课堂新坐标高中数学人教A版选修学案：独立性检验的基本思想及其初步应用含解析

3.2独立性检验的基本思想及其初步应用

1．了解分类变量、2×2列联表、随机变量K2的意义．

2．通过对典型案例的分析，了解独立性检验的基本思想方法．(重点)

3．通过对典型案例的分析，了解两个分类变量的独立性检验的应用．(难点)

[基础·初探]

教材整理1列联表和等高条形图

阅读教材P91～P94，完成下列问题．

1．分类变量和列联表

(1)分类变量

变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量．

(2)列联表

①定义：列出的两个分类变量的频数表称为列联表．

②2×2列联表

一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为

2.等高条形图

(1)等高条形图与表格相比，更能直观地反映出两个分类变量间是否相互影

响，常用等高条形图展示列联表数据的频率特征．

(2)观察等高条形图发现

a

a＋b

和

c

c＋d

相差很大，就判断两个分类变量之间有

关系．

1．下面是2×2列联表：

则表中a，b

【解析】∵a＋21＝73，∴a＝52.

又∵a＋2＝b，∴b＝54.

【答案】5254

2．下面的等高条形图可以说明的问题是________(填序号)．

图3-2-1

①“心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的影响是绝对不同的；

②“心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的影响没有什么不同；

③此等高条形图看不出两种手术有什么不同的地方；

④“心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的影响在某种程度上是不同的，但是没有100%的把握．

【答案】④

3．下列说法正确的有________(填序号)．

①分类变量的取值仅表示个体所属的类别，它们的取值一定是离散的；

②分类变量的取值也可以用数字来表示，但这时的数字除了分类以外没有其

他的含义；

③2×2列联表是两个分类变量的频数汇总统计表；

④2×2列联表和等高条形图都能反映出两个分类变量间是否相互影响．

【解析】由分类变量的定义可知①②正确；由2×2列联表的定义可知③正确；2×2列联表和等高条形图都能展示样本的频率特征，若在一个分类变量所取值的群体中，另一个分类变量所取值的频率相差较小，则说明这两个变量不相互影响，否则就相互影响．故④正确．

【答案】①②③④

教材整理2独立性检验

阅读教材P93～P96，完成下列问题．

1．定义

利用随机变量K2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验．

2．K2＝n(ad－bc)2

(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)

，

其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量．

3．独立性检验的具体做法

(1)根据实际问题的需要确定容许推断“两个分类变量有关系”犯错误概率的上界α，然后查表确定临界值k0.

(2)利用公式计算随机变量K2的观测值k.

(3)如果k≥k0，就推断“X与Y有关系”，这种推断犯错误的概率不超过α；否则，就认为在犯错误的概率不超过α的前提下不能推断“X与Y有关系”，或者在样本数据中没有发现足够证据支持结论“X与Y有关系”．

1．若由一个2×2列联表中的数据计算得K2＝4.013，那么有__________的把握认为两个变量之间有关系．

【解析】查阅K2表知有95%的把握认为两个变量之间有关系．

【答案】95%

2．考察棉花种子经过处理与生病之间的关系，得到下表中的数据：

填“有关”或“无关”). 【导学号：97270061】

【解析】k＝407×(32×213－61×101)2

93×314×133×274

≈0.164<0.455，

即没有充足的理由认为种子是否经过处理跟生病有关．

【答案】无关

[质疑·手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：

疑问1：

解惑：

疑问2：

解惑：

疑问3：

解惑：

[小组合作型]

利用等高条形图判断两个分类变量是否相关

(2016·青岛高二检测)某学校对高三学生作了一项调查发现：在平时的模拟考试中，性格内向的学生426人中332人在考前心情紧张，性格外向的学生594人中有213人在考前心情紧张，作出等高条形图，利用图形判断考前心情紧张与性格类别是否有关系．

【精彩点拨】首先求出在考前心情紧张与考前心情不紧张群体中，性格内向的频率，再绘制等高条形图进行判定．

【自主解答】作列联表如下：

中，性格内向的约占20%.绘制相应的等高条形图如图所示：

图中阴影部分表示考前心情紧张与考前心情不紧张中性格内向的比例，从图中可以看出考前心情紧张的样本中性格内向占的比例比考前心情不紧张样本中性格内向占的比例大，可以认为考前紧张与性格类别有关．

利用等高条形图判断两个分类变量是否相关的步骤：(1)统计：收集数据，统计结果(2)列表：列出2×2列联表，计算频率、粗略估计(3)绘图：绘制等高条形图，直观分析.

[再练一题]

1．网络对现代人的生活影响较大，尤其是对青少年，为了解网络对中学生学习成绩的影响，某地区教育主管部门从辖区初中生中随机抽取了1 000人调查，发现其中经常上网的有200人，这200人中有80人期末考试不及格，而另外800人中有120人不及格．利用图形判断学生经常上网与学习成绩是否有关？

【解】根据题目所给的数据得到如下2×2列联表：