函数单调性 第二课时

函数单调性（第二课时）

➢ 教学重点、难点：复合函数的单调区间．

➢ 教学过程：

一、复习提问

1．单调函数的概念．

2．练习：证明)1,0(是函数x

x y 1+=的单调递减区间．

二、新课讲解

例题分析： 例1．判断下列函数的单调区间：21x

y =

． 解：令2x t = （0>t ） Θt y 1=在),0(+∞上为减函数 而2x t =在)0,(-∞上为减函数，在),0(+∞上是增函数

∴21x

y =在)0,(-∞上为增函数，在),0(+∞上为减函数． 说明：复合函数的单调性的判断：

设)(x f y =，)(x g u =，],[b a x ∈，],[n m u ∈都是单调函数，

则[()]y f g x =在],[b a 上也是单调函数．

①若)(x f y =是[,]m n 上的增函数，则[()]y f g x =与定义在],[b a 上的函数)(x g u =的单调性相同．

②若)(x f y =是[,]m n 上的减函数，则[()]y f g x =与定义在],[b a 上的函数)(x g u =的单调性相同．

即复合函数的单调性：当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数；当内外层函数的单调性相反时则复合函数为增减函数．也就是说：同增异减（类似于“负负得正”）．

例2．定义在]4,1[上的函数)(x f 为减函数，求满足不等式2

(12)(4)0f a f a --->的a 的值的集合．

解：Θ)21(a f -0)4(2>--a f ∴)21(a f -)4(2a f ->，

又Θ)(x f 定义在]4,1[上的减函数， ∴221124144124a a a a ≤-≤⎧⎪≤-≤⎨⎪-<-⎩

即3013a a a -≤≤⎧⎪≤⎨⎪-<<⎩

10a ⇒-<≤

所以，满足题意的a 取值的集合为}01|{≤<-a a ．

例3．讨论函数21)(++=x ax x f )2

1(≠a 在),2(+∞-上的单调性． 解：设12x -<<2x ， Θ2

212212)(+-+=+-++=x a a x a a ax x f ∴)(2x f )(1x f -)221()221(12+-+-+-+=x a a x a a )2

121)(21(12+-+-=x x a 1221(12)(2)(2)x x a x x -=-⋅

++ 又Θ12x -<<2x ， ∴0)

2)(2(1221<++-x x x x ∴ 当021>-a ，即2

1<a 时，)(2x f )(1x f <， 当021<-a ，即2

1>a 时，)(2x f )(1x f >， 所以，当21<a 时， 2

1)(++=x ax x f 在),2(+∞-为减函数； 当21>a 时， 2

1)(++=x ax x f 在),2(+∞-为增函数．

例4．（1）已知函数2)1(2)(2+-+=x a x x f 在区间]3,(-∞上是减函数，求实数a 的取值范

围；（2）已知2)1(2)(2+-+=x a x x f 的单调递减区间是]3,(-∞，求实数a 的取值范围． 解：（1）原二次函数的对称轴为a x -=1，

又因为该函数开口向上，

所以，由题意得：a -≤13， 即2-≤a ．

（2）由题意得： 13a -= 即2a =-．

三、课堂练习

（1）函数24x y -=

的单调递减区间是 ，单调递增区间为 ．

（2）5412+-=

x x y 的单调递增区间为 ．

四、本课小结

1．复合函数的单调性的判断；

2．单调性在解题中的应用．

五、作业补充

1. 定义在R 上的函数)(x f 是减函数，求满足)22()(2->-x f x x f 的x 的取值范围；

2．求函数的单调区间822+--=x x y ；

3. 若函数()f x 在(,)-∞+∞上是减函数，试判断2(2)f x x -的单调性．