广西省南宁市第三中学2018-2019学年高二下学期第一次月考数学(理)试题(含参考答案)

南宁三中2018~2019学年度下学期高二月考（一）
理科数学试题
一、选择题（每小题5分，共60分）
1. 某校开设A类选修课2门，B类选修课3门，一位同学从中选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（）
A. 3种
B. 6种
C. 9种
D. 18种
【答案】C
【解析】
试题分析：由题意该同学选课方式有A类选一门，B类选2门或A类选2门，B类选1门共有
种．
考点：组合问题．
2.从装有红球和绿球的口袋内任取2个球(已知口袋中的红球、绿球数都大于2)，那么互斥而不对立的两个事件是( )
A. 至少有一个是红球，至少有一个是绿球
B. 恰有一个红球，恰有两个绿球
C. 至少有一个红球，都是红球
D. 至少有一个红球，都是绿球
【答案】B
【解析】
【分析】
列举事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，依次验证即可
【详解】基本事件为：一个红球一个绿球；两个红球，两个绿球.
选项A：这个事件既不互斥也不对立；选项B，是互斥事件，但是不是对立事件；选项C，既不互斥又不对立；选项D，是互斥事件也是对立事件.
故答案为：B.
【点睛】本题考查互斥事件与对立事件．首先要求理解互斥事件和对立事件的定义，理解互斥事件与对立事件的联系与区别．同时要能够准确列举某一事件所包含的基本事件．属简单题
3.某运动员投篮命中率为0.6.他重复投篮5次，若他命中一次得10分，没命中不得分；命中次数为，得分为，则，分别为（）
A. 0.6，60
B. 3，12
C. 3，120
D. 3，1.2
【答案】C
【解析】
本题考查离散型随机变量的分布列,二项分布的期望和方差及性质.
若则，其中是常数
根据题意知，则
故选C
4.已知随机变量服从正态分布，且，则（）
A. 0.6
B. 0.4
C. 0.3
D. 0.2
【答案】C
【解析】
由正太分布的概率的性质可得，则，应选答案C。

点睛：解答本题的思路是借助正太分布的函数图像的对称性，巧妙将问题进行等价转化，先求得
，再借助所有概率之和为1的性质求得，从而使得问题巧妙获解。

5. 若有2位老师，2位学生站成一排合影，则每位老师都不站在两端的概率是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
有2位老师，2位学生站成一排合影共有种站法；每位老师都不站在两端的站法有种；所以每位老师都不站在两端的概率是故选B
6.曲线为参数)的对称中心( )
A. 在直线上
B. 在直线上
C. 在直线上
D. 在直线上
【答案】B
【解析】
【分析】
先将参数方程化为普通方程，得到圆的方程，进而得到圆心，验证选项可得到结果.
【详解】曲线为参数)化为一般方程是：，是一个圆，圆心为（2，-1），通过验证选项得到：在直线上.
故答案为：B.
【点睛】这个题目考查了参数方程化为普通方程，以及圆的对称性,题目比较基础.
7.已知变量与正相关，且由观测数据算得样本平均数，，则由该观测的数据算得的线性回归方程可能是
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
试题分析：因为与正相关，排除选项C、D，又因为线性回归方程恒过样本点的中心，故排除选项B；故选A．
考点：线性回归直线.
8.如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为
A. 24
B. 18
C. 12
D. 9
【答案】B
【解析】
试题分析：由题意，小明从街道的E处出发到F处最短路径的条数为6，再从F处到G处最短路径的条数
为3，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为，故选B.
【考点】计数原理、组合
【名师点睛】分类加法计数原理在使用时易忽视每类中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是相互独立的；分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步步之间是相互关联的．
9.将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（）
A. 10 种
B. 20 种
C. 36 种
D. 52 种
【答案】A
【解析】
由题意得，把个颜色不相同的球分为两类：
一类是：一组1个，一组3个，共有种，按要求放置在两个盒子中，共有种不同的放法；另一
类：两组个两个小球，共有种不同的放法，按要求放置在两个盒子中，共有种，所以共有种不同的放法，故选A.
10.（2011•湖北）如图，用K、A1、A2三类不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K、A1、A2正常工作的概率依次是0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为（）
A. 0.960
B. 0.864
C. 0.720
D. 0.576
【答案】B
【解析】
A1、A2同时不能工作的概率为0.2×0.2＝0.04，所以A1、A2至少有一个正常工作的概率为1－0.04＝0.96，所以系统正常工作的概率为0.9×0.96＝0.864.故选B.
考点：相互独立事件的概率.
11.已知的展开式中第项与第项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
因为的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以，解得，
所以二项式中奇数项的二项式系数和为．
考点：二项式系数，二项式系数和．
12.下列四个命题：
①残差平方和越小的模型，拟合的效果越好；
②用相关指数来刻画回归效果，越小，说明模型拟合的效果越好；
③散点图中所有点都在回归直线附近；
④随机误差满足，其方差的大小可用来衡量预报精确度．
其中正确命题的个数是( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
根据回归分析中相关指数，残差平方和的意义，以及回归直线的原理，依次判断选项即可.
【详解】根据回归方程的性质得到①残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，故正确；②用相关指数来刻画回归效果，越靠近1，说明拟合效果越好，越靠近0，拟合效果越不好，故②不正确；③散点图中所有点都在回归直线附近，不正确，应该是大部分点都在回归直线附近，而不是所有点；故不正确；随机误差e满足E（e）=0，其方差D（e）的大小用来衡量预报的精确度，④正确；
故答案为：B.
【点睛】本题考查了两个变量间的线性相关和线性回归方程，以及拟合效果好坏的几个量的大小反映拟合效果的好坏问题，是基础题．
二、填空题（每小题5分，共20分）
13.国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应
的地区任教．现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有____________种不同的分派方法．
【答案】90
【解析】
【分析】
根据题意得到，先分组再全排列即：.
【详解】6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，每个学校去2个人，先平均分组，再全排列即可：.
故答案为：90.
【点睛】不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组．注意各种分组类型中，不同分组方法的求解．
14. 从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝________.
【答案】
【解析】
试题分析：利用互斥事件的概率及古典概型概率计算公式求出事件A的概率，同样利用古典概型概率计算公式求出事件AB的概率，然后直接利用条件概率公式求解．
解：P（A）=，P（AB）=．
由条件概率公式得P（B|A）=．
故答案为．
点评：本题考查了条件概率与互斥事件的概率，考查了古典概型及其概率计算公式，解答的关键在于对条件概率的理解与公式的运用，属中档题．
15.某校为了研究学生的性别与对待某一活动的态度(支持和不支持两种态度)的关系，运用列联表进行独立性检验，经计算，则所得到的统计学结论是：有______的把握认为“学生性别与是否支持
该活动有关系”．
附：
【答案】99
【解析】
【分析】
根据>6.635,,对照表格得到结果.
【详解】因为>6.635,,对照表格得到有99%的把握说学生性别与是否支持该活动有关系．
故答案为：99.
【点睛】本题考查独立性检验，解题时注意利用表格数据与观测值比较，这是一个基础题．
16.以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程是（t为参数），圆C的极坐标方程是，则直线l被圆C截得的弦长为____________．
【答案】2
【解析】
分析：先求出直线的普通方程，再求出圆的直角坐标方程，再利用公式求直线被圆C截得的弦长.
详解：由题意得直线l的方程为x-y-4=0,圆C的方程为(x-2)2+y2=4.
则圆心到直线的距离d=，故弦长=.
故答案为：2.
点睛：（1）本题主要考查参数方程、极坐标方程和直角坐标方程的互化，考查直线和圆的弦长的计算，意在考查学生对这些问题的掌握水平.(2)求直线被圆截得的弦长常用公式.
三、解答题（共70分）
17.在中，分别为角的对边，且满足.
(1)求的值；
(2)若，，求的面积.
【答案】（1）；（2）．
【解析】
试题分析：（1）由正弦定理，得，再利用及三角恒等变换的公式，即可求得的值；（2）由，得：，解得进而求得的值，得到
的值，再利用正弦定理，即可求的值，进而求出的面积.
试题解析：（1）由正弦定理，可得：
∵
，∴,
即，
∴，∴，故
（2）（法一）由，得,
即，将，代入得：
解得或，
根据,得同正，所以，.
则，可得，，，
代入正弦定理可得，∴，
所以.
（法二）由得
，
即，将，代入得：，
解得或，根据,得同正，
所以，.
又因为，所以，
∴
∴
∴
考点：正弦定理；三角形的面积公式.
【方法点晴】本题主要考查了解三角形的综合应用，其中解答中涉及到三角形的正弦定理、三角形的面积公式和三角函数基本关系式的考查，解答中利用三角形的正弦定理，把题设条件转化为三角恒等变换，求解角的正弦值是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题，着重考查了推理与运算能力和转化思想.
18.已知数列的前n项和，是等差数列，且.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）令.求数列的前n项和.
【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）
【解析】
试题分析：（1）先由公式求出数列的通项公式；进而列方程组求数列的首项与公差，得数列的通项公式；（2）由（1）可得，再利用“错位相减法”求数列的前项和. 试题解析：（1）由题意知当时，，
当时，，所以．
设数列的公差为，
由，即，可解得，
所以．
（2）由（1）知，又，得
，
，两式作差，得
所以．
考点1、待定系数法求等差数列的通项公式；2、利用“错位相减法”求数列的前项和.
【易错点晴】本题主要考查待定系数法求等差数列的通项公式、利用“错位相减法”求数列的前项和，属于难题. “错位相减法”求数列的前项和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以.
19.2016年1月6日北京时间上午11时30分，朝鲜中央电视台宣布“成功进行了氢弹试验”，再次震动世界，此事件也引起了我国公民热议，其中丹东市(丹东市和朝鲜隔江)某聊天群有300名网友，乌鲁木齐市某微信群有200名网友，为了解不同地区我国公民对“氢弹试验”事件的关注程度，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名网友，先分别统计了他们在某时段发表的信息条数，再将两地网友发表的信息条数分成5组：，分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求丹东市网友的平均留言条数(保留整数)；
（2）为了进一步开展调查，从样本中留言条数不足50条的网友中随机抽取2人，求至少抽到一名乌鲁木齐市网友的概率；
（3）规定“留言条数”不少于70条为“强烈关注”．
①请你根据已知条件完成下列的列联表：
②判断是否有的把握认为“强烈关注”与网友所在的地区有关？
附：临界值表及参考公式：
，其中
【答案】（1）64；（2）；（3）①列联表见解析；②没有.
【解析】
【分析】
(1)根据频率分布直方图的平均数的计算公式得到结果；（2）根据频率分布直方图得到丹东市满足条件的人数6人，乌鲁木齐2人，随机抽取2人有28种方法，符合题目条件的有13人，根据古典概型的计算公式得到结果；（3）①根据频率分布直方图得到相应的列联表;②由公式得到卡方值，进而得到判断.
【详解】(1)45×0．01×10＋55×0．025×10＋65×0．04×10＋75×0．02×10＋85×0．005×10＝63．5≈64．所以丹东市网友的平均留言条数是64条．
(2)留言条数不足50条的网友中，丹东市网友有0．01×10×100×＝6(人)，乌鲁木齐市网友有0．005×10×100×＝2(人)，
从中随机抽取2人共有种可能结果，其中至少有一名乌鲁木齐市网友的结果共有C C＋ C＝12＋1＝13种情况，
所以至少抽到一名乌鲁木齐市网友的概率为P＝．
(3)①列联表如下：
②K2的观测值k＝＝≈1．79．
因为1．79<2．706，所以没有90%的把握认为“强烈关注”与网友所在的地区有关．
【点睛】这个题目考查了频率分布直方图的应用，平均数的计算，平均数是每个长方条的中点乘以间距再乘以长方条的高，将每一个数值相加得到的数值；考查了卡方值的计算，以及独立性检验的实际应用. 20.设分别是椭圆的左、右焦点．
(1)若是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值；
(2)设过定点的直线与椭圆交于不同的两点，且为锐角(其中为坐标原点)，求直线的斜率的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
(1)设出点P的坐标，向量坐标化得到的表达式，进而得到最值；（2）为锐角即，设出点AB的坐标，向量坐标化得到点积的表达式为：x1x2＋y1y2,联立直线和椭圆方程，由韦达定理得到结果.
【详解】(1)由已知得，F1(－，0)，F2(，0)，设点P(x，y)，
则＋y2＝1，且－2≤x≤2．
所以·＝(－－x，－y)·(－x，－y)＝x2－3＋y2＝x2－3＋1－＝x2－2，
当x＝0，即P(0，±1)时，(·)min＝－2；
当x＝±2，即P(±2，0)时，(·)max＝1．
(2)由题意可知，过点M(0，2)的直线l的斜率存在．
设l的方程为y＝kx＋2，
由消去y，化简整理得
(1＋4k2)x2＋16kx＋12＝0，Δ＝(16k)2－48(1＋4k2)＞0，解得k2>．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝，
又∠AOB为锐角，所以·＞0，即x1x2＋y1y2＞0，
有x1x2＋(kx1＋2)(kx2＋2)＝(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4
＝(1＋k2)·＋2k·＋4＞0，解得k2＜4，
所以＜k2＜4，即k∈．
【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．
21.设函数．
(1)若函数在上单调递增，求的取值范围；
(2)当时，设函数的最小值为，求证：；
(3)求证：对任意的正整数，都有．
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)题意知f′(x)＝e x－a≥0对x∈R恒成立,e x＞0进而得到结果；（2）由a＞0，及f′(x)＝e x－a，得到函数的单调性，故得到函数f(x)的最小值为g(a)＝f(ln a)＝e ln a－a ln a－1＝a－a ln a－1，再对这个函数求导得到函数的
单调性和最值，进而得到结果；（3）由前一问得到(x＋1)n＋1＜(e x)n＋1＝e(n＋1)x令，得到，再赋值：依次代入上述不等式，做和,放缩,利用等比数列求和公式可得到结果.
【详解】(1)由题意知f′(x)＝e x－a≥0对x∈R恒成立，且e x＞0，
故a的取值范围为(－∞，0]．
(2)证明：由a＞0，及f′(x)＝e x－a，
可得函数f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增，
故函数f(x)的最小值为g(a)＝f(ln a)＝e ln a－a ln a－1＝a－a ln a－1，则g′(a)＝－ln a，
故当a∈(0，1)时，g′(a)＞0，
当a∈(1，＋∞)时，g′(a)＜0，
从而可知g(a)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，且g(1)＝0，
故g(a)≤0．
(3)证明：由(2)可知，当a＝1时，
总有f(x)＝e x－x－1≥0，当且仅当x＝0时等号成立．即当x＋1＞0且x≠0时，总有e x＞x＋1．于是，可得(x＋1)n＋1＜(e x)n＋1＝e(n＋1)x．
令x＋1＝，即x＝－，可得；
令x＋1＝，即x＝－，可得；
令x＋1＝，即x＝－，可得；
……
令x＋1＝，即x＝－，可得．
累加可得
．
故对任意的正整数n，都有．
【点睛】利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数. 22.在直角坐标系中，圆的参数方程为为参数)，直线经过点，且倾斜角为．
(1)写出直线的参数方程和圆的标准方程；
(2)设直线与圆相交于两点，求的值．
【答案】（1）(t为参数)，；（2）12.
【解析】
【分析】
(1)根据参数方程与普通方程的互化可得到圆的直角坐标方程，由直线的参数方程的写法得到直线的参数方程；（2）；联立直线的参数方程和圆的普通方程，得到|P A|·|PB|＝|t1t2|可得到结果.
【详解】(1)把圆C的参数方程 (θ为参数)化为直角坐标方程为x2＋y2＝25．
由条件可得直线l的参数方程为即 (t为参数)．
(2)把直线l的参数方程代入圆C的方程化简可得t2＋(3＋2)t－12＝0，
所以t1t2＝－12，故|PA|·|PB|＝|t1t2|＝12．
【点睛】这个题目考查了参数方程化为普通方程的方法，考查了直线参数中t的几何意义，一般t的绝对值表示方程中的定点到动点的距离，故，，均可用t来表示，从而转化为韦达定理来解决.。