第2章 特殊三角形单元测试题 2021——2022学年浙教版八年级数学上册

第2章特殊三角形
一、选择题(每小题5分,共35分)
1.下列图形中是轴对称图形的是()
图1
2.已知等腰三角形的一个内角为40°,则这个等腰三角形的顶角为()
A.40°
B.100°
C.40°或100°
D.70°或50°
3.已知a,b,c是△ABC的三边长,且满足(a-b)2+|c2-a2-b2|=0,则下列对△ABC的形状的判断最准确的为()
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等腰直角三角形
D.等边三角形
4.如图2所示,△ABC的面积为8 cm2,AP垂直∠ABC的平分线BP于点P,则△PBC的面积为()
图2
A.2 cm2
B.3 cm2
C.4 cm2
D.5 cm2
5.如图3,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=50°,以点B为圆心,BC长为半径画弧,交AB于点D,连结CD,则∠ACD的度数是()
图3
A.50°
B.40°
C.30°
D.20°
6.如图4,已知点P在∠AOB的边OA上,OP=10,点M,N在边OB上,PM=PN.若MN=2,OM=5,则PM的长为()
图4
A.6
B.8
C.√65
D.9
7.如图5,在锐角三角形ABC中,∠BAC=45°,AB=2,∠BAC的平分线交BC于点D,M,N分别是AD,AB上的动点,则BM+MN的最小值是()
A.1
B.1.5
C.√2
D.√3
二、填空题(每小题5分,共30分)
8.定理“直角三角形的两个锐角互余”的逆定理是______________________.
图5
9.如图6,已知AB是Rt△ABC和Rt△ABD的斜边,O是AB的中点,其中OC=2 cm,则OD=________cm.
图6
10.如图7,在△ABC中,BO,CO分别平分∠ABC,∠ACB,OM∥AB,ON∥AC,BC=10 cm,则△OMN的周长为________cm.
图7
11.如图8,在长方形ABCD中,BC=6,CD=3,将△BCD沿对角线BD翻折,使点C落在点C'处,BC'交AD于点E,则线段DE的长为________.
图8
12.将45°的∠AOB按如图9所示的方式摆放在一把刻度尺上,顶点O与刻度尺下沿的端点重合,OA与刻度尺下沿重合,OB与刻度尺上沿的交点B在刻度尺上的读数为2 cm.若按相同的方式将30°的∠AOC放置在该刻度尺上,OC与刻度尺上沿的交点为C,则点C在刻度尺上的读数为________cm.
图9
13.如图10,一个直径为8 cm的杯子,在它的正中间竖直放一根筷子,筷子露出杯子外1 cm,当筷子倒向杯壁时(筷子底端不动),筷子顶端刚好触到杯口,则筷子的长度为________cm.
图10
三、解答题(共35分)
14.(10分)如图11,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,分别过点B,C作过点A的直线的垂线BD,CE,垂足为D,E.若BD=4 cm,CE=3 cm,求DE的长.
图11
15.(12分)如图12,已知AC⊥BC,AD⊥BD,E为AB的中点.
(1)如图①,求证:△ECD是等腰三角形;
(2)如图②,CD与AB交于点F,若AD=BD,EF=3,DE=4,求CD的长.
图12
16.(13分)定义:把斜边重合,且直角顶点不重合的两个直角三角形叫做“共边直角三角形”. (1)概念理解:如图13①所示,在△ABC中,∠C=90°,作出△ABC的“共边直角三角形”(画一个即可);
(2)问题探究:如图②所示,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,△ABD与△ABC是“共边直角三角形”,连结CD,当CD⊥AB时,求CD的长;
(3)拓展延伸:如图③所示,△ABC和△ABD是“共边直角三角形”,BD=CD.求证:AD平分∠CAB.
图13
答案
1.D
2.C[解析] 当40°角是等腰三角形的顶角时,则顶角就是40°;当40°角是等腰三角形的底角时,则顶角是180°-40°×2=100°.
3.C[解析] ∵(a-b)2+|c2-a2-b2|=0,
∴a-b=0,c2-a2-b2=0,解得a=b,a2+b2=c2,∴△ABC为等腰直角三角形.故选C.
4.C[解析] 如图,延长AP交BC于点E.
∵AP垂直∠ABC的平分线BP于点P,
∴∠APB=∠EPB=90°,∠ABP=∠EBP.
又∵BP=BP,
∴△ABP≌△EBP,
∴S△ABP=S△EBP,AP=PE,
∴S△APC=S△PCE,
∴S△PBC=S△EBP+S△PCE=1
S△ABC=4 cm2.
2
5.D[解析] ∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=50°,
∴∠B=40°.
∵BC=BD,∴∠BCD=∠BDC=1
×(180°-40°)=70°,
2
∴∠ACD=90°-70°=20°.因此本题选D.
6.C
7.C[解析] 过点B作BH⊥AC,垂足为H,交AD于点M',过点M'作M'N'⊥AB,垂足为N',则BM'+M'N'为所求的最小值.
∵AD是∠BAC的平分线,
∴M'H=M'N'.
∵BH⊥AC,∠BAC=45°,
∴∠ABH=45°,
∴AH=BH.
又∵AB=2,∴BH=√2,
∴BM+MN 的最小值是BM'+M'N'=BM'+M'H=BH=√2.
故选C .
8.有两个角互余的三角形是直角三角形
9.2 [解析] ∵AB 是Rt △ABC 和Rt △ABD 的斜边,O 是AB 的中点,
∴OC=1
2AB=OD. ∵OC=2 cm, ∴OD=2 cm .
故答案为2.
10.10 [解析] ∵BO 平分∠ABC ,
∴∠ABO=∠MBO.
∵OM ∥AB ,∴∠ABO=∠MOB , ∴∠MBO=∠MOB ,∴OM=BM ,
同理ON=CN.
∵BC=10 cm,
∴△OMN 的周长=OM+MN+ON=BM+MN+CN=BC=10 cm .
故答案为10.
11.15
4 [解析] 设DE=x ,则AE=6-x.
∵四边形ABCD 为长方形, ∴AD ∥BC , ∴∠EDB=∠DBC.
由折叠的性质,得∠EBD=∠DBC ,
∴∠EDB=∠EBD , ∴BE=DE=x.
在Rt △ABE 中,由勾股定理, 得BE 2=AB 2+AE 2,
即x 2=9+(6-x )2,解得x=15
4,∴DE=15
4. 12.√12
13.8.5 [解析] 设杯子的高度是x cm,那么筷子的长度是(x+1)cm . 由题意,得x 2+42=(x+1)2,
整理,得16=2x+1, 解得x=7.5,
∴x+1=8.5.
∴筷子的长度为8.5 cm .
故答案为8.5.
14.解:∵∠BAC=90°,∠ADB=∠AEC=90°,
∴∠BAD+∠CAE=90°,∠BAD+∠ABD=90°, ∴∠CAE=∠ABD.
又∵AB=CA ,
∴△ABD ≌△CAE , ∴AD=CE ,BD=AE ,
∴DE=AD+AE=CE+BD=7 cm .
15.解:(1)证明:∵AC ⊥BC ,AD ⊥BD ,
∴∠ACB=90°,∠ADB=90°.
又∵E 为AB 的中点,
∴CE=12AB ,DE=1
2AB , ∴CE=DE ,
即△ECD 是等腰三角形. (2)∵AD=BD ,E 为AB 的中点,
∴DE ⊥AB. ∵DE=4,EF=3,
∴在Rt △DEF 中,由勾股定理,得DF=5.
过点E 作EH ⊥CD 于点H.
∵∠FED=90°,EH ⊥DF , ∴S △DEF =1
2EF ·ED=1
2DF ·EH , ∴EH=
EF ·ED DF =125,
∴DH=√DE 2-EH 2=16
5. ∵△ECD 是等腰三角形,
∴CD=2DH=32
5.
16.解:(1)略.
(2)如图①所示,设AB ,CD 交于点E ,取AB 的中点O ,连结CO ,DO. 在Rt △ABC 中,
∵AC=6,BC=8, ∴AB=10.
∵△ABC 和△ABD 是共边直角三角形, ∴OC=OD=1
2AB. ∵CD ⊥AB , ∴CD=2CE.
∵S △ABC =1
2AC ·BC=1
2AB ·CE , ∴CE=4.8,∴CD=4.8×2=9.6.
(3)证明:设AD ,BC 交于点E ,如图②,分别延长BD 和AC 交于点F .
∵△ABC 和△ABD 是共边直角三角形, ∴AC ⊥BC ,AD ⊥BF . ∵BD=CD , ∴∠CBD=∠BCD.
∵∠CBD+∠F=∠BCD+∠DCF=90°, ∴∠DCF=∠F , ∴CD=FD , ∴BD=FD ,
即AD 为线段BF 的垂直平分线,
∴AF=AB ,
∴AD 平分∠CAB (等腰三角形三线合一).。