2020届高考数学(理)二轮专题复习： 专题六 解析几何 1-6-3 Word版含答案.doc
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限时规范训练十七 圆锥曲线的综合问题
限时45分钟，实际用时
分值80分，实际得分
解答题(本题共5小题，每小题12分，共60分)
1．(2017·高考全国卷Ⅱ)设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 2
2＋y 2
＝1上，过M 作x 轴的
垂线，垂足为N ，点P 满足NP →＝2NM →
.
(1)求点P 的轨迹方程；
(2)设点Q 在直线x ＝－3上，且OP →·PQ →
＝1，证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .
解：(1)设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，
则N (x 0,0)，NP →＝(x －x 0，y )，NM →
＝(0，y 0)． 由NP →＝2NM →
得x 0＝x ，y 0＝22y .
因为M (x 0，y 0)在C 上，所以x 22＋y 2
2＝1.
因此点P 的轨迹方程为x 2
＋y 2
＝2.
(2)由题意知F (－1,0)．设Q ＝(－3，t )，P (m ，n )，
则OQ →＝(－3，t )，PF →＝(－1－m ，－n )，OQ →·PF →＝3＋3m －tn ，OP →＝(m ，n )，PQ →
＝(－3－m ，t －n )．
由OP →·PQ →＝1得－3m －m 2＋tn －n 2
＝1， 又由(1)知m 2
＋n 2
＝2，故3＋3m －tn ＝0. 所以OQ →·PF →＝0，即OQ →⊥PF →.
又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .
2．(2017·黑龙江哈尔滨模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦点分别为F 1(－3，0)，
F 2(3，0)，点P 在椭圆C 上，满足|PF 1|＝7|PF 2|，tan∠F 1PF 2＝4 3.
(1)求椭圆C 的方程．
(2)已知点A (1,0)，试探究是否存在直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 交于D ，E 两点，且使得|AD |＝|AE |？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由．
解：(1)由|PF 1|＝7|PF 2|，PF 1＋PF 2＝2a 得PF 1＝7a 4，PF 2＝a 4，由cos 2
∠F 1PF 2＝11＋tan 2
∠F 1PF 2
＝
11＋3
2
＝149，又由余弦定理得cos∠F 1PF 2＝17＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 42
＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 42
－23
2
2×7a 4×
a 4
，所以a ＝2，
故所求C 的方程为x 2
4
＋y 2
＝1.
(2)假设存在直线l 满足题设，设D (x 1，y 1)，E (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋m 代入x 2
4＋y 2
＝1并整理
得(1＋4k 2
)x 2
＋8kmx ＋4m 2
－4＝0，由Δ＝64k 2m 2
－4(1＋4k 2
)(4m 2
－4)＝－16(m 2
－4k 2
－1)＞0，得4k 2
＋1＞m 2①，又x 1＋x 2＝－
8km 1＋4k 2设D ，E 中点为M (x 0，y 0)，M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－
4km 1＋4k 2，m 1＋4k 2，k AM ·k ＝－1，
得m ＝－1＋4k 2
3k ②，将②代入①得4k 2
＋1＞⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4k 23k 2
，化简得20k 4＋k 2－1＞0⇒(4k 2＋1)(5k 2－1)＞0，解得k ＞
55或k ＜－5
5
，所以存在直线l ，使得|AD |＝|AE |，此时k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－55∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫
55，＋∞.
3．(2017·广州五校联考)已知双曲线M ：y 2a 2－x 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的上焦点为F ，上顶点为A ，
B 为虚轴的端点，离心率e ＝
233，且S △ABF ＝1－3
2
.抛物线N 的顶点在坐标原点，焦点为F . (1)求双曲线M 和抛物线N 的方程．
(2)设动直线l 与抛物线N 相切于点P ，与抛物线的准线相交于点Q ，则以PQ 为直径的圆是否恒过y 轴上的一个定点？如果经过，试求出该点的坐标，如要不经过，试说明理由．
解：(1)在双曲线M 中，c ＝a 2
＋b 2
，由e ＝233，得a 2
＋b 2
a ＝23
3
，
解得a ＝3b ，故c ＝2b .
所以S △ABF ＝12(c －a )×b ＝12(2b －3b )×b ＝1－3
2，
解得b ＝1. 所以a ＝3，c ＝2.
所以双曲线M 的方程为y 2
3－x 2
＝1，其上焦点为F (0,2)，
所以抛物线N 的方程为x 2
＝8y .
(2)由(1)知y ＝18x 2，故y ′＝1
4x ，抛物线的准线方程为y ＝－2.设P (x 0，y 0)，则x 0≠0，且直
线l 的方程为