北航 理论力学 复习课件

y
ω δr
对于定常约束,实位移是虚位移之一 对于定常约束 实位移是虚位移之一
x
∑F
i =1
n
Ni
• δ ri = 0
• 理想约束 质点系中所有约束力在任何虚位移上所作 理想约束: 质点系中所有约束力 任何虚位移上所作 所有约束力在
虚功之和为零的约束。 虚功之和为零的约束。 为零的约束
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问题: 问题
aB = a A + a + a
n BA
t BA
B：能求出圆盘的角速度（大小和方向） ：能求出圆盘的角速度（大小和方向） C：能求出圆盘上任一点的加速度； ：能求出圆盘上任一点的加速度； D：能求出圆盘的角加速度（大小和方向） ：能求出圆盘的角加速度（大小和方向）
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问题。 为左半圆盘上的任意一点， 为该点的速率， 问题。设P为左半圆盘上的任意一点，若 vP 为该点的速率，如 为左半圆盘上的任意一点 果圆盘匀角速在地面上纯滚动，则下列关系式哪个成立？ 果圆盘匀角速在地面上纯滚动，则下列关系式哪个成立？
用什么方法求绳索BD的拉力 用什么方法求绳索 的拉力? 的拉力
a
D
a
W
a
C
M
ϕ
W
A
W
B
问题: 作用于BC杆上的力偶 与绳索BD的拉力是否有关 杆上的力偶M与绳索 的拉力是否有关? 问题 作用于 杆上的力偶 与绳索 的拉力是否有关 要求：能熟练求解刚体系的平衡问题、会判断结构的静定性。 要求：能熟练求解刚体系的平衡问题、会判断结构的静定性。
A: dv p dt dv p dt dv p <0
B
=0 >0
P
u
B: C: D:
u
A
dt 不能确定
问题：半径为 的圆盘在地面上纯滚动 的圆盘在地面上纯滚动， 问题：半径为R的圆盘在地面上纯滚动，圆盘中心 的速度为u（常量）。 ）。过圆盘中心画一矢量 的速度为 （常量）。过圆盘中心画一矢量 rAB 为直径）。求该矢量对时间一阶导数的大小。 （AB为直径）。求该矢量对时间一阶导数的大小。 为直径）。求该矢量对时间一阶导数考题：半径为 R 的圆盘做平面运动，已知某瞬时圆盘边缘 上两点A、 的加速度 的加速度a 大小、方向如图所示）， ），试判 上两点 、B的加速度 （大小、方向如图所示），试判 断出下列结论哪些是正确的： 断出下列结论哪些是正确的： A：这种运动不存在； ：这种运动不存在；
at = ɺɺet s an = ɺ2 s
反映速度大小的变化
ρ
en
反映速度方向的变化
va = ve + vr
a a = a e + a r + aC
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思考题： 做平面曲线运动， 思考题：点M做平面曲线运动，已知该点速度的大小 v=at 做平面曲线运动 (a>0), 速度的方向与 x 轴的夹角 轴的夹角θ=0.5bt2(b>0),求任意时刻 求任意时刻 (t>0)动点 的加速度在轴上的投影以及轨迹的曲率半径。 动点M的加速度在轴上的投影以及轨迹的曲率半径 动点 的加速度在轴上的投影以及轨迹的曲率半径。 y v M θ
= AB • α = AB • ω
2
o
aA
x
•加速度瞬心：在某瞬时，平面图形上加速度为零的点。 加速度瞬心：在某瞬时，平面图形上加速度为零的点。 加速度瞬心 当平面图形的角速度与角加速度不同时为零时， 当平面图形的角速度与角加速度不同时为零时，必存 角速度 不同时为零时 在唯一的一点，在该瞬时其加速度为零。 在唯一的一点，在该瞬时其加速度为零。 要求： 要求：能熟练求解刚体平面运动和点的复合运动的综合 性问题。 性问题。
2
一、 静力学
• 静力学的基本概念与方法 • 平衡方程 • 虚位移原理 • 例题、思考题、问题
3
一、静力学的基本概念与基本原理和定理
•力系 力系(force system): 作用在物体上的一组力 { F1 , F 2 , ⋯ , F n } 力系 •等效力系 等效力系(equivalent force system): 等效力系 对同一刚体产生相同作用效果的力系. 对同一刚体产生相同作用效果的力系
drAB =? dt
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思考题：面图形上 、 两点的瞬时加速度分布如图所示 两点的瞬时加速度分布如图所示， 思考题：面图形上A、B两点的瞬时加速度分布如图所示，试 判断哪种运动是可能的，哪种运动是不可能的。 判断哪种运动是可能的，哪种运动是不可能的。
（a） a A = −aB
(b) a A // a B ,0 < β <
tan ϕ ≤ tan ϕ m = f
L cos θ 4 cos θ OC = = tan ϕ = 3L OB sin θ 3 sin θ 4
B
ϕ
4 cos θ f ≥ = f min 3 sin θ
8
四、虚位移原理
•元功: δ W = F • vdt = F • dr 元功 等效力系作功定理: 等效力系作功定理 若作用于刚体上的力系等效 即: {F , F2 ,⋯, Fn} = {P ,⋯, P } = {FR , Mo} 1 1 m 则
i
dm + vr dt
p 2 − p1 = ∑ I i
2、动量矩定理 、
Lo = ∑ ri × mi vi = rOC × mvC + LrC
dLA = dt
d L rC = dt
d LrA = ∑ ( ri × Fi ( e) ) + rAC × ( −m a A ) dt
{ F1 , F 2 ,⋯ , F n } ⇔ {0 }
平衡力系也称为零力系 平衡力系也称为零力系
4
二、空间任意力系简化及其平衡条件 空间任意力系简化 {F , F ,⋯, F } ⇔{F , MO} 1 2 n R
FR = 0 , M O = 0
空间任意力系的平衡条件： 空间任意力系的平衡条件：
注：正交条件是充分的，不是必要的。 正交条件是充分的，不是必要的。 能够给出特殊力系的平衡方程和独立平衡方程的个数。 能够给出特殊力系的平衡方程和独立平衡方程的个数。 特殊力系的平衡方程和独立平衡方程的个数
5
三、刚体系与结构的平衡 •静 定 问 题 ( statically determinate problem): 静 未知量的数目= 独立平衡方程的数目 未知量的数目= •静不定问题( statically indeterminate problem): 未知量的数目> 独立平衡方程的数目 未知量的数目>
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运动学
• 点的运动学
– 运动方程、速度、加速度 运动方程、速度、 – 矢量法、直角坐标法、自然坐标法 矢量法、直角坐标法、
• 点的复合运动
– 绝对运动、相对运动、牵连运动 绝对运动、相对运动、 – 绝对速度、相对速度、牵连速度 绝对速度、相对速度、 – 绝对加速度、相对加速度、牵连加速度、科氏加速度 绝对加速度、相对加速度、牵连加速度、
2
2
o o v
y
2
ɺɺ = +mg + cy2 ɺ D: my
E: 未给出正确答案
21
mg
二、质点系的动力学普遍定理 1、动量定理 p = 、
∑m v
∑F
i
i i
( e)
= m vC = ∑ m i vCi
⇔ m aC =
( e)
dp = dt
∑ma
i
Ci
=
∑F
( e) i
d vC m = dt
∑F
π
2
, aA > 0
根据上述思考题， 还能提出什么问题？ 根据上述思考题， 还能提出什么问题？
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动力学
一、质点动力学
•惯 性 系 惯 •非惯性系 非惯性系
ma = mar
∑F =∑ F
+ Fe + FC
应 用 方 法
•运动与受力分析、建立矢量方程 运动与受力分析、 运动与受力分析 •选定坐标系（直角坐标系、自然轴系） 选定坐标系（直角坐标系、自然轴系） 选定坐标系 •将矢量方程在选定坐标轴上投影 将矢量方程在选定坐标轴上投影 •求解投影方程 求解投影方程
思考题：确定图示系统是否为静定结构 思考题： A A D
F
D
F
B
L L (1) L
B C
L (2) L L
C
6
平面桁架内力的计算方法
平面桁架的特点： 平面桁架的特点：桁架中的每个杆件均为二力构件或二力杆 1、节点法：以节点为研究对象计算杆件内力的方法 节点法： 节点法的特点:1、研究对象为节点（汇交力系） 节点法的特点 、研究对象为节点（汇交力系） 2、每个节点可以建立两个独立的平衡方程 、 2、截面法：以部分桁架为研究对象计算杆件内力的方法 截面法： 1
vB
βB
r0 B A β
A
vA vA
x'
[v B ]AB = [v A ]AB
3、速度瞬心法 、
o
x
ω
M CV
vM
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v M = v MCV , vM = MCV ω
4、平面图形上各点的加速度 、
y
aB = a A + a + a
n BA
t BA
ω
y'
t aBA
α
x'
B
a
A
n BA
a a
t BA n BA
理论力学期末答疑通知
• 答疑时间： 答疑时间： • 1月16日上午 8：30-11：30 月 日 ： ： • 下午 14：30-17：30 ： ：
• 答疑地点：主北302 答疑地点：主北
1
理论力学复习课
•静力学(几何静力学和分析静力学） 静力学(几何静力学和分析静力学） 静力学 •运动学（点的运动学、刚体的运动学） 运动学（点的运动学、刚体的运动学） 运动学 •动力学（质点动力学、质点系动力学、 动力学（质点动力学、质点系动力学、 动力学 动静法） 动静法）
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例题:均质杆 和均质圆盘铰接 如图所示， 例题 均质杆AB和均质圆盘铰接，如图所示，杆和圆盘的 均质杆 和均质圆盘铰接， 质量相同， 质量相同，杆与铅垂线的夹角为 θ,圆盘与墙壁的摩擦系 圆盘与墙壁的摩擦系 数为f. 若系统处于平衡， 数为 若系统处于平衡，求杆与地面的静滑动摩擦系数的 最小值． 最小值 解：不滑动的条件： 不滑动的条件： O O AC
平衡
∑ Fx = 0 ∑ MOx (F ) = 0 ∑ M x (F ) = 0 FR = 0 ⇔ ∑ Fy = 0 MO = 0 ⇔ ∑ MOy (F ) = 0 = ∑ M y (F ) = 0, MOz (F ) = 0 ∑ M z (F ) = 0 ∑ Fz = 0 ∑
• 刚体的平面运动
– 刚体的平面运动、点的速度和加速度的分析与计算 刚体的平面运动、
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一、点的运动学
ɺ vx = x ɺ vy = y ɺ vz = z ɺ ax = ɺ x ɺ ay = ɺ y ɺ az = ɺ z
ɺ v = se t ɺɺ a = ɺɺet + set = at + an s
∑W(F ) = ∑W(P ) =W(F ) +W(M )
i=1 i j =1 j R O
n
m
问题: 如何求纯滚动圆盘轮心移动S距离时 纯滚动圆盘轮心移动 距离时, 所作的功。 问题 如何求纯滚动圆盘轮心移动 距离时 力F 所作的功。
R
F F
M
r
o
θ
s
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•虚位移 在给定瞬时，质点或质点系为 约束容许 的 任何 微 虚位移: 给定瞬时， 虚位移 位移。 小位移。 δ r 思考题: 杆匀角速度转动,确定图示瞬时质点的虚位移 确定图示瞬时质点的虚位移。 思考题 杆匀角速度转动 确定图示瞬时质点的虚位移。
{ F1 , F 2 , ⋯ , F n } ⇔ { P1 , P2 , ⋯ , Pm }
•合力 合力(resultant force) ：与某力系等效的力 合力
静力学的基本 公理、 公理、定理公 理和定义。 理和定义。
{ F1 , F 2 , ⋯ , F n } ⇔ { F R }
•平衡力系 平衡力系(force system in equilibrium): 平衡力系 对刚体不产生任何作用效果的力系 刚体不产生任何作用效果的力系
ɺ v = se t
ɺɺ a = ɺɺet + set = at + an s
O
x
dθ v2 ρ= , an = , at = a ρ ds
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二、刚体的平面运动 1、基点法 、
Ax’y’为平移动系，B为动点 为平移动系， 为动点 为平移动系
y
v B = v A + v BA
2、速度投影法 、
ω
y ' vBA
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思考题: 给出垂直上抛物体上升时的运动微分方程。 上升时的运动微分方程 思考题 给出垂直上抛物体上升时的运动微分方程。 设空气阻力的大小与速度的平方成正比
y
v
mg
ɺ A: mɺɺ = −mg − cy y ɺ B: mɺɺ = −mg + cy y ɺ C: mɺɺ = +mg − cy y
x x