湖南长沙2024年新高一入学分班考数学模拟练习及答案

高一入学暨分班检测模拟试卷
数学
一､选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1.1. 已知 aa 是 √13 的小数部分,则 aa (aa +6) 的值为
A. √13
B. 4
C. 4−√13
D. 3√13−6
2. 如果一个多边形的内角和是它外角和的 4 倍, 那么这个多边形的边数为
A. 6
B. 8
C. 9
D. 10
3.已知点()3,2P a a −−在第二象限，则a 的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4.如果外切的两圆1O 和2O 的半径分别为2和4，则半径为6，且与1O 和2O 都相切的圆有（ ）
A.4个
B.5个
C.6个
D.7个 5.122022,,x x x …是2022个由1和1−组成的数，122022.202x x x ++…+=，则
()()
()22212202211.1x x x −+−+…+−=（ ） A.2021 B.4042 C.3640 D.4842 6.某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案（即点单完成后，开始倒转“沙漏”，“沙漏”漏完前，客人所点菜需全部上桌，否则该桌免费用餐）.“沙漏"是由一个圆锥体和一个圆柱体相通连接而成.某次计时前如图（1）所示，已知圆锥体底面半径是6cm ，高是6cm ；圆柱体底面半径是3cm ，液体高是7cm .计时结束后如图（2）所示，求此时“沙漏"中液体的高度为（ ）
的
A.2cm
B.3cm
C.4cm
D.5cm
7.如果不等式组�4xx −aa ≥03xx −bb <0 的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数a 、b 的组合情况(aa ,bb )共有（ ）种．
A ．12
B ．7
C ．9
D ．16
8.定义：平面直角坐标系中，点(),P x y 的横坐标x 的绝对值表示为x ，纵坐标y 的绝对值表示为y ，我们把点(),P x y 的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点(,)P x y 的折线距离，记为M x y =+（其中的“+”是四则运算中的加法）.若拋物线21y ax bx ++与直线y x =只有一个交点M ，已知点M 在第一象限，且24M ≤≤，令2242022t b a =−+，则t 的取值范围为（ ）
A.20182019t ≤≤
B.20192020t ≤≤
C.20202021t ≤≤
D.20212022t ≤≤
二､填空题：本题共44分，共16分.
9. 设点 PP (xx ,yy ) 在第二象限内,且 |xx |=3,|yy |=2 ,则点 PP 关于原点的对称点为___.
10.若关于 xx 的分式方程 xx xx−2+2mm 2−xx =2mm 无解,则m 的值为___________. 11.正比例函数12y x =−与反比例函数2k y x
=的图像相交于A B ､两点，已知点A 的横坐标为1，当12y y >时，x 的取值范围是___________.
12.如图，ABC 中，
10,8,6AB BC AC ===，点P 在线段AC 上，以P 为圆心，PA 长为半径的圆与边AB 相交于另一点D ，点Q 在直线BC 上，且DQ 是P 的切线，则PQ 的最小值为___________.
三､解答题：本题共4小题，共52分.应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
13.如图，在同一坐标系中，直线1:1l y x =
−+交x 轴于点P ，直线2:3l y ax =−过点P .
（1）求a 的值；
（2）点M N ､分别在直线12,l l 上，且关于原点对称，说明：点(),A x y 关于原点对称的点A ′的坐标为(),x y −−，求点M N ､的坐标和PMN 的面积.
14.如图，在△ABC 中，D 在边AC 上，圆O 为锐角△BCD 的外接圆，连结CO 并延长交AB 于点E ．
（1）若∠DBC ＝α，请用含α的代数式表示∠DCE ；
（2）如图2，作BF ⊥AC ，垂足为F ，BF 与CE 交于点G ，已知∠ABD ＝∠CBF ．
①求证：EB ＝EG ；
②若CE ＝5，AC ＝8，求FG +FB 的值．
15.）如图，将两个全等的直角三角形△ABD 、△ACE 拼在一起（图1），△ABD 不动．
（1）若将△ACE 绕点A 逆时针旋转，连接DE ，M 是DE 的中点，连接MB 、MC （图2），证明：MB ＝MC ．
（2）若将图1中的CE 向上平移，∠CAE 不变，连接DE ，M 是DE 的中点，连接MB 、MC （图3），判断并直接写出MB 、MC 的数量关系．
（3）在（2）中，若∠CAE 的大小改变（图4），其他条件不变，则（2）中的MB 、MC 的数量关系还成立吗？说明理由．
16.在平面直角坐标系中，抛物线2:22(0)l y x mx m m −−−>与x 轴分别相交于A B ､两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，设抛物线l 的对称轴与x 轴相交于点N ，且3OC ON =.
（1）求m 的值；
（2）将抛物线l 向上平移3个单位，得到抛物线l ′，设点P Q ､是抛物线l ′上在第一象限内不同的两点，
射线PO QO ､分别交直线2y =−于点P Q ′′､，设P Q ′′､的横坐标分别为P Q x x ′′､，且4P Q x x ′′⋅=
，求证：直线PQ 经过定点.
常考答案
一､选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1. 【答案】：B
2 【答案】D.
3. 【答案】C
4. 【答案】B
5 【答案】C
6. 【答案】B
7 【答案】A ．
8. 【答案】C
二､填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分.
9.
【答案】(3,-2)
10.
【答案】m 的值为1或1/2
11.
【答案】{1x x <−或}01x <<
12.
【答案】4.8
三､解答题：本题共4小题，共52分.应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
13.
【答案】（1）3
（2）1313,,,2222M N −
− ，32PMN S = 【解析】 【分析】（1）由直线1l 求出点P 的坐标，再将点P 的坐标代入2l 方程中可求出a 的值；
（2）由题意设(),1M x x −+ ，则(),1N x x −−，再将点N 的坐标代入直线2l 中可求出x ，从而可求得,M N 两点的坐标，进而可求出PMN 的面积.
【小问1详解】
对于直线1:1l y x =
−+，当0y =时，1x =， 所以()1,0P
因为直线2:3l y ax =
−过点()1,0P ， 所以03a =−，得3a =，
【小问2详解】
由3a =得，2:33l y x =
− 设(),1M x x −+ ，则(),1N x x −−.
又(),1N x x −−在2:33l y x =
−上， 所以133x x −=−−，解得12
x =−， 则1313,,,2222M N −−
所以1313322222PMN
S OP OP =⋅+⋅= . 14.
【答案】【分析】（1）根据圆周角定理即可解决问题；
（2）①结合（1）利用三角形内角和定理即可解决问题；
②作EM ⊥BE ，EN ⊥AC ，证明四边形EMFN 为矩形，再根据线段的和差即可解决问题．
【解答】（1）解：如图，连结OD ，
∵∠DOC ＝2∠DBC ＝2α，
又∵OD ＝OC ，
∴∠DCE＝90°﹣α；
（2）①证明：∵∠ABD＝∠CBF，
∴∠EBG＝∠ABD+∠DBF＝∠CBF+∠DBF＝∠DBC，
设∠DBC＝α，
由（1）得：∠DCE＝90°﹣α，
∵BF⊥AC，
∴∠FGC＝∠BGE＝α，
∴∠EBG＝∠EGB，
∴EB＝EG；
②解：如图，作EM⊥BE，EN⊥AC，
由①得：∠EBG＝α，∠ACE＝90°﹣α，
∵BF⊥AC
∴∠A＝90°﹣α，
∴AE＝CE＝5，
∵EN⊥AC，AC＝8，
∴CN＝4，
∴EN＝3，
∵EM⊥BF，NF⊥BF，EN⊥AC，
∴四边形EMFN为矩形，
∴EN＝MF＝3，
∵EB＝EG，EM⊥BG，
∴BM＝GM，
∴FG+FB＝FM﹣MG+FM+BM＝2FM＝6．
15.
【分析】（1）连接AM，根据全等三角形的对应边相等可得AD＝AE，AB＝AC，全等三角形对应角相等可得∠BAD＝∠CAE，再根据等腰三角形三线合一的性质得到∠MAD＝∠MAE，然后利用“边角边”证明△ABM和△ACM全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；
（2）延长DB、AE相交于E′，延长EC交AD于F，根据等腰三角形三线合一的性质得到BD＝BE′，然后求出MB∥AE′，再根据两直线平行，内错角相等求出∠MBC＝∠CAE，同理求出MC∥AD，根据
两直线平行，同位角相等求出∠BCM ＝∠BAD ，然后求出∠MBC ＝∠BCM ，再根据等角对等边即可得证；
（3）延长BM 交CE 于F ，根据两直线平行，内错角相等可得∠MDB ＝∠MEF ，∠MBD ＝∠MFE ，然后利用“角角边”证明△MDB 和△MEF 全等，根据全等三角形对应边相等可得MB ＝MF ，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明即可．
【解答】证明：（1）如图2，连接AM ，由已知得△ABD ≌△ACE ，
∴AD ＝AE ，AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAE ，
∵MD ＝ME ，
∴∠MAD ＝∠MAE ，
∴∠MAD ﹣∠BAD ＝∠MAE ﹣∠CAE ，
即∠BAM ＝∠CAM ，
在△ABM 和△ACM 中，�AAAA =AAAA ∠AAAABB =∠AAAABB AABB =AABB ，
∴△ABM ≌△ACM （SAS ），
∴MB ＝MC ；
（2）MB ＝MC ．
理由如下：如图3，延长DB 、AE 相交于E ′，延长EC 交AD 于F ，
∴BD ＝BE ′，CE ＝CF ，
∵M 是ED 的中点，B 是DE ′的中点，
∴MB ∥AE ′，
∴∠MBC ＝∠CAE ，
同理：MC ∥AD ，
∴∠BCM ＝∠BAD ，
∵∠BAD ＝∠CAE ，
∴∠MBC ＝∠BCM ，
∴MB ＝MC ；
解法二：如图3中，延长CM 交BD 于点T ．
∵EC ∥DT ，
∴∠CEM ＝∠TDM ，
在△ECM 和△DTM 中，
�∠AACCBB =∠TTTTBB CCBB =TTBB ∠CCBBAA =∠TTBBTT ， ∴△ECM ≌△DTM （ASA ），
∴CM ＝MT ，
∵∠CBT ＝90°，
∴BM ＝CM ＝MT ．
（3）MB ＝MC 还成立．
如图4，延长BM 交CE 于F ，
∵CE ∥BD ，
∴∠MDB ＝∠MEF ，∠MBD ＝∠MFE ， 又∵M 是DE 的中点，
∴MD ＝ME ，
在△MDB 和△MEF 中，
�∠BBTTAA =∠BBCCMM ∠BBAATT =∠BBMMCC BBTT =BBCC
，
∴△MDB ≌△MEF （AAS ），
∴MB ＝MF ，
∵∠ACE ＝90°，
∴∠BCF ＝90°，
∴MB ＝MC ．
16.
【答案】（1）1m =；
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由顶点式求得对称轴，由0x =处函数值求得C 点坐标，根据3OC ON =列方程求解即
可；
（2）设点,P Q ，结合原点可得直线PO QO ､的解析式，再由2y =−可得点Q P ′′､横坐标，由4P Q x x ′′⋅=
可得()1212230x x x x −++=
；设直线PQ 的解析式为y mx n =+，与l ′联立之后可得122x x m +=+，12x x n =−，代入()1212230x x x x −++=求得21n m =−−，继而求出答案
【小问1详解】
解：依题意得：22()2y x m m m =−−−−， ∴抛物线的对称轴为直线x m =，
ON m m ∴==，
在222y x mx m −−−中，令0x =，则2y m =
−−， ()0,2C m ∴−−，22OC m m ∴=−−=+， 3OC ON = ，23m m ∴+=，解得1m =；
【小问2详解】
将1m =代入抛物线l 得223y x x =−−， 如图，将抛物线l 向上平移3个单位后得到拋物线2:2l y x x ′=−， 点P Q ､是拋物线l ′上在第一象限内不同的两点，
∴设点()()
22111222,2,,2P x x x Q x x x −−， 由()()
22111222,2,,2P x x x Q x x x −−分别可求得：()()122,2OP OQ y x x y x x =−=− 点P Q ′′､在直线2y =−上，
∴点1222,2,,222P Q x x −−−−′′ −−
， 4p Q x x ′′⋅=
1222422
x x −−∴⋅=−−，即()()12221x x −−=， 整理得()1212230x x x x −++=
， 设直线PQ 的解析式为y mx n =
+，与l ′联立得： 222,2,y x x x x mx n y mx n =−−=+ =
+ ， 整理得()2
20x m x n −+−=， 由根与系数的关系可得：12122,x x m x x n +=
+=−， ()1212230x x x x −++= ，()2230n m ∴−−++=， 21n m ∴=−−，
∴直线PQ 的解析式为()21,21y mx m y m x =−−=−−， ∴当2x =时，1y =−，
∴直线PQ 经过定点()2,1−。