高二数学竞赛试卷

高二数学竞赛试卷
考试范围：xxx ；考试时间：xxx 分钟；出题人：xxx 姓名：___________班级：___________考号：___________
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
一、选择题
1.复数
在复平面内对应的点不可能位于（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 2.已知函数，且
成立，则实数的取值范围是
（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
3.曲线在点处的切线方程是 A ．
B ．
C ．
D ．
4.已知命题：若，则
；命题：若，则
，在命题：
①
；②
；③；④
中，真命题是（ ）
A ．①③
B ．①④
C ．②③
D ．②④ 5.函数
的最小正周期是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 6.设向量
，，，则实数的值是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7.已知变量，满足约束条件
若目标函数
（，
）的最小值为2，则
的最小值为（ ）
A ．
B ． 2
C ．
D ．
8.下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为y=±2x 的是（ ）
A ．x 2﹣=1
B ．﹣y 2=1
C ．
﹣x 2=1 D ．y 2﹣=1
9.圆与圆的公共弦长为（）
A． B． C．2 D．2
10.下列各对点中，都在不等式x+y+1＜0表示的平面区域内的是（）A．（－2，－1），（1，1）
B．（－1，0），（1，－2）
C．（－1，－1），（－5，3）
D．（1，2），（3，0）
11.（2014•福建）复数z=（3﹣2i）i的共轭复数等于（）
A．﹣2﹣3i B．﹣2+3i C．2﹣3i D．2+3i
12.过点作一直线与圆相交于两点，则的最小值为（）
A．
B．
C．
D．
13.高二（3）班共有学生56人，座号分别为1，2，3，…，56，现根据座号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本.已知3号，17号，45号同学在样本中，那么样本中另外一个同学的座号是（）
A．30 B．31 C．32 D．3314.设曲线及直线所围成的封闭图形为区域，不等式组
所确定的区域为，在区域内随机取一点，则该点落在区域
内的概率为（）
A． B． C． D．
15.甲、乙、丙、丁四人参加全运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和
方差如下：
平均环数
方差
则参加全运会射击项目的最佳人选为（）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
16.对于自然数作竖式运算时不进位，那么称是“良数”，如32是“良数”，由于计算时不进位，23是“良数”，由于计算时要进位，那么小于1000的“良数”有（）
A．36个 B．39个 C．48个 D．64个
17.已知是R上的单调增函数，则的取值范围
是（）
A．
B．
C．
D．
18.抛物线上的一点到焦点的距离为1，则点的纵坐标为（）A． B． C． D．0
19.函数的部分图象是（）
A． B． C． D．
20.
．如图，在一个长为，宽为的矩形内，曲线与
轴围成如图所示的阴影部分，向矩形内随机投一点（该点落在矩形内任何一点是等可能的），则所投的点落在阴影部分的概率是
A． B． C． D．
二、填空题21.过点P(－1,2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程是________．
22.由数字0，1，2，3，4，5组成六位数，其中奇数和偶数相间的不同排法为______种.
23.
已知
24.数列的前n项和是．
25.从6人中选4人分别到巴黎，伦敦，悉尼，莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人
游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲，乙两人不去巴黎游览的概率为 .(用分数表
示)
26.如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得
该几何体的表面积是___________
27.若函数（）在上有2个零点，则的取值范围是__________．
28.设某几何体的三视图如图（尺寸的长度单位为m）则该几何体的体积为_________m3．29.已知一颗粒子等可能地落入如图所示的四边形ABCD内的任意位置，如果通过大量的实验发现粒子落入△BCD内的频率稳定在附近，那么
点A和点C到直线BD
的距离之比约为
30.已知F
1
、F
2
是椭圆＋＝1(a>b>0)的左右焦点，P 是椭圆上一点，
∠F
1
PF
2
＝90°，求椭圆离心率的最小值为
三、解答题
31.（10分）已知满足约束条件，
求的最大值和最小值.
32.（本小题共12分）如图，在中，，斜边
．可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角的直二面角．是的中点．
（I）求证：平面平面；
（II）求异面直线与所成角的大小．
33.已知函数.
（Ⅰ）确定函数的单调性；
（Ⅱ）证明：函数在上存在最小值.
34.(本小题满分12分)
已知函数在时有极值．
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）求函数在上的最大值、最小值．
35.用三段论证明：直角三角形两锐角之和为90°
参考答案
1 .A
【解析】
试题分析：则，故选A
考点：复数与平面上的点成一一对应关系
2 .B
【解析】，，就是.
3 .D
【解析】解：因为曲线
在点处的切线方程是
4 .C
【解析】试题分析：显然是真命题，不能推得，比如
，所以命题是假命题；所以命题为假命题，为真命题，为真命题，为真命题；为假命题，为假命题，
所以真命题的为（2）（3），故选C．
考点：复合命题的真假判定．5 .B
【解析】由二倍角公式和诱导公式得到
由三角函数的周期公式得到
故答案为B.
6 .D
【解析】
试题分析：
考点：向量数量积的坐标运算
7 .B
【解析】
试题分析：由题意得，画出约束条件所表示的平面区域，如图所示，目标函数可化为，
当直线平移过点时，目标函数取得最小值，
则，且
（当且仅当等号是成立的），所以
，所以的最小值为，故选B．
考点：基本不等式求最值；简单的线性规划．
【方法点晴】本题主要考查了基本不等式求最值，简单的线性规划问题，其中解答中涉及到简单的线性规划求最值、利用基本不等式求最值等知
识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推
理与运算能力，其中解答中正确作出约束条件画出平面区域，得到目标
函数的最值及合理转化是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题．
8 .C
【解析】
试题分析：对选项首先判定焦点的位置，再求渐近线方程，即可得到答案．
解：由A可得焦点在x轴上，不符合条件；
由B可得焦点在x轴上，不符合条件；
由C可得焦点在y轴上，渐近线方程为y=±2x，符合条件；
由D可得焦点在y轴上，渐近线方程为y=x，不符合条件．
故选C．考点：双曲线的简单性质．
9 .C
【解析】
试题分析：由题意得，两圆的方程相减，得两圆的公共弦的方程为，则圆的圆心到直线的距离为，由圆的弦长公式可得，故选C．
考点：圆的弦长公式．
10 .C
【解析】答案A错误；B 错误；
C正确；D错误；故选C
11 .C
【解析】
试题分析：直接由复数代数形式的乘法运算化简z，则其共轭可求．
解：∵z=（3﹣2i）i=2+3i，
∴．
故选：C．
考点：复数代数形式的乘除运算．
12 .C
【解析】
试题分析：由圆的方程，可知圆心，半径，则点和圆心连线的长度为，当过点和圆心的连线垂直时，所得弦长最短，由圆的弦长公式可得
，故选C.
考点：直线与圆的位置关系及其应用.
13 .B
【解析】
试题分析：系统抽样抽取的数据构成等差数列，由抽中的号码3号，17号，45号可知样本中另外一个同学的座号是31
考点：系统抽样
14 .D
【解析】如图所示，由几何概型公式，图中阴影部分的面积：
，
则点落在区域内的概率为.
本题选择D选项.点睛：解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动
范围．当考察对象为点，点的活动范围在线段上时，用线段长度比计算；当考察对象为线时，一般用角度比计算，即当半径一定时，由于弧长之
比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际上是所对的弧
长(曲线长)之比．
15 .C
【解析】略
16 .C
【解析】如果是良数，则的个位数字只能是，非个位数字只能
是（首位不为），而小于的数至多三位，一位的良数有，共个，二位良数个位可取，十位可取，共有
个，
三位良数个位可取，十位可取，百位可取，共有
，综上，小于“良数”的个数为个，故选C.
【方法点睛】本题考查分类技术加法原理分步计数乘法原理及新定义问题，属于难题.新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.本题通过定义“良数”达到考查两计数原理的目的.
17 .D
【解析】恒成立，所以
18 .B
【解析】
试题分析：因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，而抛物线的准线方程为，设点的纵坐标为，则
考点：本小题主要考查抛物线上点的性质的应用和抛物线准线方程的求解.
点评：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，这个性质特别好用，要灵活应用.19 .A
【解析】
试题分析：,为偶函数．图像关于轴对称．故排除B,D．当时,
．所以排除C,选A．
考点：函数图像．
20 .A
【解析】本题考查几何概型
长为，宽为的矩形的面积为；
曲线与轴围成的阴影部分的面积为
因为，所以的原函数为
则
则所投的点落在阴影部分的概率
故正确答案为A
21 .2x－y＋4＝0
【解析】易求y′＝6x－4，y′|
x
＝1＝2.
∴所求直线的斜率k＝2.
∴所求直线的方程为y－2＝2(x＋1)，即2x－y＋4＝0.
22 .60
【解析】：由题意知本题是一个分类计数问题，
当首位为奇数时，则计数位上都是奇数才能满足题意，这样三个位奇数在三个奇数位置排列，
三个偶数在三个偶数位置排列共有=36种结果，
当首位是偶数时，三个奇数在偶数位置排列，三个偶数有两个利用排在首位，共有2×2 =24种结果，
∴根据分类计数原理可以得到共有36+24=60种结果，
23 .2013
【解析】
试题分析：根据题意，由于
故可知答案为2013.
考点：归纳推理
点评：主要是考查了归纳推理的运用，属于基础题。

24 .【解析】因为数列的通项公式是，那么利用分组求和法可知前
n项和即为。

25 .
【解析】略
26 .12
【解析】略
27 .
【解析】转化为方程在上有2个实根，即函数
与函数有两个不同的交点，，当时，，函数递增，当时，，函数递减，当时，，
函数递增，所以当时，函数取得极大值，当时，函数取得极小值，则函数的图像如图：
，
由图观察计算可知：，，，显然若函数
与函数有两个不同的交点，则或.
28 .4
【解析】
试题分析：由三视图的知识可知几何体为一侧面与底面垂直的三棱锥，且底面三角形长为4，高为3，几何体高为2，所以答案为4.
考点：1.三视图；2.空间几何体的体积计算公式29 .
【解析】
试题分析：设粒子落入△BCD内的频率为粒子落入△BAD内的频率为点A和点C到时直线BD的距离
根据题意：=1-=1-=
又∵==，=
∴
故答案为。

考点：本题主要考查几何概型概率的计算。

点评：基础题，计算几何概型的概率，基本方法是：分别求得构成事件A的区域“几何度量”和试验的全部结果所构成的区域“几何度量”，两者求比值，即为概率。

30 .
【解析】
试题分析：因为∠F 1PF 2＝90°，所以,因为，
且，可解的。

因为
，整理的
，即
，
所以
考点：椭圆的概念和离心率问题，基本不等式 31 .
，。

【解析】本试题主要是考查了线性规划的最优解的求解的运用。

根据已知条件作出可行域，然后利用平移法的都目标函数的最值。

解：作出不等式组
表示的平面区域（如图） ，即可行域 ----4分
把目标函数
化为
-----------------------5分
令，作直线，把直线平移经过可行域内点A 时，z 的值
最小，经过可行域内点C 时，z 的值最大。

-----------7分 由得
， 由得
， -------------------8分 此时
，
----------------10分
32 .（I ）见解析；（II ）或
【解析】解法一：（I ）由题意，
，
， 是二面角是直二面角，，又，
平面
，又
平面
．平面平面
．
（II ）作，垂足为，连结
（如图），
则
，
是异面直线与所成的角．在中，，，
．又．在中，
．
异面直线与所成角的大小为．
解法二：（I）同解法一．（II）建立空间直角坐标系，如图，则，，
，，，，
．
异面直线与所成角的大小为
33 .（Ⅰ）见解析；(Ⅱ)见解析.
【解析】试题分析：（Ⅰ）求导得，结合定义域得单调区间；
(Ⅱ)由，结合（Ⅰ）的结论，即可证得.
试题解析：（Ⅰ）函数的定义域为，
，∴函数在和上单调递增；(Ⅱ)
，
由（Ⅰ）知在单调递增；
∴在上也单调递增；
∵，，
∴存在，有，
当时，<0，得，
当时，>0，得，
∴在上递减，在上递增，
故函数在上存在最小值，.
34 .（Ⅰ）. ；（Ⅱ）.
【解析】本试题主要是考查了导数在研究汗珠中的运用。

（1）根据给定某点的极值可知该点的导数值为零，然后得到参数的值，得到解析式。

（2）根据导数来结合导数的符号判定函数的单调性，得到单调区间进而得到最值。

解析：（Ⅰ），由题知，，得.
∴ 6分
（Ⅱ）， 8分
则方程有根或.
，，而， 10分
，. 12分
35 .证明：因为任意三角形三内角之和是，大前提
而直角三角形是三角形，小前提
所以直角三角形三内角之和为，结论设直角三角形两个锐角分别为，则有：，
因为等量减等量差相等，大前提
所以，小前提
所以．结论
【解析】试题分析：利用三段论来证明，要满足其形式，即大前提——小前提——结论。

考点：演绎推理
点评：演绎推理主要推理形式是三段论，证明时按大前提、小前提和结论的形式来写，大前提有时可以省略。