第02章 随机变量及其统计特征.

P( X k ) p q
k
1k
,
k 0,1
(2-18)
这是 (0-1)分布。
（2） 泊松(Poisson)分布 泊松定理 设随机变量Xn(n = 1，2，…) 服从二项式分布，其分布规律为
P( X n k ) C p (1 pn )
k n k n n k
k 0,1,...,n
随机变量就是在试验的结果中能取得 不同数值的量。 按照随机变量可能取得的值，可分为两 种基本类型：离散随机变量及连续随机 变量。离散随机变量仅可能取得有限或 可列无限个数值。连续随机变量可以取 得某一区间内的任何数值。
1. 离散随机变量的概率分布 设离散随机变量X所有可能取的值为 xk(k = 1，2，…)， X取各个可能值的 概率，即事件{X = xk}的概率为
一般地，设是个相互独立的事件，则有
P( A1 A2 ...An ) P( A1 ) P( A2 )...P( An )
(2-11)
4. 全概率公式 设试验E的样本空间为S，A为E的 事件， B1，B2，…，Bn为S的一个划分， 且P(Bi)>0 (i = 1，2，…，n)，则
P( A) P( A / B1 ) P( B1 ) P( A / B2 ) P( B2 )
泊松定理指明了当n∞时，以n，p(np =) 为参数的二项式分布趋于以 λ 为参数的泊松 函数
设 X 是一个随机变量， x 是任意
实数，函数
F ( x) P( X x)
(2-20)
称为 X 的概率分布函数。它完整地描述
了随机变量的概率特征.
概率分布函数F(X)具有以下的基 本性质：
(a) F(X) 是一个不减函数
(b) 0≤ F(X) ≤1，且有
F () lim F ( x) 0
x
F () lim F ( x) 1
x
(c) F(x + 0) = F(x) ，即F(x) 是右连续的。
（2）概率密度函数 对于随机变量X的分布函数F(x)，
存在非负的函数 f(x) ，使对于任意实
第 2章
随机变量及其统计特征
2.1 概率的基本概念
2.2 随机变量及其分布
2.3 随机变量的数字特征
2.4 结构可靠度分析中常用的概
率分布
2.5 n维随机向量及其数字特征
2.1 概率的基本概念
1. 概率的定义 设 E 是随机试验， S 是它的样本空间 . 对于E 的每一事件A 赋予一实数，记为
P(A) ，称为事件 A 的概率，如果它满足
f ( x)dx
x1
x2
(d) 若f(x)在点x处连续，则有 F’(x)= f(x)
3. 多维随机变量及其分布
在生产实际中，常常需要同时用
几个随机变量才能较好地描述某一现
象或问题。我们称 n 个随机变量 X1 ，
X2，…，Xn的总体X = (X1，X2，…，
Xn)为n维随机向量或n维随机变量。 由于二维与 n 维没有什么本质的差别， 为简单及容易理解起见，下面着重讨论二 维情形。
4) 设A、B为二事件, 若A⊂B, 则
P(A)≤P(A)
(2-7)
3. 条件概率 设A，B为随机试验E 的两个事件， 且P(A) > 0, 在“事件A已经发生”条
件下，“事件B发生”的条件概率
P(B|A)定义为
P( B | A) P( AB) P( A)
(2-8)
计算条件概率P(B|A)有两种方法: (a) 在样本空间S的缩减样本空间中 计算B事件发生的概率，就得到
对于任意固定的y， F(–∞，y) = 0
对于任意固定的x， F(x，–∞) = 0 F(–∞，–∞) = 0， F(+∞，+∞) = 1 (c) F(x，y)= F(x+0，y)，F(x，y)= F(x+0， y+0)，即F(x，y)关于x，y均为右连续.
对于二维随机变量(X，Y)的概率分 布函数F(x，y)，如果存在非负的函数 f(x，y)使得对于任意实数x，y有
= 0.05 + 0.04 + 0.03 – 0.002
– 0.0015 – 0.0012 + 0.00006
= 0.11536
例 2-2
简支刚架 AB如图所示。由于土壤地 基的不均匀可能导致两支座产生不均 匀沉降，设 (a)支座A、B不是保 持原来位置就是下 沉50mm，且沉降 概率均为0.1；
设(X，Y)是二维随机变量，对于任意 实数x，y，二元函数
F ( x, y) P( X x, Y y)
称为二维随机变量(X, Y)的概率分布函数， 或称为随机变量 X和Y的联合概率分布函 数。
概率分布函数 F(x ， y) 具有下 列基本性质：
(a) F(x，y)是变量x或y的不减函数。 (b) 0 ≤ F(x，y) ≤ 1，且
又由全概率公式
P( A) P( A / B j ) P( B j )
j 1 n
即得贝叶斯公式：
P( Bi / A) P( A / Bi ) P( Bi )
n
P( A / B ) P( B )
j 1 j j
(2-13)
例 2-1
静定桁架如图2-1所示，在力F的作用 下杆a、b、c的破坏概率分别为0.05、 0.04和0.03,求此桁架的破坏概率。
F 图２－１
桁架任一杆件的破坏都会导致桁
架的破坏，设各个杆件的破坏是相互独
立的，则两个或两个以上杆件破坏的概
率就等于各杆件破坏概率的乘积。 以A、B、C 分别表示三个杆件a、b、c 各自破坏的事件，则有 P(A) = 0.5，P(B) = 0.4，P(C) = 0.3
于是得到桁架的破坏概率为：
P( A B C ) P( A) P( B) P(C ) P( AB) P( AC) P( BC) P( ABC)
设试验E只有两个可能的结果：A 及A，记P(A) = p，P(A)= 1 – p = q (0 < p < 1)，将E独立地重复进行n次， 则称这一系列重复的独立试验为n重贝
努利 (Bernoulli) 试验，简称贝努利试
验。
在n重贝努利试验中，事件A可能 发生0，1，… ，n次， 以X表示事件A 发生的次数，则 X 是一个随机变量， 事件A恰发生k (0 ≤ k ≤ n)次的概率为：
数x 有
F ( x) f (t )dt

x
(2-21)
则称 X 为连续随机变量， f(x) 称为 X 的 概率密度函数。
概率密度函数f(x)具有以下性质： (a) f(x)≥0 (b)



f ( x)dx 1
(c) P( x1 X x2 ) F ( x2 ) F ( x1 )
下列条件
(1) 对于每一事件A，有0≤P(A)≤1
(2) P(S)=1
(3) 对于两两互不相容的事件Ak（k = 1， 2， …），有
P( A1 A2 ... An ) P( A1 ) P( A2 ) ... P( An )
P( A1 A2 ... An ...) P( A1 ) P( A2 ) ... P( An ) ...
设 E 是一个随机试验，它的样本空间
是S = {e}，设X = X(e)和Y = Y(e)是定义在
上的随机变量，由它们构成的一个向量(X， Y)称为二维随机向量或二维随机变量。 二维随机变量(X，Y) 的性质与不仅变量 X，Y有关，而且还依赖于这两个变量的相互 关系。这就需要将 (X ， Y) 作为一个整体来进 行研究。
P(B|A)。
(b) 在样本空间 S 中，先计算P(AB)、 P(A)，再按式(2-8)求得P(B|A)。
由式(2-8)即可得到概率的乘法定理。 设P(A) > 0，则有
P( AB) P( B / A) P( A)
(2-9)
利用这个定理可以计算事件A, B同时发 生的概率P(AB).
如果两事件A、B中任一事件的发生不 影响另一事件发生的概率，则称此二 事件是相互独立的。于是得到 P(AB)=P(A)P(B) (2-10)
这里概率Pn是与n有关的数。
又设npn = λ > 0是常数，则有
lim P( X n k ) e
k n
k!
定理的条件npn = λ (常数)意味着当n很大 时pn必定很小。上述定理表明当n很大、 p很小时有以下的近似公式
C p q
k n k nk k e
k!
P( AB AB) P( AB) P( AB)
P( B)1 P( A | B) P( A)1 P( B | A)
0.1(1 0.8) 0.1(1 0.8) 0.02 0.02 0.04 这就是支座A、B产生5cm不均匀沉降的概率。
2.2 随机变量及其分布
图２－２ 图2-2
5cm
A
B
例 2-2
(b) 若某支座已经
下沉，则另一支
5cm
A
B
座将要下沉的概
率为0.8。
求支座A、B产生50mm不均匀沉降 的概率。
图2-2
将支座沉降事件记作： A— 支座A沉降；
B— 支座B沉降；
AB — 支座A不沉降而B沉降；
A B —支座 A沉降而B不沉降。
显然, 支座产生不均匀沉降的概率应 为事件 AB 、A B 之和的概率。由于此 二事件是互不相容的, 所以得到:
P( A1 A2 ) P( A1 A3 ) P( A2 A3 ) P( A1 A2 A3 )
(2-5)
式(2-4)可以推广到n个事件的情况， 设A1，A2，…，An是n个事件，则有
P( A1 A2 ... An ) P( Ai )
i 1 n
i j 2
(2-1) (2-2)
2. 概率的基本性质
1) 设A是A的对立事件, 则
P( A) 1 P( A)
(2-3)
2) 空集φ 的概率为零，即P(φ )= 0 3) 设A、B为两个事件，则
P( A B) P( A) P( B) P( AB)
(2-4)
对于三个事件的情况，有
P( A1 A2 A3 ) P( A1 ) P( A2 ) P( A3 )
(2-19)
式中λ = np。 在实际计算中，当 n ≥10 ， p ≤
k 0.1时就可以用 e
k! 近似值，而前者可查表得到，较为方
k k n k 的 作为Cn pq
便。
设随机变量 X 所有可能取的值为 0 ，
1，2，…，而取各个值的概率为
k P( X k ) e k 0,1,2,... k! 其中 λ > 0 是常数，则称 X 服从参数为 的泊松分布，记为X~π(λ) 。
k k n k P( X k ) Pn (k ) Cn p q
k 1,2,...,n
(2-17)
k k n k C 注意到 n p q 恰好是二项式(p + q)n
的展开式中的第k + 1项, 故称随机变量 X 服从参数为 n，p 的二项式分布 , 记为
X~B(n，p)。
特别，当n = 1时二项式分布化为
P{X = xk} = pk， k = 1，2，… (2-14) 由概率的定义， pk满足如下两个条件 (a) pk ≥ 0, k = 1，2，… (2-15) (2-16)
(b) p k 1
k 1

式(2-14)称为离散随机变量的概率分布。 （1）二项式分布 将试验E重复进行n次，若各次试验 的结果互不影响，即每次试验结果出现 的概率都不依赖于其它各次试验的结果， 则称这n次试验是独立的。
P( A A )
i j
n

i j k 3
n 1 P ( A A A ) ... ( 1 ) P( A1 A2 ...An ) i j k
n
(2-6a)
如果各事件是互不相容的，式(2-6)化为
P( A1 A2 ... An ) P( Ai )
i 1 n
... P( A / Bn ) P( Bn )
(2-12)
称为全概率公式。
5. 贝叶斯(Bayes)公式 设B1，B2，…，Bn为样本空间S的 一个划分, 且P(Bi)>0 (i = 1，2，…，
n)，对于任一事件A, P(A)>0, 由条件
概率的定义有
P( Bi / A) P( Bi A) P( A) P( A / Bi ) P( Bi ) P( A)