因式分解之十字相乘法

因式分解之十字相乘法
利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法。

（1）二次项系数为1的十字相乘法：
如果二次三项式2++x px q 中的常数项q 能分解成两个因式a 、b 的积，且一次项系数p 恰好是
+a b ，那么2++x px q 可以进行如下分解因式，即()()()22++=+++=++x px q x a b x ab x a x b ，用十字
交叉线来表示：x
+a
x +b
【要点诠释】
①在对2
x bx c ++分解因式时，要先从常数项c 的正、负入手，若0c >，则p q 、同号（若0c <，
则p q 、异号），然后依据一次项系数b 的正负再确定p q 、的符号；
②若2
x bx c ++中的b c 、为整数时，要先将c 分解成两个整数的积（要考虑到分解的各种可能），然
后看这两个整数之和能否等于b ，直到凑对为止。

（2）二次项系数不为1的十字相乘法：
在二次三项式2
ax bx c ++（a ≠0）中，如果二次项系数a 可以分解成两个因数之积，即12a a a =，
常数项c 可以分解成两个因数之积，即12c c c =，把1212a a c c ，，，排列如下：
按斜线交叉相乘、再相加，得到1221a c a c +，若它正好等于二次三项式2
ax bx c ++的一次项系
数b ，即1221a c a c b +=，那么二次三项式就可以分解为两个因式11a x c +与22a x c +之积，即
()()21122ax bx c a x c a x c ++=++.
【要点诠释】
①分解思路为“看两端，凑中间”；
②二次项系数a 一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上。

基础强化练习
【例1】因式分解：（1）21124x x ++=；（2）21024x x ++=；（3）2224x x --=；（4）2524x x +-=；（5）22524x x ++=；（6）21424x x ++=；（7）21024x x +-=；（8）22324x x --=
.
【例2】将下列各式因式分解：（1）2109
x x ++（2）22
12x xy y --（3）2310
x x --（4）2243n mn m --（5）22712x y xy -+（6）2412
n n x x --（7）2(2)6(2)27
x y x y +++-（8）42536
x x --（9）()()2
22812
a a a a +-++（8）22
483m mn n ++（9）22627x y xy +-（10）2215
x x --
（11）22443(2)2m mn n m n -+--+（12）632827
x x -+（13）()()2222
483482x x x x x x x ++++++（14）20
322--x x （15）222064xy y x -++（16）256
x x -++（17）22(1)7(1)3x x ++++（18）22()5()3
x y x y -+--（19）()()42
1336
a b a b +-++（20）()()2
1623122
x y x y +-+-（21）2222(6)4(6)5x x x x ----（22）(1)(2)(3)(6)20
x x x x +---+（23）22(1)(2)12x x x x ++++-（24）22(6)(8)24
x x x x +-+--（25）()()2243123515
x x x x +++++
【例3】用十字相乘法解方程：（1）22730
x x -+=（2）26750
x x --=（3）22530
x x --=（4）221570x x ++=（5）23840a a -+=（6）25760
x x +-=
（7）2611100y y --=（8）2250x -+=（9）2252
x x -=-【例4】已知二次三项式218x ax +-能在有理数范围内分解因式，求整数a 的可能值，并分解因式。

【例5】分解因式：
（1）22815243
x xy y x y -++--（2）222
311642x xy y xz yz z -+---
【例6】已知a、b、c 为三角形的三条边，且222433720a ac c ab bc b ++--+=，求证：2b a c
=+课后练习
1.将2
1016a a ++因式分解，结果是（
）
A.()()28a a -+
B.()()
28a a +- C.()()
28a a ++ D.()()
28a a --2.下列因式分解正确的是（）
A．x 2
﹣7x+12=x（x﹣7）+12B．x 2
﹣7x+12=（x﹣3）（x+4）C．x 2﹣7x+12=（x﹣3）（x﹣4）
D．x 2
﹣7x+12=（x+3）（x+4）
3.如果()()2x px q x a x b -+=++，那么p 等于（）A.ab
B.a b
+ C.ab
- D.a b --4.若()()236123x kx x x +-=-+，则k 的值为（）A.－9 B.15
C.－15
D.9
5.如果，则b 为（）A．5
B．－6C．－5
D．6
6．把222
2a b c bc --+进行分组，其结果正确的是（
）
A.222()(2)a c b bc ---
B.222()2a b c bc --+
C.222()(2)
a b c bc --- D.222(2)
a b bc c --+7.若()()21336m m m a m b -+=++，则a b -=
.
8.因式分解：22
a b ac bc -++=
．9．因式分解：4a 2
+4a﹣15=
．
10.因式分解：ax bx cx ay by cy +++++=.
11.因式分解：()2064x x -+=
.12.因式分解：32
1a a a +--=
.
13.若多项式236x px ++可以分解成两个一次因式()()x a x b ++的积，其中a 、b 均为整数，请你至少写出2个p 的值。

14.因式分解：2x 2+x﹣3．
15.因式分解：
（1）2
68
x x -+（2）2
1024
x x +-（3）2
15238
a a -+（4）22568x xy y -++（5）22
5533a b a b
--+。