广东省汕头市金山中学2017-2018学年高一数学下学期期末考试试题 理

汕头市金山中学2017-2018学年度第二学期期末考试
高一理科数学 试题卷
本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，时间120分钟.
第Ⅰ卷 （选择题 共60分）
一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设全集U R =，集合2{}A y y x ==，{}
lg(3)B x y x ==-，则U A
C B =（ ）
A ．(2,)+∞
B ．(3,)+∞
C ．[0,3]
D ．{}(,3]3-∞-
2．下列函数中,既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递减的是（ ） A ．1y x
=
B ．cos y x =
C ．21y x =-+
D ．ln ||y x = 3．设1
.02=a ，25lg
=b ，10
9log 3=c ，则c b a ,,的大小关系是（ ） A ．a c b >> B ．b c a >> C ．c a b >> D ．c b a >>
4．在边长为2的菱形ABCD 中,
120
=∠BAD ,则A C 在A B
方向上的投影为（ ）
A ．
14 B ．1
2
C ．1
D ．2
5．函数1
()22
x f x e x =+-的零点所在的区间是（ ）
A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
C ．()1,2
D ．()2,3
6．设()()1
21,1
x f x x x <<=-≥⎪⎩,若()()1f a f a =+,则
1f a ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8
7．为了研究某班学生的脚长x （单位厘米）和身高y （单位厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，
根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为ˆˆˆy
bx a =+．已知
10
1
225i
i x
==∑，10
1
1600i i y ==∑，ˆ4b
=．该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（ ） .A 160 .B 163 .C 166 .D 170
8．一只蚂蚁在边长为4的正三角形区域内随机爬行，则它在离三个顶点距离都大于2的区域内的概率为（ ） A
．16-
B ．34 C
．6 D ．1
4
9．执行如图的程序框图，已知输出的[]0,4s ∈。

若输入的[]0,t m ∈，则实数m 的最大值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 10
．若函数()sin ()f x x x
x R ωω=∈，又()2,()0f f αβ=-=，且
βα-的最小值为
34
π
，则正数ω的值是（ ） A ．13
B ．23
C ．4
3
D ．
3
2
11．各项均为正数的等差数列{}n a 中，前n 项和为n S ，当*
,2n N n ∈≥时，有()
2211
n n n
S a a n =--，则20102S S -的值为（ ） A ．50
B ．100
C ．150
D ．200
12．已知函数211|
1|)22(3)(a a e x f x x x -+-=---有唯一零点，则负实数=a （ ）
A ．31-
B ．2
1
- C ．-3 D ．-2
第Ⅱ卷 （非选择题 共90分） 二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．如果3
1
cos =
α，且α是第四象限的角，那么cos +2πα=（） 。

14．设变量,x y 满足约束条件20,220,0,3,
x y x y x y +≥⎧⎪+-≥⎪
⎨≤⎪⎪≤⎩则目标函数z x y =+的最大值为 。

15．若实数x y 、满足0xy >，则
22x y
x y x y
+++的最大值为 。

16．非零向量,m n 的夹角为
3
π，且满足()0n m λλ=>，向量组123,,x x x 由一个m 和两个n 排列而成，向量组123,,y y y 由两个m 和一个n 排列而成，若112233x y x y x y ⋅+⋅+⋅所有可能值中的最小值为2
4m ，则λ= ．
三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）
如图ABC ∆中，已知点D 在BC 边上，且0,sin 3
AD AC BAC ⋅=∠=AB BD ==． （1）求AD 的长；
（2）求cos C ． 18．（本小题满分12分）
设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知122,8a a ==， ()11452n n n S S S n +-+=≥. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若()
1
2og 1l n n n b a +=-，求数列{}n b 的前2n 项和2n T 。

19．（本小题满分12分）
已知某山区小学有100名四年级学生，将全体四年级学生随机按00～99编号，并且按编号顺序平均分成10组．现要从中抽取10名学生，各组内抽取的编号按依次增加10进行系统抽样.
（1）若抽出的一个号码为22，则此号码所在的组数是多少？据此写出所有被抽出学生的号码；
（2）分别统计这10名学生的数学成绩，获得成绩数据的茎叶图如图所示，求该样本的方差； （3）在（2）的条件下，从这10名学生中随机抽取两名成绩不低于73分的学生，求被抽取到的两名学生的成绩之和不小于154分的概率．
20．（本小题满分12分）
某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜．过去50周的资料显示，该地周光照量X （小时）都在30小时以上，其中不足50小时的周数有5周，不低于50小时且不超过70小时的周数有35周，超过70小时的周数有10周．根据统计，该基地的西红柿增加量y （百
斤）与使用某种液体肥料x （千克）之间对应数据为如图所示的折线图．
（1）依据数据的折线图，是否可用线性回归模型拟合y 与x 的关系？请计算相关系数r 并加以说明（精确到0．01）．（若75.0||>r ，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）
（2）蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪
则该台光照控制仪周亏损1000元．若商家安装了3台光照控制仪，求商家在过去50周周总利润的平均值．
附：相关系数公式∑∑∑===----=
n
i i
n
i i
n
i i
i
y y
x x y y
x x r 1
2
1
2
1)()()
)((，参考数据55.03.0≈，95.09.0≈．
21．（本小题满分12分）
在数列{}n a 中，11a =，23a =，2132n n n a a a ++=-，*n N ∈。

（1）证明数列{}1n n a a +-是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）设()22log 11n n b a =+-，()()1
132•n n n n c b a n b +-=+，求数列
{}n c 的前n 项和n S .
22．（本小题满分12分）
设a 为实数，函数()()()2
1f x x a x a a a =-+---． （1）若()01f ≤，求a 的取值范围； （2）讨论()f x 的单调性； （3
）当2a ≥时，讨论()4
f x x
+
在区间()0,+∞内的零点个数．
汕头市金山中学2017-2018学年度第二学期期末考试
高一理科数学 参考答案
一、选择题
二、填空题
13．
3． 14． 3 15．4-．8
3
三、解答题
17．解：（1）因为AD AC ⊥，所以sin sin cos 2BAC BAD BAD π⎛⎫
∠=+∠=∠
⎪⎝⎭
,
所以cos BAD ∠=
…………………………………………………………………………………1分 在ABD ∆中，由余弦定理可知，2222cos BD AB AD AB AD BAD =+-∠
即28150AD AD -+=, ………………………………………………………………………………3分
解之得5AD =或3AD =, 由于AB AD >,所以3AD =．………………………………………5分 （2）在ABD ∆中，由正弦定理可知，
sin sin BD AB
BAD ADB
=
∠∠,
又由cos 3BAD ∠=
可知1
sin 3BAD ∠= ………………………………………………………7分
所以sin sin AB BAD ADB BD ∠∠=
= ……………………………………………………………8分
因为2
ADB DAC C C π
∠=∠+∠=
+∠，即cos 3
C =
…………………………………………10分 18．解：（1）∵当2n ≥时， 1145n n n S S S +-+=，∴()114n n n n S S S S +--=-. ∴14n n a a +=. ……2分
∵12a =，28a =，∴214a a =. ……………………………………………………………………………3分
∴数列{}n a 是以12a =为首项，公比为4的等比数列. ……………………………………………………4分
∴121
242n n n a --=⋅=. ………………………………………………………………………………………6分
（2）由（1）得()
()
()
()1
1
1
21221log 1log 2121n n n n n n b a n +++-=-=-=--， ………………………8分
当2n k =时，()()21243412k k b b k k -+=---=- ……………………………………………………10分 ∴()()()()()21357434122n T n n n n ⎡⎤=-+-+
+---=⨯-=-⎣⎦。

……………………………12分
19． 解：（1）由题意，得抽出号码为22的
组
数
为
3. ………………………………………………………………………………………1分
因为2＋10×(3－1)＝22，所以第1组抽出的号码应该为02，抽出的10名学生的号码依次分别为：02， 12， 22， 32， 42，52，62，72，82，92. ………………………………………………………………………3分
（2）这10名学生的平均成绩为： x =
1
10
×(81＋70＋73＋76＋78＋79＋62＋65＋67＋59)＝71， 故样本方差为：2
1
10
s =
⨯（102＋12＋22＋52＋72＋82＋92＋62＋42＋122）＝52. ………………………6分 （3）从这10名学生中随机抽取两名成绩不低于73分的学生，共有如下10种不同的取法：
（73，76），（73，78），（73，79），（73，81），（76，78），（76，79），（76，81），（78，79），（78，81)，（79，81）. ……………………………………………………………………………………………………8分
其中成绩之和不小于154分的有如下7种：（73，81），（76，78），（76，79），（76，81），（78，79），（78，81)，（79，81）. ……………………………………………………………………………………………10分
故被抽取到的两名学生的成绩之和不小于154分的概率为：7
10
p =。

………………………………12分 20．解：（1）由已知数据可得2456855x ++++=
=，34445
45
y ++++==．…………………1分
因为
5
1
()()(3)(1)000316i
i i x
x y y =--=-⨯-++++⨯=∑， …………………………………………2分
，52310)1()3()
(222225
12
=+++-+-=-∑=i i
x x
…………………………………………………3分
==
………………………………………………………4分
所以相关系数()()
0.95n
i
i x
x y y r --=
=
=≈∑．…………………5分
因为0.75r >，所以可用线性回归模型拟合y 与x 的关系．……………………………………………6分 （2）记商家周总利润为Y 元，由条件可得在过去50周里：
当70X >时，共有10周，此时只有1台光照控制仪运行，周总利润Y =1×3000-2×1000=1000元 (8)
分
当5070X ≤≤时，共有35周，此时2台光照控制仪运行，周总利润Y =2×3000-1×1000=5000元．9分
当50X <时，共有5周，此时3台光照控制仪都运行，周总利润Y =3×3000=9000元．……………10分
所以过去50周周总利润的平均值10001050003590005
460050
Y ⨯+⨯+⨯=
=元，
所以商家在过去50周周总利润的平均值为4600元． …………………………………………………12分 21．解析：（1）由 2132n n n a a a ++=-，得()2112n n n n a a a a +++-=-，………………………………2分 又11a =， 23a =，所以212a a -=，……………………………………………………………………3分
所以{}1n n a a +-是首项为2，公比为2的等比数列．所以12n
n n a a +-=， ……………………………4分
所以()()12
1
1211
122221n n n n n a a a a a a --=+-++-=++++=-. (6)
分 （2）
21n n a =-,()
22log 211121n n b n ∴=-+-=-， ……………………………………………7分
()
()()
2221132n n n c n n --=
+，………………………………………………………………………………………8分
又()
()()1
2222121221213n n n n c n n n n n +==+---
-+ ………………………………………………………………10分 111
24482222213352122121
211n n n n n n S n n n +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫
∴=++
+=-
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝---=--+⎭++ 所以数列{}n c 的前n 项和为1
2221
n n +-+. …………………………………………………………………12分
22．解：（1）2
2
(0)f a a a a a a =+-+=+，因为()01f ≤，所以1≤+a a ，
当0≤a 时，10≤，显然成立；……………………………………………………………………………1分 当0>a ，则有12≤a ，所以21≤
a .所以21
0≤<a .……………………………………………………2分 综上所述，a 的取值范围是1,2
⎛
⎤-∞ ⎥⎝
⎦
.………………………………………………………………………3分 （2）()⎪⎩⎪⎨⎧<++-≥--=a
x a x a x a
x x a x x f ,2)12(,12)(22…………………………………………………………………4分
对于()x a x u 122
1--=，其对称轴为a a a x <-=-=
2
1
212，开口向上， 所以)(x f 在),(+∞a 上单调递增；…………………………………………………………………………5分 对于()a x a x u 2122
1++-=，其对称轴为a a a x >+=+=
2
1
212，开口向上， 所以)(x f 在),(a -∞上单调递减. …………………………………………………………………………6分 综上所述，)(x f 在),(+∞a 上单调递增，在),(a -∞上单调递减. ………………………………………7分
（3）由（2）得)(x f 在),(+∞a 上单调递增，在),0(a 上单调递减，所以2
min )()(a a a f x f -==.8分 (i)当2=a 时，2)2()(min -==f x f ，⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥-=2
,452
,3)(22x x x x x x x f
令()40f x x +
=，即x
x f 4
)(-=（0x >）. 因为)(x f 在)2,0(上单调递减，所以2)2()(-=>f x f
而x y 4-
=在)2,0(上单调递增，2)2(-=<f y ，所以)(x f y =与x
y 4
-=在)2,0(无交点. 当2≥x 时，x
x x x f 4
3)(2-=-=，即04323=+-x x ，所以042223=+--x x x ，所以
()0)1(22=+-x x ，因为2≥x ，所以2=x ，即当2=a 时，()4f x x
+有一个零点2x =.………9分
(ii)当2>a 时，2
min )()(a a a f x f -==，
当),0(a x ∈时，42)0(>=a f ，2)(a a a f -=，而x
y 4
-=在),0(a x ∈上单调递增， 当a x =时，a y 4-
=.下面比较2
)(a a a f -=与a
4-的大小 因为0)
2)(2()4()4(2232
<++--=---=
---a
a a a a a a a a a 所以a
a a a f 4
)(2-<-=…………………………………………………………………………………10分 结合图象不难得当2>a 时，)(x f y =与x
y 4
-=有两个交点. ………………………………………11分
综上所述，当2=a 时，()4f x x +有一个零点2x =；当2>a 时，()4
f x x
+有两个零点. (12)
分。