2021届江苏省新高考基地学校高三第二学期4月第二次大联考数学【含答案】

2021届江苏省新高考基地学校高三第二学期4月第二次大联
考数学
2021年4月
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小是，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．
1．设全集为R，集合A＝{x|2＜x＜5}，B＝{x|2x＞16}，则A∩( R B)＝
A．{x|4＜x≤5} B．{x|4＜x＜5} C．{x|2＜x≤4} D．{x|2＜x＜4}
2．某校组建了甲、乙、丙3支羽毛球球队参加男女混合双打比赛，其中男队员有小王、小张、小李，女队员有小红、小芳、小丽．若小王和小红不是搭档，小张和小丽不是搭档，小李和小芳不是搭档，则
A．小王的搭档一定是小芳B．小芳的搭档不可能是小张
C．小张的搭档不可能是小红D．小李的搭档可能是小丽
3．根据2010~2019年我国16~59岁人口比重统计数据
y(%)，拟合了y与年份x的回归方程为ŷ＝－0.74x＋
1551，试据此估计我国约从哪一年开始16~59岁人口
比重低于50%
A．2023 B．2026 C．2029
D．2032
4．碌碡是我国古代人民发明的一种把米、麦、豆等粮
食加工成粉末的器具，如图，近似圆柱形碌碡的轴固定在经过圆盘圆心且垂直于圆盘的木桩上，当人推动木柄时，碌碡在圆盘上滚动．若人推动木柄绕圆盘转动1周，碌碡恰好滚动了3圈，则该圆柱形碌碡的高与其底面圆的直径之比约为
A ．3：1
B ．3：2
C ．1：3
D ．2：3
5．若存在复数z 同时满足|z －i|＝1，|z －3＋3i|＝t ，则实数t 的取值范围是
A ．[0，4]
B ．(4，6)
C ．[4，6]
D ．(6，＋∞)
6．香农定理是所有通信制式最基本的原理，它可以用香农公式C ＝B log 2(1＋S
N )来表示，其中
C 是信道支持的最大速度或者叫信道容量，B 是信道的带宽(Hz)，S 是平均信号功率(W)，N 是平均噪声功率(W)．已知平均信号功率为1000W ，平均噪声功率为10W ，在不改变平均信号功率和信道带宽的前提下，要使信道容量增大到原来的2倍，则平均噪声功率约降为
A ．0.1W
B ．1.0W
C ．3.2W
D ．5.0W
7．已知椭圆C ：x 2
a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦距为2
c (c ＞0)，右焦点为F ，过C 上一点P 作直线x ＝3
2c
的垂线，垂足为Q ．若四边形OPQF 为菱形，则C 的离心率为
A ．23
B ．6
3
C ．4－2 3
D ．3－1
8．已知函数f (x )＝
x －a e
x ，且e a
＝ln b ＝c ，则 A ．f (a )＜f (b )＜f (c ) B ．f (b )＜f (c )＜f (a ) C ．f (a )＜f (c )＜f (b ) D ．f (c )＜f (b )＜f (a )
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．已知无穷等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＞0，d ＜0，则
A ．数列{a n }单调递减
B ．数列{a n }没有最小值
C ．数列{S n }单调递减
D ．数列{S n }有最大值
10．已知a ，b 均为正数，且a －b ＝1，则
A ．2a －2b ＞1
B ．a 3－b 3＜1
C ．4a －1
b
≤1 D ．2log 2a －log 2b <2
11．已知函数f (x )＝sin 3
x
x 2＋1，x ∈(－π，π)，则
A ．∀x ∈(－π，π)，f (x )f (－x )≥0
B ．∀x ∈(－π，π)，|f (x )|≤1
C ． x 1，x 2∈(－π，π)，x 1≠x 2，f (x 1)＝f (x 2)
D ．∃x 0∈(－π，π)，∀x ∈(－π，π)，|f (x )|≤f (x 0)
12．由倍角公式3cos2x ＝2cos 2
x －1，可知cos2x 可以表示为cos x 的二次多项式．一般地，存在一个n (n ∈N *)次多项式P n (t )＝a 0＋a 1t ＋a 2t 2＋…＋a n t n (a 0，a 1，a 2，…，a n ∈R )，使得cos nx ＝P n (cos x )，这些多项式P n (t )称为切比雪夫(P ．L ．T s chebyscheff )多项式．则 A ．P 3(t )＝4t 3－3t B ．当n ≥3时，a 0＝0 C ．|a 1＋a 2＋a 2＋…＋a n |≤2 D ．sin18°＝
5－1
4
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．某志愿者服务大队计划在今年“五一”小长假这5天中安排3天到社区进行劳动法宣讲，则这3天中恰有2天连排的概率为_______．
14．已知正方形ABCD 的边长为2，当点P 满足_______时，→AP ·→
AC ＝4． (注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况) 15．设(x －1x )( x ＋1x
)6＝
14
70
i
i i a x
-=∑，则(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)－(a 7＋a 9＋a 11＋a 13)＝_______．
16．已知等边三角形ABC 的边长为2，点D ，E 分别在边AC ，BC 上，且DE //AB ，将△CDE 沿DE 折起，则四棱锥C －DABE 的体积的最大值为_______，此时四棱锥C －DABE 的外接球的表面积为_______．
三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10分)
在①4a sin B cos A ＝3b ，②b sin 2B ＋c sin 2C ＝(b ＋c ) sin 2A ，③3sin A ＋cos A ＝b a ＋a
b
．
这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求出cos B 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos C ＝1
3， ．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18．(12分
)
已知数列{a n }满足a 1＝2，(n ＋2)a n ＝3(n ＋1)a n ＋1． (1)求数列{a n }的通项公式
(2)设S n 为数列{a n }的前n 项和，求证S n ＜15
4．
19．(12分)
阳澄湖大闸蟹又名金爪蟹，产于江苏苏州，蟹身青壳白肚，体大膘肥，肉质膏腻，营养丰富，深受消费者喜爱．某水产品超市购进一批重量为100千克的阳澄湖大闸蟹，随机抽取了50只统计其重量，得到的结果如下表所示： 规格 中蟹
大蟹
特大蟹
重量
(单位：克) [160，180)
[180，200)
[200，220)
[220，240)
[240，260) [260，280]
数量
(单位：只)
3
2 15 20 7 3
(1)试用组中值来估计该批大闸蟹的有名少只?(所得结果四舍五入保留整数)
(2)某顾客从抽取的10只特大蟹中随机购买了4只，记重量在区间[260，280]上的大闸蟹数量为X ，求X 的概率分布和数学期望．
20．(12分)
已知AB 是圆O 的直径，且长为4，C 是圆O 上异于A 、B 的一点，点P 到A ，B ，C 的距离2 3.设二面角P －AC －B 与二面角P －BC －A 的大小分别为α，β． (1)求
1tan 2a ＋1tan 2β
的值； (2)若tan β＝3tan α，求二面角A －PC B 的余弦值．
21．(12分)
在平面直角坐标系xOy 中，过点M (0，－1)的直线交抛物y 2
＝4x 于A ，B 两点． (1)设OA ，OB 的斜率分别为k 1，k 2，求k 1＋k 2的值；
(2)过点A ，B 分别作直线x ＝－4的垂线，垂足为C 、D ，试探究∠AOB 和∠COD 的关系，并说明理由．
P
O
C B
A
22．(12分)
已知函数f (x )＝－3
2x 2＋6x ＋3log a x (a ＞0，且a ≠1)为单调减函数，f (x )的导函数f ′(x )的最大值不
小于0． (1) 求a 的值；
(2)若f (x 1)＋f (x 2)＝9，求证：x 1＋x 2≥2．
数 学 解析版 2021年4月
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小是，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．
1．设全集为R ，集合A ＝{x |2＜x ＜5}，B ＝{x |2x
＞16}，则A ∩( R B )＝
A ．{x |4＜x ≤5}
B ．{x |4＜x ＜5}
C ．{x |2＜x ≤4}
D ．{x |2＜x ＜4} 【答案】C
【考点】集合的运算、解指数不等式
【解析】由题意可知，B ＝{x |x ＞4}，所以 R B ＝{x |x ≤4}，则A ∩( R B )＝{x |2＜x ≤4}，故答案选C.
2．某校组建了甲、乙、丙3支羽毛球球队参加男女混合双打比赛，其中男队员有小王、小张、小李，女队员有小红、小芳、小丽．若小王和小红不是搭档，小张和小丽不是搭档，小李和
小芳不是搭档，则
A．小王的搭档一定是小芳B．小芳的搭档不可能是小张
C．小张的搭档不可能是小红D．小李的搭档可能是小丽
【答案】D
【考点】逻辑推理题
【解析】由题意可知，小王的搭档可以是小芳、小丽，小张的搭档可以是小红、小芳，小李的搭档可以是小红、小丽，所以①当小王的搭档是小芳时，小张的搭档是小红，小李的搭档是小丽，满足题意；②当小王的搭档是小丽时，小张的搭档是小芳，小李的搭档是小红，满足题意；则选项A、B、C均错误，故答案选D.
3．根据2010~2019年我国16~59岁人口比重统计数据y(%)，拟合了y与年份x的回归方程为ŷ＝－0.74x＋1551，试据此估计我国约从哪一年开始16~59岁人口比重低于50% A．2023 B．2026 C．2029 D．2032
【答案】C
【考点】线性回归方程的实际应用
【解析】法一：由题意可令y＜50，即－0.74x＋1551＜50，解得x＞2028.38，则x＝2029，故答案选C.
法二：可代入选项验证，即y＝－0.74×2029＋1551＝49.54＜50，即从2029年开始16~59岁人口比重低于50%，故答案选C.
4．碌碡(liùzhóu)是我国古代人民发明的一种把米、麦、
豆等粮食加工成粉末的器具，如图，近似圆柱形碌碡的轴
固定在经过圆盘圆心且垂直于圆盘的木桩上，当人推动木
柄时，碌碡在圆盘上滚动．若人推动木柄绕圆盘转动1周，
碌碡恰好滚动了3圈，则该圆柱形碌碡的高与其底面圆的
直径之比约为
A．3：1 B．3：2 C．1：3 D．2：3
【答案】B
【考点】新情景问题下的立体几何问题
【解析】由题意可设圆柱形碌碡的高为h，其底面圆的直径为d，则有2πh＝πd×3，所以h：d＝3：2，故答案选B.
5．若存在复数z同时满足|z－i|＝1，|z－3＋3i|＝t，则实数t的取值范围是
A ．[0，4]
B ．(4，6)
C ．[4，6]
D ．(6，＋∞) 【答案】C
【考点】复数的运算
【解析】由题意可设z ＝a ＋b i ，则有a 2＋(b －1) 2＝1，又因为|z －3＋3i|＝t ，即|a －3＋(b ＋3)i|＝t ，所以t ＝
(a －3)2＋(b ＋3)2
，可设a ＝cos θ，b ＝sin θ＋1，(θ为任意角)，则t ＝
(a －3)2
＋(b ＋3)2
＝(cos θ－3)2
＋(sin θ＋4)2
＝26＋8sin θ－6cos θ＝26＋10sin(θ＋φ)(tan φ＝34)∈[4，6]，当θ＋φ＝π2时取到最大值；当θ＋φ＝3π
2时取到最小值，所以实数t 的取值范围是[4，6]，故答案选C.
6．香农定理是所有通信制式最基本的原理，它可以用香农公式C ＝B log 2(1＋S
N )来表示，其中
C 是信道支持的最大速度或者叫信道容量，B 是信道的带宽(Hz)，S 是平均信号功率(W)，N 是平均噪声功率(W)．已知平均信号功率为1000W ，平均噪声功率为10W ，在不改变平均信号功率和信道带宽的前提下，要使信道容量增大到原来的2倍，则平均噪声功率约降为
A ．0.1W
B ．1.0W
C ．3.2W
D ．5.0W 【答案】A
【考点】新情境问题下的对数运算
【解析】由题意可得S ＝1000W ，N ＝10W ，则在信道容量未增大时，信道容量为C 1＝B log 2(1＋S N )＝B log 2101，信道容量增大到原来的2倍时，C 2＝B log 2(1＋1000N′)＝2C 1，则log 21012＝log 2(1＋
1000N′)，即1＋1000
N′
＝1012，解得N ′≈0.1 W ，故答案选A. 7．已知椭圆C ：x 2
a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦距为2
c (c ＞0)，右焦点为F ，过C 上一点P 作直线x ＝32c
的垂线，垂足为Q ．若四边形OPQF 为菱形，则C 的离心率为
A ．23
B ．6
3
C ．4－2 3
D ．3－1
【答案】D
【考点】圆锥曲线中椭圆的几何性质应用
【解析】法一：由题意可知|PQ |＝|OP |＝|OF |＝c ，而x P ＝32c －c ＝12c ，所以y P ＝3
2c ，则△OPF
为正三角形，设椭圆的左焦点为F 1，则PF 1⊥PF ，且PF ＝c ，PF 1＝3c ，所以由椭圆的定义可得PF ＋PF 1＝2a ，即c ＋3c ＝2a ，解得离心率为3－1，故答案选D.
法二：由题意可知|PQ |＝|OP |＝|OF |＝c ，而x P ＝32c －c ＝12c ，所以y P ＝32c ，即P (12c ，3
2c )，代
入椭圆方程可得，14c 2a 2＋34c 2b 2＝1，又a 2＝b 2＋c 2
，则化简为14c 2a 2＋34c 2
(a 2－c 2)＝1，即14e 2＋34⋅e 2
1－e 2＝1，
解得e 2＝4－23＝(3－1)2，则e ＝3－1，故答案选D. 8．已知函数f (x )＝
x －a e
x ，且e a
＝ln b ＝c ，则 A ．f (a )＜f (b )＜f (c ) B ．f (b )＜f (c )＜f (a ) C ．f (a )＜f (c )＜f (b ) D ．f (c )＜f (b )＜f (a )
【答案】A
【考点】利用函数的单调性判断函数值大小
【解析】由题意f ′(x )＝1＋a －x e x ，所以f (x )在[1＋a ，＋∞)上单调递减，而e a
＝ln b ＝c ，所以c ＝e a ≥a ＋1，b ＝e c ≥c ＋1≥a ＋2，则有b ＞c ≥a ＋1，又因为f (a )＝0，f (b )，f (c )均大于0，所以f (a )＜f (b )＜f (c )，故答案选A.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．已知无穷等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＞0，d ＜0，则
A ．数列{a n }单调递减
B ．数列{a n }没有最小值
C ．数列{S n }单调递减
D ．数列{S n }有最大值
【答案】ABD
【考点】等差数列的单调性与前n 项和的最值
【解析】由题意，对于无穷等差数列{a n }，因为d ＜0，所以数列{a n }单调递减，且无穷递减，所以没有最小值，故选项A 、B 均正确；对于数列{S n }，S n ＝na 1＋12nd (n －1)＝12dn 2＋(a 1－12d )n ，
为关于n 的二次函数，其对称轴为n ＝－a 1－1
2
d
d ，因为a 1＞0，d ＜0，所以该二次函数的图象
开口向下，则有最大值，所以选项C 错误，选项D 正确；故答案选ABD. 10．已知a ，b 均为正数，且a －b ＝1，则
A ．2a －2b ＞1
B ．a 3－b 3＜1
C ．4a －1
b
≤1 D ．2log 2a －log 2b <2
【答案】AC
【考点】不等关系、对数运算与应用
【解析】由题意，对于选项A ，因为a －b ＝1，所以2a －2b ＝2
b ＋1
－2b ＝2b (2－1)＝2b ＞1，故
选项A 正确；对于选项B ，a 3－b 3＝(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＝a 2＋ab ＋b 2＝(b －1)2＋(b －1)b ＋b 2＝3b 2＋3b ＋1＞1，故选项B 错误；对于选项C ，4a －1b ＝(4a －1b )(a －b )＝4＋1－a b －4b a ＝5－(a b ＋4b
a )
≤5－2
a b ·4b a ＝1，当且仅当a b ＝4b
a
，且a －b ＝1，即a ＝2，b ＝1时取等号，故选项C 正确；对于选项D ，2log 2a －log 2b ＝log 2a 2－log 2b ＝log 2a 2
b ＝log 2(b ＋1)2b ＝log 2(b ＋1b ＋2)≥log 24＝2，当
且仅当b ＝1
b ，即b ＝1时取等号，故选项D 错误；故答案选AC.
11．已知函数f (x )＝sin 3
x
x 2＋1，x ∈(－π，π)，则
A ．∀x ∈(－π，π)，f (x )f (－x )≥0
B ．∀x ∈(－π，π)，|f (x )|≤1
C ．∃x 1，x 2∈(－π，π)，x 1≠x 2，f (x 1)＝f (x 2)
D ．∃x 0∈(－π，π)，∀x ∈(－π，π)，|f (x )|≤f (x 0) 【答案】BCD
【考点】函数的性质综合应用
【解析】法一：由题意可知，f (－x )＝－f (x )，即函数f (x )为奇函数，所以f (x )f (－x )＝－f (x )2≤0，故选项A 错误；对于选项B ，|f (x )|＝
|sin 3x |x 2＋1≤1
x 2＋1
≤1，故选项B 正确；对于选项C ，可取x 1
＝0，x 2＝π，则f (x 1)＝f (x 2)，即满足题意，故选项C 正确；对于选项D ，当x ∈(0，π)时，f (x )＞0，而f (0)＝f (π)，所以|f (x )|存在最大值，故选项D 正确；故答案选BCD.
法二：由题意可知，f (－x )＝－f (x )，即函数f (x )为奇函数，所以f (x )f (－x )＝－f (x )2≤0，且|f (x )|＝|sin 3x |x 2＋1≤1x 2＋1≤1，故选项A 错误，B 正确；因为f (x )＝sin 3x x 2＋1，所以f′(x )＝3sin 2x ·cos x ()x 2＋1－2x sin 3x ()x 2＋12＝sin 2x []
2cos x ()x 2＋1－2x sin x ()x 2＋12
，可设g (x )＝3cos x (x 2＋1)－2x cos x ，则g ′(x )＝－3sin x (x 2＋1)＋6x cos x －2sin x －2cos x ＝－3sin x (x 2＋1)＋4x cos x －2sin x ≤0在区间[0，π]上恒成立，所以g (x )在[0，π]上单调递减，且g (0)＝3，g (π)＝－3(π2＋1)＜0，所以存在唯一的x 0∈(0，π)，使得g (x )＝0，而当0＜x ＜x 0时，g (x )＞0，即f′(x )＞0，所以f (x )在(0，x 0)上单
调递增；当x 0＜x ＜π时，g (x )＜0，即f′(x )＜0，所以f (x )在(x 0，π)上单调递减，则当x ∈(0，π)时，f (x )在x ＝x 0处取到唯一的极大值，也是最大值，故选项C 、D 正确；故答案选BCD. 12．由倍角公式3cos2x ＝2cos 2
x －1，可知cos2x 可以表示为cos x 的二次多项式．一般地，存在一个n (n ∈N *)次多项式P n (t )＝a 0＋a 1t ＋a 2t 2＋…＋a n t n (a 0，a 1，a 2，…，a n ∈R )，使得cos nx ＝P n (cos x )，这些多项式P n (t )称为切比雪夫(P ．L ．T s chebyscheff )多项式．则 A ．P 3(t )＝4t 3－3t B ．当n ≥3时，a 0＝0 C ．|a 1＋a 2＋a 2＋…＋a n |≤2 D ．sin18°＝
5－1
4
【答案】ACD
【考点】新情境下问题下的三角函数的综合应用 【解析】
法一：∵cos3x ＝4cos 3
x －3cos x ，∴cos3x ＝P 3(cos x )，则P 3(t )＝4t 2－3t ，故选项A 正确；由 cos4x ＝2cos 2
2x －1＝2[2cos 2
x －1]2
－1，可得常数项为1不为0，故选项B 错误；对于选项C ，由P n (1)＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a n ＝1，且P n (0)＝±1，∴|a 1＋a 2＋…＋a n |≤2，故选项C 正确；对于选项D ，因为cos72°＝sin18°，所以2cos 236°－1＝cos72°＝sin18°，所以2(1－2sin 218°)－1＝sin18°，可设sin18°＝t ，则2(1－2t 2)－1＝t ，解得t ＝5－1
4
，故选项D 正确； 综上，答案选ACD.
法二：因为cos3x ＝cos2x cos x －sin2x sin x ＝2cos 3
x －cos x －2sin 2
x cos x ，
所以cos3x ＝2cos 3x －cos x －2(1－cos 2x )cos x ＝4cos 3
x －3cos x ，即选项A 正确；令x ＝π2，则
t ＝cos π2＝0，则a 0＝cos m π
2，则a 0＝0，±1，即选项B 错误；令x ＝0，则t ＝cos x ＝1，可得
a 0＋a 1＋…＋a n ＝1，所以a 1＋…＋a n ＝0，1，2，则选项C 正确；设sin18°
＝x ，则x ＝cos72°
＝2cos 2
36°
－1＝2(1－2x 2)2
－1，将x ＝5－1
4
代入，方程成立，即选项D 正确； 综上，答案选ACD ．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．某志愿者服务大队计划在今年“五一”小长假这5天中安排3天到社区进行劳动法宣讲，则这3天中恰有2天连排的概率为_______．
【答案】3
5
【考点】随机事件的概率求解
【解析】由题意，由插空法得3天中恰有2天连排的概率为P ＝A 23
C 35＝3
5，故答案选C.
14．已知正方形ABCD 的边长为2，当点P 满足_______时，→AP ·→
AC ＝4． (注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)
【答案】点P 在直线BD 上(或点P 在经过BD 且垂直于平面ABCD 的面上) 【考点】平面向量的数量积
【解析】由题意，当点P 为AC 的中点时，→AP ·→
AC ＝2×22×cos0°＝4，可满足题意，，故答案可为：AC 的中点. 15．设(x －1x )(x ＋1x )6＝
14
70
i
i i a x
-=∑，则(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)－(a 7＋a 9＋a 11＋a 13)＝_______．
【答案】20
【考点】二项式定理展开式的应用
【解析】法一：由题意可得，(x －1x )(x ＋1
x
)6＝
14
70
i
i i a x
-=∑＝a 0x 7＋a 1x 6＋a 2x 5＋…＋a 14x
－7
，则(x
＋1x )6(x －1x )＝[(1x )6＋6⋅1x 4＋15⋅1x 2＋20＋12x 2＋6x 4＋x 6](x －1x )＝x 7＋5x 5＋9x 3＋5x －5x －1－9x －3
－5x －5
－x －7
，所以a 0＝1，a 2＝5，a 4＝9，a 6＝5，a 7＝a 9＝a 11＝a 13＝0，所以(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)－(a 7＋a 9＋a 11＋a 13)＝20，故答案选20. 法二：由题意可得，(x －1x )(x ＋1x
)6＝
14
70
i i i a x -=∑＝a 0x 7＋a 1x 6＋a 2x 5＋…＋a 14x －7
，所以a 0＝1，a 2
＝－C 46＋C 56，a 4＝－C 56＋C 46，a 6＝－C 46＋C 3
6，且a 7＝a 9＝a 11＝a 13＝0，所以(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)－
(a 7＋a 9＋a 11＋a 13)＝20，故答案选20.
16．已知等边三角形ABC 的边长为2，点D ，E 分别在边AC ，BC 上，且DE //AB ，将△CDE 沿DE 折起，则四棱锥C －DABE 的体积的最大值为_______，此时四棱锥C －DABE 的外接球的表面积为_______． 【答案】239，4(17－43)π9
．
【考点】立体几何的体积与外接球问题 【解析】
(1)设M ，N 分别为DE ，AB 的中点，DE ＝x ，则AD ＝BE ＝2－x ，
V C －DABE ≤13S 等腰梯形DABE ×CM ＝13×34(22－x 2)·32x ＝12x －18x 3
，其中0＜x ＜2．
记f (x )＝12x －1
8
x 3，0＜x ＜2，
则f ′(x )＝12－38x 2＝1
8(2＋3x )(2－3x )，
令f ′(x )＝0，得x ＝
23
，此时f (x )max ＝23
9，
所以四棱锥C －DABE 的体积的最大值为23
9
.
(2)设O 1，O 2分别为△CDE ，等腰梯形DABE 的外接圆的圆心， 则O 1为CM 的三等分点(靠M )，O 2在直线MN 上．
设过O 1，O 2分别与△CDE ，等腰梯形DABE 垂直的直线交于点O (四棱锥C －DABE 的外接球的球心)，连接O 2A ，O 2D ，O 2O ，O 1O ， 由(1)知，等腰梯形DABE 中，AB ＝2，DE ＝
23，AD ＝BE ＝2－23
， MN ＝3－1，则O 2在线段MN 的延长线上，O 2O ＝O 1M ＝13CM ＝1
3.
设O 2N ＝y ，由AO 22＝DO 22得，AN 2
＋O 2N 2
＝DM 2
＋MO 22
， 即12
＋y 2
＝(
13
)2＋(3－1＋y )2
，解得y ＝2－33.
则AO 2＝AO 22＋OO 22＝12
＋(2－33)2＋(13)2＝17－439
.
所以四棱锥C －DABE 的外接球的表面积S ＝4π×AO 2＝4(17－43)π
9.
三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10分)
在①4a sin B cos A ＝3b ，②b sin 2B ＋c sin 2C ＝(b ＋c ) sin 2A ，③3sin A ＋cos A ＝b a ＋a
b
．
这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求出cos B 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos C ＝1
3
， ．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【考点】结构不良题：解三角形与三角恒等变换综合应用 【解析】
选①：因为4a sin B cos A ＝3b ，由正弦定理得4sin A sin B cos A ＝3sin B ， ……2分
所以B ∈(0，π)，所以sin B ≠0， 所以4sin A cos A ＝3，sin2A ＝
3
2
， ……3分 又A ∈(0，π)，2A ∈(0，2π)，所以2A ＝π3或2π3，即A ＝π6或π
3． ……5分
因为cos C ＝13，C ∈(0，π)，所以sin C ＝1－cos 2
C ＝223. ……6分
当A ＝π
6
时，cos B ＝－cos(A ＋C )
＝－cos(π6＋C )＝－(32×13－12×223)＝22－3
6
， ……8分
当A ＝π
3
时，cos B ＝－cos(A ＋C )
＝－cos(π3＋C )＝－(12×13－32×223)＝26－1
6
，
因此cos B 的值为22－36或26－1
6． ……10分
选②：因为b sin 2
B ＋c sin 2
C ＝(b ＋c )sin 2
A ，
由正弦定理得b 3
＋c 3
＝(b ＋c )a 2
， ……2分 因为b ＋c ＞0，所以b 2
＋c 2
－bc ＝a 2
， ……4分 所以cos A ＝b 2
＋c 2
－a 22bc ＝1
2
，
因为A ∈(0，π)，所以A ＝π
3. ……6分
因为cos C ＝13，C ∈(0，π)，所以sin C ＝1－cos 2
C ＝223， ……7分
所以cos B ＝－cos(A ＋C )
＝－cos(π3＋C )＝－(12×13－32×223)＝2 6 －16
，
因此cos B 的值26－1
6. ……10分
选③：因为3sin A ＋cos A ＝b a ＋a b ，所以2sin(A ＋π6)＝b a ＋a
b ， ……2分
因为2≥2 sin(A ＋π6)＝b a ＋a
b
≥2
b a ×a
b
＝2， ……4分
于是b a ＋a b ＝2，即a ＝b ；且2sin(A ＋π6)＝2，即sin(A ＋π
6
)＝1， ……6分
注意到A ∈(0，π)，A ＋π6∈(π6，7π6
)，
因此A ＋π6＝π2，即A ＝π
3， ……8分
于是△ABC 为等边三角形， 因此cos C ＝12与cos C ＝1
3
相矛盾，
故△ABC 不存在． ……10分
18．(12分)
已知数列{a n }满足a 1＝2，(n ＋2)a n ＝3(n ＋1)a n ＋1． (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设S n 为数列{a n }的前n 项和，求证S n ＜15
4
．
【考点】数列求通项公式、利用数列错位相减法或裂项相消法求和证明不等式 【解析】
(1)法一：由(n ＋2)a n ＝3(n ＋1)a n ＋1，得a n ＋1n ＋2＝13·a n
n ＋1， ……2分
因为a 1＝2，所以a 1
1＋1
＝1≠0，所以a n ＋1
n ＋2a n n ＋1
＝13，
所以{a n n ＋1}是首项为1，公比为1
3的等比数列， ……4分
所以a n n ＋1＝(13)n －1，即a n ＝(n ＋1)·(13)n －1(n ∈N *
). ……6分
法二：由(n ＋2)a n ＝3(n ＋1)a n ＋1，a n ＋1a n ＝13·n ＋2
n ＋1， ……2分
所以a 2a 1＝13⋅32，a 3a 2＝13⋅43，a 4a 3＝13⋅54，…，a n a n －1＝13⋅n ＋1
n
(n ≥2)，
所以a 2a 1⋅a 3a 2⋅a 4a 3⋅…⋅a n a n －1＝(13)n －1⋅32⋅43⋅54⋅…⋅n ＋1n (n ≥2)， ……4分
即a n ＝(n ＋1)(13
)n －1
(n ≥2)．
由于a 1＝2符合上式，所以a n ＝(n ＋1)(13)n －1
(n ∈N *)． ……6分
(2)法一：由S n ＝230＋331＋4
32＋…＋n ＋13
n －1，得
13S n ＝231＋332＋433＋…＋n
3
n －1＋n ＋13n ， 两式相减，得23S n ＝2＋131＋132＋…＋1
3n －1－n ＋13
n －1 ……9分
＝2＋13[1－(13)n －1
]1－
13
－n ＋13n ＝52－2n ＋52·3n ， 所以S n ＝154－6n ＋154·3n ＜15
4，得证． ……12分 法二：由a n ＝(n ＋1)(13)n －1＝32n ＋943n －1－32
(n ＋1)＋
9
43n ， ……9分
所以S n ＝(32×1＋9430－32×2＋9431)＋(32×2＋9431－32×3＋9432)＋(32×3＋9432－32×4＋9
4
33
)＋
…＋[32×n ＋943
n －1－32×(n ＋1)＋9
43n ]
＝32×1＋9430－32×(n ＋1)＋9
43n ＝154－6n ＋154·3n ＜15
4，得证． ……12分
19．(12分)
阳澄湖大闸蟹又名金爪蟹，产于江苏苏州，蟹身青壳白肚，体大膘肥，肉质膏腻，营养丰富，深受消费者喜爱．某水产品超市购进一批重量为100千克的阳澄湖大闸蟹，随机抽取了50只统计其重量，得到的结果如下表所示： 规格 中蟹
大蟹
特大蟹
重量
(单位：克) [160，180)
[180，200)
[200，220)
[220，240)
[240，260) [260，280]
数量
(单位：只)
3
2 15 20 7 3
(1)试用组中值来估计该批大闸蟹的有名少只?(所得结果四舍五入保留整数)
(2)某顾客从抽取的10只特大蟹中随机购买了4只，记重量在区间[260，280]上的大闸蟹数量为X ，求X 的概率分布和数学期望． 【考点】随机变量的概率分布与期望 【解析】
(1)50只大闸蟹的平均重量为：
150
×(170×3＋190×2＋210×15＋230×20＋250×7＋270×3)＝224， ……3分 所以水产品超市购进的100千克大闸蟹只数约为100000÷224≈446． ……5分 (2)X 的可能取值为0，1，2，3， ……6分 概率分别为：
P (X ＝0)＝C 03C 47C 410＝16； P (X ＝1)＝C 13C 37
C 410＝12；
P (X ＝2)＝C 23C 27C 410＝310； P (X ＝3)＝C 33C 17
C 410＝130
X 0 1 2 3 P
1
6
12
310
130
……10分 所以E (X )＝0×16＋1×12＋2×310＋3×130＝6
5． ……12分
20．(12分)
已知AB 是圆O 的直径，且长为4，C 是圆O 上异于A 、B 的一点，点P 到A ，B ，C 的距离均为2 3.设二面角P －AC －B 与二面角P －BC －A 的大小分别为α，β． (1)求1tan 2a ＋1
tan 2β的值； tan β＝3tan α，求二(2)
若
面角A
－PC －B 的余弦值．
【考点】立体几何中位置关系的证明、求二面角、与三角函数的综合应用 【解析】
(1)连结PO ，O C ．因为P A ＝PB ，O 为AB 的中点，
P
O
C
B
A
z
P
所以PO ⊥AB ．
因为C 是圆O 上异于A ，B 的一点，AB 是圆O 的直径， 所以AC ⊥BC ，从而AO ＝CO ． 又因为P A ＝PC ，PO ＝PO ， 所以△P AO ≌△PCO ，
所以∠POC ＝∠POA ，即PO ⊥A C. 因为AO ，CO ⊂平面ABC ，AO ∩CO ＝O ，
所以PO ⊥平面AB C ． ……2分 分别取AC ，BC 的中点M ，N ，
连接PM ，OM ，PN ，ON ，则在圆O 中，OM ⊥A C ． 由PO ⊥平面ABC ，得PO ⊥A C ． 又PO ∩OM ＝O ，故AC ⊥平面PMO ， 所以AC ⊥PM ． 所以∠PMO ＝α． 同理，∠PNO ＝β．
于是1tan 2α＋1tan 2β＝(OM OP )2＋(ON OP )2＝(OC OP )2＝OC 2
AP 2－OA 2＝12. ……6分 (2)因为tan β＝3tan α，所以BC ＝3AC ＝2 3.
在圆O 中，CA ⊥CB ，以点C 为坐标原点，CA 所在直线为x 轴，CB 所在直线 为y 轴，过C 且垂直于平面ABC 的直线为z 轴建立空间直角坐标系C －xyz . 则C (0，0，0)，A (2，0，0)，B (0，23，0)．
又因为PO ⊥平面ABC ，所以OP //z 轴，从而P (1，3，22).
则→
CA ＝(2，0，0)，→
CB ＝(0，23，0)， →
CP ＝(1，3，22)． ……8分 设平面P AC 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，
则⎩⎨⎧m ·→CA ＝0，m ·→CP ＝0，即⎩⎨⎧2x ＝0，x ＋3y ＋22z ＝0，
不妨取y ＝22，则x ＝0，z ＝－3，此时m ＝(0，22，－3).
同理，平面PBC 的一个法向量n ＝(22，0，1) ． ……10分 所以cos ＜m ，n ＞m ·n |m ||n |＝－3
11×3
＝－3333.
M
A B
O
y
x
又二面角A －PC －B 为钝二面角， 所以二面角A －PC －B 的余弦值为－33
33
. ……12分
21．(12分)
在平面直角坐标系xOy 中，过点M (0，－1)的直线交抛物y 2
＝4x 于A ，B 两点． (1)设OA ，OB 的斜率分别为k 1，k 2，求k 1＋k 2的值；
(2)过点A ，B 分别作直线x ＝－4的垂线，垂足为C 、D ，试探究∠AOB 和∠COD 的关系，并说明理由．
【考点】圆锥曲线中双曲线与直线的位置关系解决斜率之和为定值、角度与斜率的关系 【解析】
(1)设A (y 124，y 1)，B (y 22
4，y 2)
因为直线AB 过点M (0，－1)，
所以y 1＋1y 124＝y 2＋1
y 224，整理得y 1＋y 2＝－y 1y 2， ……2分
所以k 1＋k 2＝4y 1＋4
y 2＝4·y 1＋y 2y 1y 2＝－4. ……4分
(2)①当A ，B 两点在x 轴的异侧时，∠AOB ＋∠COD ＝π；
②当A ，B 两点在x 轴的同侧(只能同在下方)时，∠AOB ＝∠COD ． ……6分 理由如下：
① 当A ，B 两点在x 轴的异侧时，不妨设y 1＞0，y 2＜0，
直线OA ，OB 的斜率分别为k 1＝4y 1，k 2＝4
y 2，
t an(π－∠AOB )＝k 2－k 1
1＋k 2k 1
＝4y 2－
4y 11＋16 k 2k 1＝4(y 1－y 2)y 1y 2＋16.
由题意，C (－4，y 1)，D (－4，y 2)，
所以直线OC ，OD 的斜率分别为k OC ＝－y 14，k 2＝－y 2
4，
tan(π－∠COD )＝k OC －k OD 1＋k OC k OD
＝－y 14＋y 2
41＋
y 1y 216＝4()
y 2－y 1y 1y 2＋16．
所以tan(π－∠AOB )＝－tan(π－∠COD )＝tan ∠CO D ．
因为∠AOB ，∠COD ∈(0，π)，
所以π－∠AOB ＝∠COD ，即∠AOB ＋∠COD ＝π． ……9分 (2)当A ，B 两点在x 轴的同侧(只能同在下方)时，不妨设y 2＜y 1＜0， tan ∠AOB ＝k 2－k 1
1＋k 2k 1＝4y 2－
4y 11＋
16 y 1 y 2＝4(y 1－y 2)y 1y 2＋16，
tan ∠COD ＝k OD －k OC 1＋k OC k OD
＝－y 24＋y 141＋
y 1y 216＝4()
y 1－y 2y 1y 2＋16，
所以tan ∠AOB ＝tan ∠COD ．
因为∠AOB ，∠COD ∈(0，π)，所以∠AOB ＝∠COD ． ……12分
22．(12分)
已知函数f (x )＝－3
2x 2＋6x ＋3log a x (a ＞0，且a ≠1)为单调减函数，f (x )的导函数f ′(x )的最大值不
小于0． (1) 求a 的值；
(2)若f (x 1)＋f (x 2)＝9，求证：x 1＋x 2≥2．
【考点】函数与导数：恒成立问题、利用单调性证明不等式 【解析】
(1)因为f (x )为单调减函数，
所以f ′(x )＝－3x ＋6＋3
x ln a
≤0恒成立，
所以1ln a ≤x 2
－2x 在x ∈(0，＋∞)上恒成立． ……2分
由于当x ＝1时，(x 2
－2x )m i n ＝－1，
所以1ln a ≤－1，解得1
e ≤a ＜1. ……4分
因为f ′(x )＝－3[x ＋1x (－ln a )]＋6≤－6
－
1
ln a
＋6， 当x ＝
－1
ln a
时，f ′(x )的最大值为－6－1
ln a
＋6，
由题意，－6－1ln a ＋6≥0，所以0＜a ≤1e
. 综上，a ＝1e
. ……6分 (2)由(1)知，f (x )＝－32x 2＋6x －3ln x ，所以f (1)＝92
. 因为f (x 1)＋f (x 2)＝9，f (x )为(0，＋∞)单调减函数，
可设0＜x 1≤1≤x 2. ……8分 令F (x )＝f (x )＋f (2－x )，0＜x ≤1．
所以F ′(x )＝f ′(x )＋f ′(2－x )
＝[6－3(x ＋1
x )]－[6－3(2－x ＋1
2－x )]＝6(x －1)3x (2－x )≤0，
所以F (x )在(0，1]上单调递减，
所以F (x )≥F (1)＝2f (1)＝9，
所以f (x )＋f (2－x )≥9，0＜x ≤1．
……10分 因为0＜x 1≤1，所以f (2－x 1)≥9－f (x 1)＝f (x 2)．
因为f (x )为(0，＋∞)单调减函数，
所以2－x 1≤x 2，即x 1＋x 2≥2．
……12分。