2015年四川省高考数学试卷(理科)答案与解析

2015年四川省高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1．（5分）（2015•四川）设集合A={x|（x+1）（x﹣2）＜0}，集合B={x|1＜x＜3}，则A∪B=（）
A．{x|﹣1＜x＜3} B．{x|﹣1＜x＜1} C．{x|1＜x＜2} D．{x|2＜x＜3} 2．（5分）（2015•四川）设i是虚数单位，则复数i3﹣=（）
A．﹣i B．﹣3i C．i D．3i
3．（5分）（2015•四川）执行如图所示的程序框图，输出s的值为（）
A．
﹣B．C．
﹣
D．
4．（5分）（2015•四川）下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是（）
A．
y=cos（2x+）B．
y=sin（2x+）
C．y=sin2x+cos2x D．y=sinx+cosx
5．（5分）（2015•四川）过双曲线x2﹣=1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的
两条渐近线于A、B两点，则|AB|=（）
A．B．2C．6D．4
6．（5分）（2015•四川）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（）
A．144个B．120个C．96个D．72个
7．（5分）（2015•四川）设四边形ABCD为平行四边形，||=6，||=4，若点M、N满足
，，则=（）
A．20 B．15 C．9D．6
8．（5分）（2015•四川）设a、b都是不等于1的正数，则“3a＞3b＞3”是“log a3＜log b3”的（）A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
9．（5分）（2015•四川）如果函数f（x）=（m﹣2）x2+（n﹣8）x+1（m≥0，n≥0）在区间[]上单调递减，那么mn的最大值为（）
A．16 B．18 C．25 D．
10．（5分）（2015•四川）设直线l与抛物线y2=4x相交于A、B两点，与圆（x﹣5）2+y2=r2（r＞0）相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（）
A．（1，3）B．（1，4）C．（2，3）D．（2，4）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

11．（5分）（2015•四川）在（2x﹣1）5的展开式中，含x2的项的系数是（用数字填写答案）．
12．（5分）（2015•四川）sin15°+sin75°的值是．
13．（5分）（2015•四川）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系y=e kx+b（e=2.718…为自然对数的底数，k、b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是小时．14．（5分）（2015•四川）如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，他
们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E、F分别为AB、BC的中
点，设异面直线EM与AF所成的角为θ，则cosθ的最大值为．
15．（5分）（2015•四川）已知函数f（x）=2x，g（x）=x2+ax（其中a∈R）．
对于不相等的实数x1、x2，设m=，n=．现有
如下命题：
①对于任意不相等的实数x1、x2，都有m＞0；
②对于任意的a及任意不相等的实数x1、x2，都有n＞0；
③对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=n；
④对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=﹣n．
其中的真命题有（写出所有真命题的序号）．
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16．（12分）（2015•四川）设数列{a n}（n=1，2，3，…）的前n项和S n满足S n=2a n﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）记数列{}的前n项和为T n，求使得|T n﹣1|成立的n的最小值．
17．（12分）（2015•四川）某市A、B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队．
（Ⅰ）求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；
（Ⅱ）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列和数学期望．
18．（12分）（2015•四川）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．在正方体中，设BC的中点为M、GH的中点为N．
（Ⅰ）请将字母F、G、H标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）；
（Ⅱ）证明：直线MN∥平面BDH；
（Ⅲ）求二面角A﹣EG﹣M的余弦值．
19．（12分）（2015•四川）如图，A、B、C、D为平面四边形ABCD的四个内角．
（Ⅰ）证明：tan；
（Ⅱ）若A+C=180°，AB=6，BC=3，CD=4，AD=5，求tan+tan+tan+tan的值．
20．（13分）（2015•四川）如图，椭圆E：的离心率是，过点P
（0，1）的动直线l与椭圆相交于A、B两点，当直线l平行于x轴时，直线l被椭圆E截得的线段长为2．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点P不同的定点Q，使得恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
21．（14分）（2015•四川）已知函数f（x）=﹣2（x+a）lnx+x2﹣2ax﹣2a2+a，其中a＞0．（Ⅰ）设g（x）是f（x）的导函数，讨论g（x）的单调性；
（Ⅱ）证明：存在a∈（0，1），使得f（x）≥0在区间（1，+∞）内恒成立，且f（x）=0在区间（1，+∞）内有唯一解．
答案：
1、解：∵集合A={x|（x+1）（x﹣2）＜0}，集合B={x|1＜x＜3}，
∴集合A={x|﹣1＜x＜2}，
∵A∪B={x|﹣1＜x＜3}，
故选：A
2、
解：∵i是虚数单位，则复数i3﹣，
∴===i，
故选；C
3、解：模拟执行程序框图，可得
k=1
k=2
不满足条件k＞4，k=3
不满足条件k＞4，k=4
不满足条件k＞4，k=5
满足条件k＞4，S=sin=，
输出S的值为．
故选：D．
4、解：
y=cos（2x+）=﹣sin2x，是奇函数，函数的周期为：π，满足题意，所以A正确y=sin（2x+）=cos2x，函数是偶函数，周期为：π，不满足题意，所以B不正确；
y=sin2x+cos2x=sin（2x+），函数是非奇非偶函数，周期为π，所以C不正确；
y=sinx+cosx=sin（x+），函数是非奇非偶函数，周期为2π，所以D不正确；
故选：A．
5、
解：双曲线x2﹣=1的右焦点（2，0），渐近线方程为y=，
过双曲线x2﹣=1的右焦点且与x轴垂直的直线，x=2，
可得y A=2，y B=﹣2，
∴|AB|=4．故选：D．
6、解：根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个，末位数字为0、2、4
中其中1个；
分两种情况讨论：
①首位数字为5时，末位数字有3种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3
个位置上，有A43=24种情况，此时有3×24=72个，
②首位数字为4时，末位数字有2种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3
个位置上，有A43=24种情况，此时有2×24=48个，
共有72+48=120个．故选：B
7、
解：∵四边形ABCD为平行四边形，点M、N满足，，
∴根据图形可得：=+=，
==，
∴=，
∵=•（）=2﹣，
2=22，
=22，
||=6，||=4，
∴=22=12﹣3=9故选；C
8、解：a、b都是不等于1的正数，
∵3a＞3b＞3，
∴a＞b＞1，
∵log a3＜log b3，
∴，
即＜0，
或
求解得出：a＞b＞1或1＞a＞b＞0或b＞1，0＜a＜1
根据充分必要条件定义得出：“3a＞3b＞3”是“log a3＜log b3”的充分条不必要件，故选：B．9、
解：∵函数f（x）=（m﹣2）x2+（n﹣8）x+1（m≥0，n≥0）在区间[]上单调递减，∴f′（x）≤0，故（m﹣2）x+n﹣8≤0在[，2]上恒成立．而（m﹣2）x+n﹣8是一次函数，在[，2]上的图象是一条线段．故只须在两个端点处f′（）≤0，f′（2）≤0即可．即
由（2）得m≤（12﹣n），
∴mn≤n（12﹣n）≤=18，
当且仅当m=3，n=6时取得最大值，经检验
m=3，n=6满足（1）和（2）．故选：B．
解法二：
∵函数f（x）=（m﹣2）x2+（n﹣8）x+1
（m≥0，n≥0）在区间[]上单调递减，
∴①m=2，n＜8 对称轴x=﹣，
②即
③即
设或或
设y=，y′=，
当切点为（x0，y0），k取最大值．
①﹣=﹣2．k=2x，
∴y0=﹣2x0+12，y0==2x0，可得x0=3，y0=6，
∵x=3＞2
∴k的最大值为3×6=18
②﹣=﹣．，k=，
y0==，
2y0+x0﹣18=0，
解得：x0=9，y0=
∵x0＜2
∴不符合题意．
③m=2，n=8，k=mn=16
综合得出：m=3，n=6时k最大值k=mn=18，故选；B
10、解：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），则
斜率存在时，设斜率为k，则y12=4x1，y22=4x2，利用点差法可得ky0=2，
因为直线与圆相切，所以=﹣，所以x0=3，
即M的轨迹是直线x=3，
代入抛物线方程可得y=±2，所以交点与圆心（5，0）的距离为4，
所以2＜r＜4时，直线l有2条；
斜率不存在时，直线l有2条；
所以直线l恰有4条，2＜r＜4，故选：D．
11、解：根据所给的二项式写出展开式的通项，
T r+1=；
要求x2的项的系数，
∴5﹣r=2，∴r=3，
∴x2的项的系数是22（﹣1）3C53=﹣40．故答案为：﹣40．
12、
解：sin15°+sin75°=sin15°+cos15°=（sin15°cos45°+cos15°sin45°）=sin60°=．故答案为：．
13、解：由题意可得，x=0时，y=192；x=22时，y=48．
代入函数y=e kx+b，
可得e b=192，e22k+b=48，
即有e11k=，e b=192，
则当x=33时，y=e33k+b=×192=24．故答案为：24．
14、解：根据已知条件，AB，AD，AQ三直线两两垂直，分别以这三直线为x，y，z轴，建
立如图所示空间直接坐标系，设AB=2，则：
A（0，0，0），E（1，0，0），F（2，1，0）；
M在线段PQ上，设M（0，y，2），0≤y≤2；
∴；
∴cosθ==；
设f（y）=，；
函数g（y）=﹣2y2+y﹣12是二次函数，对称轴为x=﹣3，且g（0）=﹣12＜0；
∴g（y）＜0在[0，2]恒成立，∴f′（y）＜0；
∴f（y）在[0，2]上单调递减；
∴y=0时，f（y）取到最大值．
故答案为：．
15、解：对于①，由于2＞1，由指数函数的单调性可得f（x）在R上递增，即有m＞0，
则①正确；
对于②，由二次函数的单调性可得g（x）在（﹣∞，﹣）递减，在（，+∞）递减，
则n＞0不恒成立，
则②错误；
对于③，由m=n，可得f（x1）﹣f（x2）=g（x1）﹣g（x2），考查函数h（x）=x2+ax
﹣2x，
h′（x）=2x+a﹣2x ln2，当a→﹣∞，h′（x）小于0，h（x）单调递减，则③错误；
对于④，由m=﹣n，可得f（x1）﹣f（x2）=﹣[g（x1）﹣g（x2）]，考查函数h（x）=x2+ax+2x，
h′（x）=2x+a+2x ln2，对于任意的a，h′（x）不恒大于0或小于0，则④正确．
故答案为：①④．
16、解：（Ⅰ）由已知S n=2a n﹣a1，有
a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣2a n﹣1（n≥2），
即a n=2a n﹣1（n≥2），
从而a2=2a1，a3=2a2=4a1，
又∵a1，a2+1，a3成等差数列，
∴a1+4a1=2（2a1+1），解得：a1=2．
∴数列{a n}是首项为2，公比为2的等比数列．故；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：，
∴．
由，得，即2n＞1000．
∵29=512＜1000＜1024=210，
∴n≥10．
于是，使|T n﹣1|成立的n的最小值为10．
17、解：（Ⅰ）由题意，参加集训的男、女学生个有6人，参赛学生全从B中抽出（等价
于A中没有学生入选代表队）的概率为：=，因此A中学至少有1名学生入选代表队的概率为：1﹣=；
（Ⅱ）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，X表示参赛的男生人数，
则X的可能取值为：1，2，3，
P（X=1）==，
P（X=2）==，
P（X=3）==．
X的分布列：
X 1 2 3
P
和数学期望EX=1×=2．
18、解：（Ⅰ）F、G、H的位置如图；
证明：（Ⅱ）连接BD，设O是BD的中点，
∵BC的中点为M、GH的中点为N，
∴OM∥CD，OM=CD，
HN∥CD，HN=CD，
∴OM∥HN，OM=HN，
即四边形MNHO是平行四边形，
∴MN∥OH，
∵MN⊄平面BDH；OH⊂面BDH，
∴直线MN∥平面BDH；
（Ⅲ）方法一：
连接AC，过M作MH⊥AC于P，
则正方体ABCD﹣EFGH中，AC∥EG，
∴MP⊥EG，
过P作PK⊥EG于K，连接KM，
∴EG⊥平面PKM
则KM⊥EG，
则∠PKM是二面角A﹣EG﹣M的平面角，
设AD=2，则CM=1，PK=2，
在Rt△CMP中，PM=CMsin45°=，
在Rt△PKM中，KM==，
∴cos∠PKM=，
即二面角A﹣EG﹣M的余弦值为．
方法二：以D为坐标原点，
分别为DA，DC，DH方向为x，y，z轴建立空间坐标系如图：
设AD=2，则M（1，2，0），G（0，2，2），E（2，0，2），O（1，1，0），则=（2，﹣2，0），，
设平面EGM的法向量为=（x，y，z），
则，即，令x=2，得=（2，2，1），
在正方体中，DO⊥平面AEGC，
则==（1，1，0）是平面AEG的一个法向量，
则cos＜＞====．
二面角A﹣EG﹣M的余弦值为．
19、
证明：（Ⅰ）tan===．等式成立．
（Ⅱ）由A+C=180°，得C=180°﹣A，D=180°﹣B，由（Ⅰ）可知：
tan+tan+tan+tan==
连结BD，在△ABD中，有BD2=AB2+AD2﹣2AB•ADcosA，AB=6，BC=3，CD=4，AD=5，在△BCD中，有BD2=BC2+CD2﹣2BC•CDcosC，
所以AB2+AD2﹣2AB•ADcosA=BC2+CD2﹣2BC•CDcosC，
则：cosA===．
于是sinA==，
连结AC，同理可得：cosB===，
于是sinB==．
所以tan+tan+tan+tan===．
20、解：（Ⅰ）∵直线l平行于x轴时，直线l被椭圆E截得的线段长为2，
∴点（，1）在椭圆E上，
又∵离心率是，
∴，解得a=2，b=，
∴椭圆E的方程为：+=1；
（Ⅱ）结论：存在与点P不同的定点Q（0，2），使得恒成立．
理由如下：
当直线l与x轴平行时，设直线l与椭圆相交于C、D两点，
如果存在定点Q满足条件，则有==1，即|QC|=|QD|．
∴Q点在直线y轴上，可设Q（0，y0）．
当直线l与x轴垂直时，设直线l与椭圆相交于M、N两点，
则M、N的坐标分别为（0，）、（0，﹣），
又∵=，∴=，解得y0=1或y0=2．
∴若存在不同于点P的定点Q满足条件，则Q点坐标只能是（0，2）．
下面证明：对任意直线l，均有．
当直线l的斜率不存在时，由上可知，结论成立．
当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y=kx+1，
A、B的坐标分别为A（x1，y1）、B（x2，y2），
联立，消去y并整理得：（1+2k2）x2+4kx﹣2=0，
∵△=（4k）2+8（1+2k2）＞0，
∴x1+x2=﹣，x1x2=﹣，
∴+==2k，
已知点B关于y轴对称的点B′的坐标为（﹣x2，y2），
又k AQ===k﹣，k QB′===﹣k+=k﹣，
∴k AQ=k QB′，即Q、A、B′三点共线，
∴===．
故存在与点P不同的定点Q（0，2），使得恒成立．
21、解：（Ⅰ）由已知，函数f（x）的定义域为（0，+∞），
g（x）=，
∴．
当0＜a＜时，g（x）在上单调递增，在区间上单调递减；
当a时，g（x）在（0，+∞）上单调递增．
（Ⅱ）由=0，解得，
令φ（x）
=x2，则φ（1）=1＞0，φ（e）=．
故存在x0∈（1，e），使得φ（x0）=0．
令，u（x）=x﹣1﹣lnx（x≥1），
由知，函数u（x）在（1，+∞）上单调递增．
∴．
即a0∈（0，1），
当a=a0时，有f′（x0）=0，f（x0）=φ（x0）=0．
由（Ⅰ）知，f′（x）在（1，+∞）上单调递增，
故当x∈（1，x0）时，f′（x）＜0，从而f（x）＞f（x0）=0；
当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0，从而f（x）＞f（x0）=0．
∴当x∈（1，+∞）时，f（x）≥0．
综上所述，存在a∈（0，1），使得f（x）≥0在区间（1，+∞）内恒成立，且f（x）=0在区间（1，+∞）内有唯一解．。