点二
平面直角坐标系中的伸缩变换
思考1 如何由y＝sin x的图象得到y＝3sin 2x的图象？
答案 1 横坐标缩为原来的 纵坐标伸长为原来的3倍 2 y＝sin x— — — ― ― — ― ― ― ― ― → y＝sin 2x— — — — — — — — — — — — — — → 横坐标不变 纵坐标不变
答案 直角坐标系；
在平面直角坐标系中，第一象限内的点的横纵坐标均为正，第二象限内
的点的横坐标为负，纵坐标为正，第三象限内的点的横纵坐标均为负，
第四象限内的点的横坐标为正，纵坐标为负.
思考2 坐标法解问题的关键是什么？如何建立恰当的坐标系？ 答案 建立平面直角坐标系；
通常选图形的特殊点为坐标原点，边所在直线为坐标轴.比如，对称中
设D(x，y)，
x＝1， 解得 y＝3.
故点D的坐标为(1,3)．
1 2 3 4 5
解析
答案
4.在△ABC中，B(－2,0)，C(2,0)，△ABC的周长为10，则A点的轨迹方程 x2 y2 ＋ ＝ 1( y ≠ 0) 为________________ ． 9 5 解析 ∵△ABC的周长为10，∴|AB|＋|AC|＋|BC|＝10，而|BC|＝4， ∴|AB|＋|AC|＝6>4. ∴A点的轨迹为除去长轴两顶点的椭圆，且2a＝6，2c＝4. ∴a＝3，c＝2， ∴b2＝a2－c2＝5.
解析
答案
3.已知▱ABCD中三个顶点A，B，C的坐标分别是(－1,2)，(3,0)，(5,1)，则 点D的坐标是 A.(9，－1) B.(－3,1) C.(1,3) √ D.(2,2)
解析 由平行四边形对边互相平行，即斜率相等，可求出点D的坐标．
2 －0 y－1 ＝ ， －1－3 x－5 kAB＝kDC， 则 即 0－1 2 －y kAD＝kBC， ＝ . －1－x 3－5
跟踪训练1 在▱ABCD中，求证：|AC|2＋|BD|2＝2(|AB|2＋|AD|2). 证明 如图，以 A 为坐标原点， AB 所在的直线
b c ， E2 2，
为x轴，建立平面直角坐标系.
设 B(a，0)，C(b，c)，则 AC 的中心
由对称性知D(b－a，c)，
所以|AB|2＝a2，|AD|2＝(b－a)2＋c2， |AC|2＝b2＋c2，|BD|2＝(b－2a)2＋c2， |AC|2＋|BD|2＝4a2＋2b2＋2c2－4ab＝2(2a2＋b2＋c2－2ab)， |AB|2＋|AD|2＝2a2＋b2＋c2－2ab， 所以|AC|2＋|BD|2＝2(|AB|2＋|AD|2).
x2 y2 ∴A 点的轨迹方程为 9 ＋ 5 ＝1(y≠0)．
1 2 3 4 5
解析
答案
5. 用解析法证明：若 C 是以 AB 为直径的圆上的任意一点 ( 异于 A ， B) ，则
AC⊥BC.
1
2
3
4
5
证明
ห้องสมุดไป่ตู้
规律与方法
1.平面直角坐标系的作用与建立
平面直角坐标系是确定点的位置、刻画方程的曲线形状和位置的平台，
x＝2x′， A. 1 y＝ y′ 3
√
x′＝2x， B. 1 y′＝ y 3
x＝2x′， C. y＝3y′
x′＝2x， D. y′＝3y
1
2
3
4
5
答案
x′＝2x， 2.在同一平面直角坐标系中，曲线y＝3sin 2x经过伸缩变换 后， y′＝3y 所得曲线为
x′＝λxλ>0， 意一点， 在变换 φ： 的作用下， 点 P(x， y)对应到点 P′(x′， y′＝μyμ>0
φ 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换. y′)，称___
题型探究
类型一 坐标法的应用
解答
x2 y2 2.若圆x2＋y2＝1经过变换φ后得到曲线C′： ＋ ＝1 ，求φ的坐标变换公式． 25 16
解答
反思与感悟
(1)平面直角坐标系中的方程表示图形，则平面图形的伸缩
变换就可归结为坐标的伸缩变换，这就是用代数的方法研究几何变换．
(2)平面直角坐标系中的坐标伸缩变换：设点P(x，y)是平面直角坐标系中
y轴或纵轴：坐标轴 竖直 的数轴.
坐标原点：坐标轴的 公共点O .
③对应关系：平面直角坐标系内的点与 有序实数对(x,y) 之间一一对应.
(2)坐标法解决几何问题的“三部曲”：第一步，建立适当坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的 三步：把代数运算结果翻译成 _____结论.
元素，将几何问题转化为
问题；第二步，通过代数运算解决代数问题；第
A.y＝sin x C.y＝sin 4x B.y＝9sin 4x D.y＝9sin x √
解析
1 代入 y＝3sin 2x，可得3y′＝3sin x′， 即y′＝9sin x′.故选D.
1 2 3 4 5
x＝1x′， 2 x′＝2x， ∵伸缩变换 ∴ 1 y′＝3y， y＝3y′，
心为图形的顶点，为原点，对称轴边所在直线为坐标轴.
梳理 (1)平面直角坐标系的概念 简称直角坐标系. ②相关概念： 数轴的正方向：水平放置的数轴 向右 的方向、竖直放置的数轴 向上 的方向分别 是数轴的正方向. x轴或横轴：坐标轴 水平 的数轴.
①定义：在同一个平面上相互垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，
第一讲 坐标系
一 平面直角坐标系
学习目标 1.了解平面直角坐标系的组成，领会坐标法的应用.
2.理解平面直角坐标系中的伸缩变换.
3.能够建立适当的平面直角坐标系，运用解析法解决数学
问题.
内容索引
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
知识点一
思考1
平面直角坐标系
在平面中，你最常用的是哪种坐标系？坐标的符号有什么特点？
x′＝λxλ>0， 的任意一点，在变换 φ： 的作用下，点 P(x，y) 对应到点 y′＝μyμ>0
P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．
跟踪训练3
在同一直角坐标系中，将直线x－2y＝2变成直线2x′－y′＝4，
求满足条件的伸缩变换．
解
x′＝λxλ>0， 设满足条件的伸缩变换为 将其代入方程 2x′－y′＝4， y′＝μyμ>0，
4 跟踪训练2 在△ABC中，B(－3,0)，C(3,0)，直线AB，AC的斜率之积为 9 ， 求顶点A的轨迹方程. y y 解 设 A(x，y)，则 kAB＝ ， kAC＝ (x≠± 3). x＋3 x－3
4 y y 由 kAB· kAC＝ · ＝9， x＋3 x－3
x2 y2 化简可得 9 － 4 ＝1，
y＝3sin 2x.
思考2 伸缩变换一定会改变点的坐标和位置吗？ 答案 不一定，伸缩变换对原点的位置没有影响.但是会改变除原点外的 点的坐标和位置，但是象限内的点伸缩变换后仍在原来的象限.
梳理 平面直角坐标系中伸缩变换的定义 (1)平面直角坐标系中方程表示图形，那么平面图形的伸缩变换就可归结为
坐标的 伸缩变换，这就是用 代数方法研究 几何变换. _______
建立平面直角坐标系，常常利用垂直直线为坐标轴，充分利用图形的
对称性等特征．
2.伸缩变换的类型与特点
伸缩变换包括点的伸缩变换，以及曲线的伸缩变换，曲线经过伸缩变
换对应的曲线方程就会变化，通过伸缩变换可以领会曲线与方程之间
的数形转化与联系．
本课结束
证明
命题角度2 求轨迹方程
例2
如图，圆O1与圆O2的半径都是1，| O1O2|＝4，过动点P分别作圆
|PN|，试建
2 ＝ O1，圆O2的切线PM，PN(M，N分别为切点)，使得|PM|
立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程.
解答
反思与感悟
建立坐标系的几个基本原则：①尽量把点和线段放在
坐标轴上；②对称中心一般放在原点；③对称轴一般作为坐标轴.
x2 y2 所以顶点 A 的轨迹方程为 9 － 4 ＝1(x≠± 3).
解答
类型二 伸缩变换
x′＝3x， 例3 求圆x2＋y2＝1经过φ： y′＝4y 并说明新曲线的形状.
变换后得到的新曲线的方程，
解答
引申探究
x′＝1x， 2 1.若曲线C经过 变换后得到圆x2＋y2＝1，求曲线C的方程. 1 y′＝3y
得2λx－μy＝4，与x－2y＝2比较，将其变成2x－4y＝4.比较系数得λ＝1，μ＝4.
x′＝x， 所以 y′＝4y.
直线x－2y＝2图象上所有点的横坐标不变，纵坐标扩大到原来的4倍可得 到直线2x′－y′＝4.
解答
达标检测
1.在同一平面直角坐标系中，将曲线y＝3sin 2x变为曲线y′＝sin x′的伸 缩变换是
命题角度1 研究几何问题 例1 已知△ ABC 中， AB＝ AC ， BD ， CE 分别为两腰上的高，求证： BD ＝CE.
证明
反思与感悟
根据图形的几何特点选择适当的直角坐标系的一些规则：
①如果图形有对称中心，选对称中心为原点；②如果图形有对称轴，可 以选对称轴为坐标轴；③使图形上的特殊点尽可能多地在坐标轴上.
几何 几何
代数
知识点二
平面直角坐标系中的伸缩变换
思考1 如何由y＝sin x的图象得到y＝3sin 2x的图象？
答案 1 横坐标缩为原来的 纵坐标伸长为原来的3倍 2 y＝sin x— — — ― ― — ― ― ― ― ― → y＝sin 2x— — — — — — — — — — — — — — → 横坐标不变 纵坐标不变
答案 直角坐标系；
在平面直角坐标系中，第一象限内的点的横纵坐标均为正，第二象限内
的点的横坐标为负，纵坐标为正，第三象限内的点的横纵坐标均为负，
第四象限内的点的横坐标为正，纵坐标为负.
思考2 坐标法解问题的关键是什么？如何建立恰当的坐标系？ 答案 建立平面直角坐标系；
通常选图形的特殊点为坐标原点，边所在直线为坐标轴.比如，对称中
设D(x，y)，
x＝1， 解得 y＝3.
故点D的坐标为(1,3)．
1 2 3 4 5
解析
答案
4.在△ABC中，B(－2,0)，C(2,0)，△ABC的周长为10，则A点的轨迹方程 x2 y2 ＋ ＝ 1( y ≠ 0) 为________________ ． 9 5 解析 ∵△ABC的周长为10，∴|AB|＋|AC|＋|BC|＝10，而|BC|＝4， ∴|AB|＋|AC|＝6>4. ∴A点的轨迹为除去长轴两顶点的椭圆，且2a＝6，2c＝4. ∴a＝3，c＝2， ∴b2＝a2－c2＝5.
解析
答案
3.已知▱ABCD中三个顶点A，B，C的坐标分别是(－1,2)，(3,0)，(5,1)，则 点D的坐标是 A.(9，－1) B.(－3,1) C.(1,3) √ D.(2,2)
解析 由平行四边形对边互相平行，即斜率相等，可求出点D的坐标．
2 －0 y－1 ＝ ， －1－3 x－5 kAB＝kDC， 则 即 0－1 2 －y kAD＝kBC， ＝ . －1－x 3－5
跟踪训练1 在▱ABCD中，求证：|AC|2＋|BD|2＝2(|AB|2＋|AD|2). 证明 如图，以 A 为坐标原点， AB 所在的直线
b c ， E2 2，
为x轴，建立平面直角坐标系.
设 B(a，0)，C(b，c)，则 AC 的中心
由对称性知D(b－a，c)，
所以|AB|2＝a2，|AD|2＝(b－a)2＋c2， |AC|2＝b2＋c2，|BD|2＝(b－2a)2＋c2， |AC|2＋|BD|2＝4a2＋2b2＋2c2－4ab＝2(2a2＋b2＋c2－2ab)， |AB|2＋|AD|2＝2a2＋b2＋c2－2ab， 所以|AC|2＋|BD|2＝2(|AB|2＋|AD|2).
x2 y2 ∴A 点的轨迹方程为 9 ＋ 5 ＝1(y≠0)．
1 2 3 4 5
解析
答案
5. 用解析法证明：若 C 是以 AB 为直径的圆上的任意一点 ( 异于 A ， B) ，则
AC⊥BC.
1
2
3
4
5
证明
ห้องสมุดไป่ตู้
规律与方法
1.平面直角坐标系的作用与建立
平面直角坐标系是确定点的位置、刻画方程的曲线形状和位置的平台，
x＝2x′， A. 1 y＝ y′ 3
√
x′＝2x， B. 1 y′＝ y 3
x＝2x′， C. y＝3y′
x′＝2x， D. y′＝3y
1
2
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5
答案
x′＝2x， 2.在同一平面直角坐标系中，曲线y＝3sin 2x经过伸缩变换 后， y′＝3y 所得曲线为