牛顿-莱布尼茨公式

所以
3 2 x ， 0 x 1， 2 ( x) 1 (2 x ) 2 3 ，1 x 2 ． 2

例 汽车以 36 km/h 的速度直行，到某处需要减速 停车．设汽车以等加速度 a 5 m/ s2 刹车， 问从开始 刹车到停车，汽车驶过了多少距离？ 解 设位置函数为 s(t ) ，速度函数为 v (t ) ， 并设开
( x) f ( x) d x 0
f ( x) d x f ( x) d x
3x d x (2 x ) d x
0 1 0 1 1 x
x
0 1
y
x
f ( x)
1 (2 x ) 2 3 ． 2
O
1x 2
x
( x)

x 0Байду номын сангаас
(2 x ) d x
y
( x) f ( x) d x 0
在 [0, 2] 上的表达式． 解 当 0 x 1时，
x 0
x
f ( x)
( x)
3 2 f ( x ) d x 3x d x x ； 0 2
x
O
x 1
2
x
当 1 x 2 时，
3 x ， 0 x 1， f ( x) 2 x ， 1 x 2 ．
F ( x) ， 则
b a

f ( x ) d x F ( x ) a F ( b) F ( a ) ．
b
牛顿-莱布尼茨公式 简单应用
例 求 x2 d x ．
0
1
解
3 x 因为函数 x 2 的原函数为 ，所以 3
1 1 3 x ． 0 x d x 3 0 3
a
数，所以
F ( x ) ( x ) C0 ( a x b) ，
于是
F ( b) F ( a ) ( b) ( a ) f ( x) d x f ( x) d x
a a b a
( x) f ( x) d x
a
x
F ( x ) ( x ) C0
2

小结 1．牛顿-莱布尼茨公式； 2．牛顿-莱布尼茨公式简单应用．
f ( x) d x ，
a
b
即定理成立．

牛顿-莱布尼茨公式提供了计算定积分的一个重要 方法， 同时还建立了定积分与原函数之间的关系． 因此，也被称为微积分基本公式． 微积分基本公式还常写成

b a
f ( x ) d x F ( x ) a ．
b
设 f ( x ) 在 [a , b] 上可积，并且在 [a , b] 上存在原函数

例 求 sin x d x ．
0

y

y sin x
解


0
sin x d x cos x 0
O
2
π
x
1 ( 1) 2 ．

2 0
sin x d x 1

3 x ， 0 x 1， 例 设 f ( x) 2 x ， 1 x 2 ， 求积分上限函数
v (0) 36 km/ h 10 m/ s ． s(t ) v (t ) ，v(t ) a 5 ，
v (t ) v (0) 5d t [ 5t ] t0 5t ，
0 t
始刹车时的时刻为 t 0 ，则 注意到， 因此
即
v(0) 10 m/ s v(t ) v (0) 5t
v (t ) 10 5t ． v (t ) 10 5t 0 ，
故，从开始刹车到停车所需时间 t 满足 解得 t 2 ．于是，所求距离为
5 2 10t t 10 ． 0 v(t ) d t 0 (10 5t ) d t 2 0
2 2
1 2
1
牛顿-莱布尼茨公式

例 解
1 求 dx． 2 1 1 x 1 因为函数 的原函数为 arctan x ，所以 2 1 x
3

3
1
1 7 3 d x arctan x 1 ． 2 1 x 3 4 12
牛顿-莱布尼茨公式
牛顿-莱布尼茨公式
牛顿-莱布尼茨公式
定理
如果函数 f C[a, b] ， 函数 F ( x ) 是 f ( x ) 在
[a , b] 上的一个原函数， 则

b a
f ( x ) d x F ( b) F ( a ) ．
x
这就是牛顿-莱布尼茨公式． 证 因为 F ( x ) 与 ( x ) f ( x ) d x都是 f ( x ) 的原函