人教版数学八年级下册第十七章 小结与复习2.ppt
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其中直角三角形有（ C ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
首页
2.观察下列图形，正方形1的边长为7，则正方形2、3、4、5 的面积之和为 49 .
第2题图
第3题图
3.折叠矩形ABCD的一边AD，折痕为AE，且使D落在BC
边上的点F处，已知AB=8cm,BC=10cm,则点F的坐标是
，点E的坐标是
答案：解：设AE的长为x 米，依题意
得CE=AC - x ,∵AB=DE=2.5,BC=1.5,
∠C=90°，∴AC=2.∵BD=0.5,∴AC=2. A
∴在Rt△ECD中，CE=1.5.
E
∴2- x =1.5， x =0.5. 即AE=0.5 . 答：梯子下滑0.5米．
C
BD
3.（选做题）一架长5米的梯子，斜立在一竖直的 墙上，这时梯子底端距墙底3米． 如果梯子的顶 端沿墙下滑1米，梯子的底端在水平方向沿一条直 线也将滑动1米吗？用所学知识，论证你的结论．
【思考】本组题，利用勾股定理解决了哪些类型 题目？注意事项是什么？ 利用勾股定理能求三角形的边长和高等线段 的长度.注意没有图形的题目，先画图，再考 虑是否需分类讨论.
题型二 用勾股定理解决简单的实际问题
1. 在一块平地上，张大爷家屋前9米远处有一棵大
树．在一次强风中，这棵大树从离地面6米处折断倒
解一般三角形的问题常常通过作高转化成直角三 角形，利用勾股定理解决问题.
思考：利用勾股定理解决综合题的基本步骤是什么？
1.画图与标图，根据题目要求添加辅助线，构造直 角三角形. 2.将已知量与未知量集中到同一个直角三角形中. 3 .利用勾股定理列出方程. 4.解方程，求线段长，最后完成解题.
题型四 勾股定理的逆定理的应用
H
Ｃ．AB,CD,GH Ｄ．AB,CD,EF
FA
D
G
已知：如图，四边形ABCD，AB=1，BC=2，CD=2， AD=3， 且AB⊥BC.求四边形 ABCD的面积.
分析：本题解题的关键是恰当的添加辅助线，利用勾股定理 的逆定理判定△ADC的形状为直角三角形，再利用勾股定理 解题. 答案：连接AC,∵AB⊥BC，∴∠ABC=90°. ∵在△ABC中，∠ABC=90°，AB=1，BC=2， ∴AC= 5.∵CD=2，AD=3, ∴△ACD是直角三角形；∴四边形 的面积为1+ .5
复习归纳
实际问题 (直角三角形边长计算)
由形到数 勾股定理
互逆 定理
实际问题 (判定直角三角形)
由数到形
勾股定理的 逆定理
首页
勾股定理
勾股定理的逆定理
题 在Rt△ABC 中,∠C=900 在△ABC 中, 三边a,b,c
设
满足a2+b2=c2
结
a2+b2=c2
论
∠C=900
作 1.用勾股定理进行计算 用 2.证明与平方有关的问题
答案:（4）a= 3 ，c=2 3.
（二）知一边及另两边关系型 1.如图，已知在△ABC 中，∠B =90°，若BC＝4 ， AB＝x ，AC=8-x，则AB= 3 ,AC= 5 .
2.在Rt△ABC 中,∠B=90°，b=34,a:c=8:15,则 a= 16 , c= 30 . 3.（选做题）在Rt△ABC中，∠C=90°，若a=12,cb=8,求b,c.
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第二节
教学内容
输入你的文本 根据你所需的内容输入你想要的文本 点击输入本栏的具体文字，简明扼要的说明分项内容，此为概念图解，
请根据您的具体内容酌情修改。
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QUISQUE VELIT NISI.
解：(1)(2)(3)如图(a)、图(b)、图(c)．
图 17－13
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CONTENTS
目录
01 教学目标 03 教学准备 02 教学内容 04 教学过程
第一节
教学目标
输入你的文本 根据你所需的内容输入你想要的文本 点击输入本栏的具体文字，简明扼要的说明分项内容，此为概念图解，
【思考7】 请把你的解答过程写下来.
答案： 设BE=x，折叠，∴△BCE ≌△FCE， ∴BC=FC=10. 令BE=FE=x，长方形ABCD， ∴ AB=DC=8 ，AD=BC=10，∠D=90°， ∴DF=6, AF=4，∠A=90°, AE=8-x ，
∴ 42 (8 x)2 x2，解得 x = 5 .∴BE的长为5.
2．解决折叠的问题. 已知如图，将长方形的一边BC沿CE折叠， 使得点B落在AD边的点F处，已知AB=8， BC=10, 求BE的长.
【思考1】由AB=8，BC=10,你可以知道哪些线段长？ 请在图中标出来.
答案：AD=10，DC=8 .
2．解决折叠的问题. 已知如图，将长方形的一边BC沿CE折叠， 使得点B落在AD边的点F处，已知AB=8， BC=10, 求BE的长.
答案：3. b=5，c=13.
（三）分类讨论的题型
1. 对三角形边的分类. 已知一个直角三角形的两条边长是3 cm和4 cm，
求第三条边的长． 答案：5 cm或 7 cm.
注意：这里并没有指明已知的两条边就是直角边， 所以4 cm可以是直角边，也可以是斜边，即应分情 况讨论．
（三）分类讨论的题型
.
答案： c2 b2 a2
【思考】为什么不是 c2 a2 b2？
答案：因为∠B 所对的边是斜边.
首页
（一）知两边或一边一角型
2.在Rt△ABC中，∠C=90°.
（1）如果a=3，b=4， 则c= 5
；
（2）如果a=6，c=10， 则b= 8 ；
（3）如果c=13，b=12，则a= 5 ；
（4）已知b=3，∠A=30°，求a，c.
答案：是． 证明：在Rt△ACB中，BC=3，AB=5， AC=4．DC=4-1=3． 在Rt△ECD中，DC=3，DE=5， CE=4．BE=CE-CB=1． 即梯子底端也滑动了1米．
思考：利用勾股定理解题决实际问题时，基本步 骤是什么？Zx```xk 答案：1.把实际问题转化成数学问题，找出相应 的直角三角形. 2.在直角三角形中找出直角边，斜边. 3.根据已知和所求，利用勾股定理解决问题.
2. 对三角形高的分类.
已知：在△ABC中，AB＝15 cm，AC＝13 cm，高AD＝12 cm，求S△ABC．
图1
图2
答案：第1种情况：如图1，在Rt△ADB和Rt△ADC中，分别由勾股定理，
得BD＝9，CD＝5，所以BC＝BD+ CD＝9+5＝14．
故S△ABC＝84（cm2）．
第2种情况，如图2，可得：S△ABC=24（ cm2 ）．
请根据您的具体内容酌情修改。
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【思考2】 在Rt△DFC中，你可以求出DF的长吗？ 请在图中标出来.
答案： DF=6 .
2．解决折叠的问题. 已知如图，将长方形的一边BC沿CE折叠， 使得点B落在AD边的点F处，已知AB=8， BC=10, 求BE的长.
【思考3】 由DF的长，你还可以求出哪条线段长？ 请在图中标出来.
答案： AF=4 .
1．下列线段不能组成直角三角形的是（ D ）
A．a=8，b=15，c=17
B．a=9，b=12，c=15
C．a= 5，b= 3，c= 2
D．a：b：c=2：3：4
2.如图，在由单位正方形组成的网格图中标有
AB,CD,EF,GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边
的是（ B ）
CE B
Ａ．CD,EF,GH Ｂ．AB,EF,GH
【思考5】 你在哪个直角三角形中，应用勾股定
理建立方程？你建立的方程是
.
答案：直角三角形△AEF, ∵∠A=90°, AE=8-x，
∴ 42 (8 x)2 x2 .
2．解决折叠的问题. 已知如图，将长方形的一边BC沿CE折叠， 使得点B落在AD边的点F处，已知AB=8， BC=10, 求BE的长.
3.解决实际问题
1.判断某三角形是否为 直角三角形（3种）2. 解决实际问题
联 1.两个定理都与“三角形的三边关系a2+b2=c2”有关; 系 2.都与直角三角形有关；
3.都是数形结合思想的体现.
课后演练
1.有四个三角形，分别满足下列条件： ①一个内角等于另两个内角之和； ②三个角之比为3：4：5； ③三边之比分别为7、24、25； ④三边之比分别为5：12：13
答案：过点A作AD⊥BC于D,∴∠ADB=∠ADC=90°.
在△ABD中，∠ADB=90°，
∠B=45°，AB=2，∴AD=BD= 2 .∵在△ABD中，
∠ADC=90°，∠C=60°，AD=2 ，
∴CD= 2 3,∴BC=
3
2 2 3，S△ABC = 1
3
6. 3
思考 ：在不是直角三角形中如何求线段长和面积？
Quisque velit nisi, pretium ut lacinia in, elementum id enim. Cras ultricies ligula sed magna dictum porta
下，量得倒下部分的长是10米．出门在外的张大爷
担心自己的房子被倒下的大树砸到．大树倒下时能
砸到张大爷的房子吗？（ A ）
A．一定不会 B．可能会
C．一定会
D．以上答案都不对
2. 如图，滑杆在机械槽内运动，∠ACB为直角，已
知滑杆AB长2.5米，顶端A在AC上运动，量得滑杆下 端B距C点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米时， 求滑杆顶端A下滑多少米？
.
4. 图(a)、图(b)、图(c)是三张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸
中的每个小正方形的边长均为 1.请在图(a)、图(b)、图(c)中，分别画出 符合要求的图形，所画图形各顶点必须与方格纸中的小正方形顶点重 合．具体要求如下：
(1)画一个底边长为 4，面积为 8 的等腰三角形； (2)画一个面积为 10 的等腰直角三角形； (3)画一个一边长为 2 2，面积为 6 的等腰三角形．
2．解决折叠的问题. 已知如图，将长方形的一边BC沿CE折叠， 使得点B落在AD边的点F处，已知AB=8， BC=10, 求BE的长.
【思考4】 设BE = x，你可以用含有x的式子表示出 哪些线段长？请在图中标出来.
答案：EF = x，AE = 8-x，CF = 10 .
2．解决折叠的问题. 已知如图，将长方形的一边BC沿CE折叠， 使得点B落在AD边的点F处，已知AB=8， BC=10, 求BE的长. Z```xxk
题型三 会用勾股定理解决较综合的问题
1．证明线段相等. 已知：如图，AD是△ABC的高，AB=10，AD=8， BC=12 .求证： △ABC是等腰三角形.
分析：利用勾股定理求出线段BD的长，也能 求出线段AC的长，最后得出AB=AC，即可. 答案：证明：∵AD是△ABC的高，∴∠ADB=∠ADC=90°.∵ 在Rt△ADB中，AB=10，AD=8，∴BD=6 .∵BC=12, ∴DC=6.∵在Rt△ADC中，AD=8，∴AC=10，∴AB=AC.即 △ABC是等腰三角形.
3.做高线，构造直角三角形. 已知：如图，在△ABC中，∠B=45°，∠C=60°， AB=2.求（1）BC 的长；（2）S△ABC .
分析：由于本题中的△ABC不是直角三角形，所以添 加BC边上的高这条辅助线，就可以求得BC及S△ABC .
3.做高线，构造直角三角形. 已知：如图，在△ABC中，∠B=45°，∠C=60°， AB=2.求（1）BC 的长；（2）S△ABC .
【思考6】 图中共有几个直角三角形？每一个直角 三角形的作用是什么？折叠的作用是什么？
答案： 四个，两个用来折叠，将线段和角等量转化， 一个用来知二求一，最后一个建立方程.
2．解决折叠的问题. 已知如图，将长方形的一边BC沿CE折叠， 使得点B落在AD边的点F处，已知AB=8， BC=10, 求BE的长.
第十七章 勾股定理
小结和复习
情景 引入
考题 分类
复习 归纳
课后 演练
情景引入
同学们，请认真观察这四张图片中都有一种我们学过的几何 图形，它是哪种图形？
首页
考题分类 题型一 勾股定理的直接应用
（一）知两边或一边一角型
1.如图，已知在△ABC 中，∠B =90°，一直角边为a，斜边
为b，则另一直角边c满足c2 =
首页
2.观察下列图形，正方形1的边长为7，则正方形2、3、4、5 的面积之和为 49 .
第2题图
第3题图
3.折叠矩形ABCD的一边AD，折痕为AE，且使D落在BC
边上的点F处，已知AB=8cm,BC=10cm,则点F的坐标是
，点E的坐标是
答案：解：设AE的长为x 米，依题意
得CE=AC - x ,∵AB=DE=2.5,BC=1.5,
∠C=90°，∴AC=2.∵BD=0.5,∴AC=2. A
∴在Rt△ECD中，CE=1.5.
E
∴2- x =1.5， x =0.5. 即AE=0.5 . 答：梯子下滑0.5米．
C
BD
3.（选做题）一架长5米的梯子，斜立在一竖直的 墙上，这时梯子底端距墙底3米． 如果梯子的顶 端沿墙下滑1米，梯子的底端在水平方向沿一条直 线也将滑动1米吗？用所学知识，论证你的结论．
【思考】本组题，利用勾股定理解决了哪些类型 题目？注意事项是什么？ 利用勾股定理能求三角形的边长和高等线段 的长度.注意没有图形的题目，先画图，再考 虑是否需分类讨论.
题型二 用勾股定理解决简单的实际问题
1. 在一块平地上，张大爷家屋前9米远处有一棵大
树．在一次强风中，这棵大树从离地面6米处折断倒
解一般三角形的问题常常通过作高转化成直角三 角形，利用勾股定理解决问题.
思考：利用勾股定理解决综合题的基本步骤是什么？
1.画图与标图，根据题目要求添加辅助线，构造直 角三角形. 2.将已知量与未知量集中到同一个直角三角形中. 3 .利用勾股定理列出方程. 4.解方程，求线段长，最后完成解题.
题型四 勾股定理的逆定理的应用
H
Ｃ．AB,CD,GH Ｄ．AB,CD,EF
FA
D
G
已知：如图，四边形ABCD，AB=1，BC=2，CD=2， AD=3， 且AB⊥BC.求四边形 ABCD的面积.
分析：本题解题的关键是恰当的添加辅助线，利用勾股定理 的逆定理判定△ADC的形状为直角三角形，再利用勾股定理 解题. 答案：连接AC,∵AB⊥BC，∴∠ABC=90°. ∵在△ABC中，∠ABC=90°，AB=1，BC=2， ∴AC= 5.∵CD=2，AD=3, ∴△ACD是直角三角形；∴四边形 的面积为1+ .5
复习归纳
实际问题 (直角三角形边长计算)
由形到数 勾股定理
互逆 定理
实际问题 (判定直角三角形)
由数到形
勾股定理的 逆定理
首页
勾股定理
勾股定理的逆定理
题 在Rt△ABC 中,∠C=900 在△ABC 中, 三边a,b,c
设
满足a2+b2=c2
结
a2+b2=c2
论
∠C=900
作 1.用勾股定理进行计算 用 2.证明与平方有关的问题
答案:（4）a= 3 ，c=2 3.
（二）知一边及另两边关系型 1.如图，已知在△ABC 中，∠B =90°，若BC＝4 ， AB＝x ，AC=8-x，则AB= 3 ,AC= 5 .
2.在Rt△ABC 中,∠B=90°，b=34,a:c=8:15,则 a= 16 , c= 30 . 3.（选做题）在Rt△ABC中，∠C=90°，若a=12,cb=8,求b,c.
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第二节
教学内容
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解：(1)(2)(3)如图(a)、图(b)、图(c)．
图 17－13
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CONTENTS
目录
01 教学目标 03 教学准备 02 教学内容 04 教学过程
第一节
教学目标
输入你的文本 根据你所需的内容输入你想要的文本 点击输入本栏的具体文字，简明扼要的说明分项内容，此为概念图解，
【思考7】 请把你的解答过程写下来.
答案： 设BE=x，折叠，∴△BCE ≌△FCE， ∴BC=FC=10. 令BE=FE=x，长方形ABCD， ∴ AB=DC=8 ，AD=BC=10，∠D=90°， ∴DF=6, AF=4，∠A=90°, AE=8-x ，
∴ 42 (8 x)2 x2，解得 x = 5 .∴BE的长为5.
2．解决折叠的问题. 已知如图，将长方形的一边BC沿CE折叠， 使得点B落在AD边的点F处，已知AB=8， BC=10, 求BE的长.
【思考1】由AB=8，BC=10,你可以知道哪些线段长？ 请在图中标出来.
答案：AD=10，DC=8 .
2．解决折叠的问题. 已知如图，将长方形的一边BC沿CE折叠， 使得点B落在AD边的点F处，已知AB=8， BC=10, 求BE的长.
答案：3. b=5，c=13.
（三）分类讨论的题型
1. 对三角形边的分类. 已知一个直角三角形的两条边长是3 cm和4 cm，
求第三条边的长． 答案：5 cm或 7 cm.
注意：这里并没有指明已知的两条边就是直角边， 所以4 cm可以是直角边，也可以是斜边，即应分情 况讨论．
（三）分类讨论的题型
.
答案： c2 b2 a2
【思考】为什么不是 c2 a2 b2？
答案：因为∠B 所对的边是斜边.
首页
（一）知两边或一边一角型
2.在Rt△ABC中，∠C=90°.
（1）如果a=3，b=4， 则c= 5
；
（2）如果a=6，c=10， 则b= 8 ；
（3）如果c=13，b=12，则a= 5 ；
（4）已知b=3，∠A=30°，求a，c.
答案：是． 证明：在Rt△ACB中，BC=3，AB=5， AC=4．DC=4-1=3． 在Rt△ECD中，DC=3，DE=5， CE=4．BE=CE-CB=1． 即梯子底端也滑动了1米．
思考：利用勾股定理解题决实际问题时，基本步 骤是什么？Zx```xk 答案：1.把实际问题转化成数学问题，找出相应 的直角三角形. 2.在直角三角形中找出直角边，斜边. 3.根据已知和所求，利用勾股定理解决问题.
2. 对三角形高的分类.
已知：在△ABC中，AB＝15 cm，AC＝13 cm，高AD＝12 cm，求S△ABC．
图1
图2
答案：第1种情况：如图1，在Rt△ADB和Rt△ADC中，分别由勾股定理，
得BD＝9，CD＝5，所以BC＝BD+ CD＝9+5＝14．
故S△ABC＝84（cm2）．
第2种情况，如图2，可得：S△ABC=24（ cm2 ）．
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【思考2】 在Rt△DFC中，你可以求出DF的长吗？ 请在图中标出来.
答案： DF=6 .
2．解决折叠的问题. 已知如图，将长方形的一边BC沿CE折叠， 使得点B落在AD边的点F处，已知AB=8， BC=10, 求BE的长.
【思考3】 由DF的长，你还可以求出哪条线段长？ 请在图中标出来.
答案： AF=4 .
1．下列线段不能组成直角三角形的是（ D ）
A．a=8，b=15，c=17
B．a=9，b=12，c=15
C．a= 5，b= 3，c= 2
D．a：b：c=2：3：4
2.如图，在由单位正方形组成的网格图中标有
AB,CD,EF,GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边
的是（ B ）
CE B
Ａ．CD,EF,GH Ｂ．AB,EF,GH
【思考5】 你在哪个直角三角形中，应用勾股定
理建立方程？你建立的方程是
.
答案：直角三角形△AEF, ∵∠A=90°, AE=8-x，
∴ 42 (8 x)2 x2 .
2．解决折叠的问题. 已知如图，将长方形的一边BC沿CE折叠， 使得点B落在AD边的点F处，已知AB=8， BC=10, 求BE的长.
3.解决实际问题
1.判断某三角形是否为 直角三角形（3种）2. 解决实际问题
联 1.两个定理都与“三角形的三边关系a2+b2=c2”有关; 系 2.都与直角三角形有关；
3.都是数形结合思想的体现.
课后演练
1.有四个三角形，分别满足下列条件： ①一个内角等于另两个内角之和； ②三个角之比为3：4：5； ③三边之比分别为7、24、25； ④三边之比分别为5：12：13
答案：过点A作AD⊥BC于D,∴∠ADB=∠ADC=90°.
在△ABD中，∠ADB=90°，
∠B=45°，AB=2，∴AD=BD= 2 .∵在△ABD中，
∠ADC=90°，∠C=60°，AD=2 ，
∴CD= 2 3,∴BC=
3
2 2 3，S△ABC = 1
3
6. 3
思考 ：在不是直角三角形中如何求线段长和面积？
Quisque velit nisi, pretium ut lacinia in, elementum id enim. Cras ultricies ligula sed magna dictum porta
下，量得倒下部分的长是10米．出门在外的张大爷
担心自己的房子被倒下的大树砸到．大树倒下时能
砸到张大爷的房子吗？（ A ）
A．一定不会 B．可能会
C．一定会
D．以上答案都不对
2. 如图，滑杆在机械槽内运动，∠ACB为直角，已
知滑杆AB长2.5米，顶端A在AC上运动，量得滑杆下 端B距C点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米时， 求滑杆顶端A下滑多少米？
.
4. 图(a)、图(b)、图(c)是三张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸
中的每个小正方形的边长均为 1.请在图(a)、图(b)、图(c)中，分别画出 符合要求的图形，所画图形各顶点必须与方格纸中的小正方形顶点重 合．具体要求如下：
(1)画一个底边长为 4，面积为 8 的等腰三角形； (2)画一个面积为 10 的等腰直角三角形； (3)画一个一边长为 2 2，面积为 6 的等腰三角形．
2．解决折叠的问题. 已知如图，将长方形的一边BC沿CE折叠， 使得点B落在AD边的点F处，已知AB=8， BC=10, 求BE的长.
【思考4】 设BE = x，你可以用含有x的式子表示出 哪些线段长？请在图中标出来.
答案：EF = x，AE = 8-x，CF = 10 .
2．解决折叠的问题. 已知如图，将长方形的一边BC沿CE折叠， 使得点B落在AD边的点F处，已知AB=8， BC=10, 求BE的长. Z```xxk
题型三 会用勾股定理解决较综合的问题
1．证明线段相等. 已知：如图，AD是△ABC的高，AB=10，AD=8， BC=12 .求证： △ABC是等腰三角形.
分析：利用勾股定理求出线段BD的长，也能 求出线段AC的长，最后得出AB=AC，即可. 答案：证明：∵AD是△ABC的高，∴∠ADB=∠ADC=90°.∵ 在Rt△ADB中，AB=10，AD=8，∴BD=6 .∵BC=12, ∴DC=6.∵在Rt△ADC中，AD=8，∴AC=10，∴AB=AC.即 △ABC是等腰三角形.
3.做高线，构造直角三角形. 已知：如图，在△ABC中，∠B=45°，∠C=60°， AB=2.求（1）BC 的长；（2）S△ABC .
分析：由于本题中的△ABC不是直角三角形，所以添 加BC边上的高这条辅助线，就可以求得BC及S△ABC .
3.做高线，构造直角三角形. 已知：如图，在△ABC中，∠B=45°，∠C=60°， AB=2.求（1）BC 的长；（2）S△ABC .
【思考6】 图中共有几个直角三角形？每一个直角 三角形的作用是什么？折叠的作用是什么？
答案： 四个，两个用来折叠，将线段和角等量转化， 一个用来知二求一，最后一个建立方程.
2．解决折叠的问题. 已知如图，将长方形的一边BC沿CE折叠， 使得点B落在AD边的点F处，已知AB=8， BC=10, 求BE的长.
第十七章 勾股定理
小结和复习
情景 引入
考题 分类
复习 归纳
课后 演练
情景引入
同学们，请认真观察这四张图片中都有一种我们学过的几何 图形，它是哪种图形？
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考题分类 题型一 勾股定理的直接应用
（一）知两边或一边一角型
1.如图，已知在△ABC 中，∠B =90°，一直角边为a，斜边
为b，则另一直角边c满足c2 =