三角函数诱导公式在高中数学解题中的三种常见应用

三角函数诱导公式
在高中数学解题中的三种常见应用
毛慧婷
(福建省浦城第一中学ꎬ福建浦城３５３４００)
摘㊀要:三角函数诱导公式是高中数学中的重要工具之一ꎬ具有广泛的应用性.本文从化简㊁求值和证明三个角度探讨了三角函数诱导公式在解题中的应用.在化简问题中ꎬ通过运用诱导公式ꎬ可以将复杂的三角表达式简化为易于处理的形式ꎻ在求值问题中ꎬ利用诱导公式可快速准确地求解三角函数的具体数值ꎻ在证明问题中ꎬ诱导公式是重要的推理工具ꎬ可帮助学生建立相关的数学定理和结论.文章通过具体例题进行说明ꎬ并强调实践和思考的重要性.
关键词:三角函数ꎻ诱导公式ꎻ高中数学ꎻ应用技巧
中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)３６－００６８－０３
收稿日期:２０２３－０９－２５
作者简介:毛慧婷(１９９６.９－)ꎬ女ꎬ福建省浦城人ꎬ本科ꎬ中学二级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀三角函数是高中数学中的重要内容之一ꎬ而三角函数的诱导公式则是解题过程中常用的工具[１].在实际应用中ꎬ三角函数的诱导公式具有广泛的适用性ꎬ可以在化简㊁求值和证明等问题中发挥重要作用.
在化简问题中ꎬ三角函数诱导公式可以帮助我们将复杂的三角表达式转化为简单的形式.通过巧妙地运用三角函数诱导公式ꎬ我们可以将复杂的三角函数关系简化为更易于处理的形式ꎬ从而更方便进行后续计算和推导ꎻ在求值问题中ꎬ三角函数诱导公式可以帮助我们快速准确地求解三角函数的具体数值[２].通过将待求函数转化为已知函数的组合形式ꎬ我们可以运用三角函数诱导公式将问题转化为已知数值的计算ꎬ从而得到准确的解答ꎻ在证明问题中ꎬ三角函数诱导公式可以作为重要的推理工具.通过将待证明的三角函数关系转化为等价的形式ꎬ我
们可以使用诱导公式进行推导和证明ꎬ从而建立起相关的数学定理和结论.
１利用诱导公式化简
利用诱导公式化简可以帮助我们将复杂的三角函数表达式转化为简单的形式ꎬ在高中数学解题中具有重要的应用价值.
在过程上ꎬ利用诱导公式进行化简的基本步骤如下:首先ꎬ根据待化简的三角函数表达式ꎬ选择合适的诱导公式ꎬ常用的诱导公式有正弦与余弦的诱导公式㊁正切与余切的诱导公式等ꎻ其次ꎬ将原始的三角函数表达式中的某一项根据选择的诱导公式进行替换ꎬ转化为新的三角函数表达式ꎻ然后ꎬ运用三角函数的基本关系和性质ꎬ通过代数运算将新的三角函数表达式进一步简化ꎻ最后反复迭代执行第２步和第３步ꎬ直至将原始的三角函数表达式化简到
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最简形式.在实际应用意义上ꎬ通过化简ꎬ我们可以将复杂的计算转化为简单的形式ꎬ提高计算速度和准确性.化简过程中ꎬ我们需要运用三角函数的基本关系和性质进行代数运算.通过观察和分析化简的中间步骤ꎬ我们可以发现一些规律和特点ꎬ从而深入理解三角函数的性质[３].在解决实际问题时ꎬ常常会遇到复杂的三角函数表达式.利用诱导公式进行化简ꎬ可以将问题转化为更简单的形式ꎬ使问题的求解过程更加高效和便捷.
因此ꎬ利用诱导公式进行化简是一种重要的数学技巧ꎬ在高中数学解题和实际应用中具有广泛的应用.通过掌握化简的方法和技巧ꎬ我们可以更好地理解和运用三角函数ꎬ提高解题的效率和准确性.
例１㊀已知函数ｆ(ｘ)＝２ｓｉｎ(ωｘ)ꎬ其中常数ω>０.令ω＝１ꎬ判断函数Ｆ(ｘ)＝ｆ(ｘ)＋ｆｘ＋π２æ
è
çöø÷的奇偶性ꎬ并说明理由.令ω＝２ꎬ将函数ｙ＝ｆ(ｘ)的图象向左平移π
６个单位ꎬ再向上平移１个单位ꎬ得到函
数ｙ＝ｇ(ｘ)的图象.对任意ａɪＲꎬ求ｙ＝ｇ(ｘ)在区间ａ[ꎬａ＋１０π]上的零点个数的所有可能.
解析㊀(１)ω＝１时ꎬｆ(ｘ)＝２ｓｉｎｘꎬ此时Ｆｘ()＝ｆｘ()＋ｆｘ＋π２æèçöø÷＝２ｓｉｎｘ＋２ｓｉｎｘ＋π２æèçöø
÷＝２ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ().此时有:Ｆπ４æ
èçöø÷＝２２ꎻ且Ｆ－π４æèçöø
÷＝０ꎻ所以Ｆ－π４æ
èçöø÷ʂＦπ４æèçöø÷ꎬＦ－π４æèçöø÷ʂ－Ｆπ４æèçöø÷.因此Ｆ(ｘ)既不是奇函数ꎬ也不是偶函数.
(２)ω＝２时ꎬ有ｆ(ｘ)＝２ｓｉｎ２ｘꎬ将ｙ＝ｆ(ｘ)的图象向左平移
π
６
个单位ꎬ再向上平移１个单位后得到ｙ＝２ｓｉｎ２ｘ＋π６æ
è
çöø÷＋１的图象ꎬ所以ｇ(ｘ)＝２ｓｉｎ２ｘ＋π６æèçöø÷＋１.令ｇ(ｘ)＝０ꎬ得ｘ＝ｋπ＋５１２π或ｘ＝ｋπ＋
３
４
π(ｋɪＺ).因为[ａꎬａ＋１０π]恰含１０个周期ꎬ所以ꎬ当ａ是零点时ꎬ在[ａꎬａ＋１０π]上零点个数２１ꎻ当ａ不是零点时ꎬａ＋ｋπ(ｋɪＺ)也都不是零点ꎬ区间[ａ＋ｋπꎬａ＋(ｋ＋１)π]上恰有两个零点ꎬ故在[ａꎬａ＋１０π]上
有２０个零点ꎬ综上ꎬｙ＝ｇ(ｘ)在[ａꎬａ＋１０π]上零点个数的所有可能值为２１或２０.
２利用诱导公式求值
利用诱导公式进行求值是数学计算和解题中常用的一种方法ꎬ具有简便明了的过程和重要的意义ꎬ它能够帮助我们简化复杂的计算过程ꎬ提高计算的效率.同时ꎬ它也扩展了我们的数学思维和应用能力ꎬ在实际问题中起到了重要的作用.
首先ꎬ利用诱导公式进行求值的过程相对简便明了.前已述及ꎬ诱导公式是一类可以将某些复杂函数转化为简单形式的公式[４].通过巧妙运用这些公式ꎬ我们可以将原始的复杂表达式转化为更简单㊁易于计算的形式ꎬ从而大大简化求值的过程.这些诱导公式包括特殊角的三角函数值㊁和差角的三角函数关系等ꎬ其处理过程可以减少繁琐的计算过程ꎬ提高计算的效率.其次ꎬ通过诱导公式ꎬ我们可以在计算和解题中更加灵活和高效地应用数学知识.它帮助我们将问题转化为更简单的形式ꎬ从而更好地理解和处理数学概念.而且ꎬ诱导公式也能够帮助我们发现数学中的规律和性质ꎬ提高我们的抽象思维能力.此外ꎬ利用诱导公式进行求值还具有更广泛的应用ꎬ许多问题都涉及三角函数的计算.通过运用诱导公式ꎬ我们可以更加方便地处理和求解这些问题ꎬ提高实际应用中的问题解决能力.
例２㊀
已知函数ｆ(ｘ)＝ｓｉｎ(ωｘ＋φ)
ω>０ꎬ０<φ<π２æèçöø÷在π８ꎬ５π８æèçöø÷上单调ꎬ且ｆ－π８æèçöø
÷＝
ｆ３π８æèçöø÷＝０ꎬ则ｆπ２æèçöø
÷的值为(㊀㊀).
解析㊀由题意得ꎬ函数ｆ(ｘ)的最小正周期为
９
６
Ｔ＝
２πωꎬ因为ｆ(ｘ)在π８ꎬ５π８æ
èçöø
÷上单调ꎬ所以Ｔ２＝πω?π２ꎬ得０<ω?２.且ｆ－π８æèçöø÷＝ｆ３π８æèçöø
÷＝０ꎬ所以Ｔ２＝３π８－－π８æ
èçöø÷＝π２
ꎬ解得ω＝２.由于ｆ－π８æèçöø÷＝０ꎬ所以ｓｉｎ２ˑ－π８æèçöø
÷＋φ[]
＝
０ꎬ整理得φ＝
π４.所以ｆ(ｘ)＝ｓｉｎ２ｘ＋π４æ
èçöø÷ꎬ则ｆπ２æèçöø
÷＝ｓｉｎπ＋π４æè
çöø÷＝－２２.３利用诱导公式证明
利用诱导公式进行证明可以为证明过程提供一种清晰㊁简洁的推理路径.通过诱导公式ꎬ我们可以将复杂的等式或方程转化为简单的形式ꎬ从而更方便地进行推导和计算.这样的过程通常会减少繁琐的代数运算步骤ꎬ简化问题求解的过程ꎬ提高计算的效率[５].此外ꎬ诱导公式往往能够将问题与其他相关概念㊁定理联系起来ꎬ使证明过程更加连贯且易于理解.
例３㊀已知ＡꎬＢꎬＣ为әＡＢＣ的内角.(１)求证:ｃｏｓ２
Ａ＋Ｂ２＋ｃｏｓ２Ｃ
２
＝１ꎻ
(２)若ｃｏｓπ２＋Ａæ
èçöø÷ｓｉｎ３π２＋Ｂæèçöø÷ｔａｎ(Ｃ－π)<０ꎬ求证:әＡＢＣ为钝角三角形.
解析㊀(１)因为Ａ＋Ｂ＝π－Ｃꎬ所以
Ａ＋Ｂ２＝π２－Ｃ２
ꎬ所以ｃｏｓＡ＋Ｂ２＝ｃｏｓπ２－Ｃ２æ
èçöø÷＝ｓｉｎＣ２ꎬ所以ｃｏｓ２
Ａ＋Ｂ２＋ｃｏｓ２Ｃ２
＝１.(２)因为ｃｏｓπ２＋Ａæ
èçöø÷ｓｉｎ３π２＋Ｂæèçöø÷ｔａｎ(Ｃ－π)<０ꎬ所以(－ｓｉｎＡ)(－ｃｏｓＢ)ｔａｎＣ<０.因此ｓｉｎＡｃｏｓＢｔａｎＣ<０.又因为０<Ａ<πꎬ０<Ｂ
<πꎬ０<Ｃ<π且ｓｉｎＡ>０ꎬ所以
ｃｏｓＢ<０ꎬｔａｎＣ>０
{
或
ｃｏｓＢ>０ｔａｎＣ<０
{
ꎬ所以Ｂ为钝角或Ｃ为钝角ꎬ所以әＡＢＣ
为钝角三角形.
通过本文的论述ꎬ我们不仅了解了三角函数诱导公式的基本概念和推导方法ꎬ同时也掌握了在高中数学解题中常见三种应用技巧.化简㊁求值和证明是数学解题的重要环节ꎬ我们可以通过灵活运用三角函数诱导公式ꎬ将复杂问题转化为简单形式ꎬ从而提高解题效率和准确度.然而ꎬ要想真正掌握这些应用技巧ꎬ还需要在实践中不断练习和尝试.通过多做例题ꎬ多思考不同情况下的解题方法ꎬ同学们可以逐渐熟练掌握三角函数诱导公式ꎬ提高自己的数学能力和解题水平.相信在以后的学习和生活中ꎬ这些技巧也会为我们带来更多的启示和帮助.
参考文献:
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[责任编辑:李㊀璟]
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