2020年四川省凉山州中考数学试卷(附答案详解)

2020年四川省凉山州中考数学试卷
1.(2021·湖南省·单元测试)−12020=()
A. 1
B. −1
C. 2020
D. −2020
2.(2021·湖南省岳阳市·模拟题)如图，下列几何体的左视图不是矩形的是()
A. B. C. D.
3.(2020·湖北省黄石市·期中考试)点P(2,3)关于x轴对称的点P′的坐标是()
A. (2,−3)
B. (−2,3)
C. (−2,−3)
D. (3,2)
4.(2021·广西壮族自治区·入学测验)已知一组数据1，0，3，−1，x，2，3的平均数是
1，则这组数据的众数是()
A. −1
B. 3
C. −1和3
D. 1和3
5.(2011·江西省宜春市·模拟题)一元二次方程x2=2x的根为()
A. x=0
B. x=2
C. x=0或x=2
D. x=0或x=−2
6.(2020·河北省石家庄市·单元测试)下列等式成立的是()
A. √81=±9
B. |√5−2|=−√5+2
C. (−1
2
)−1=−2 D. (tan45°−1)0=1
7.(2021·安徽省·单元测试)若一次函数y=(2m+1)x+m−3的图象不经过第二象限，
则m的取值范围是()
A. m>−1
2B. m<3 C. −1
2
<m<3 D. −1
2
<m≤3
8.(2021·安徽省安庆市·期末考试)点C是线段AB的中点，点D是线段AC的三等分
点．若线段AB=12cm，则线段BD的长为()
A. 10cm
B. 8cm
C. 10cm或8cm
D. 2cm或4cm
9.(2021·宁夏回族自治区银川市·模拟题)下列命题是真命题的是()
A. 顶点在圆上的角叫圆周角
B. 三点确定一个圆
C. 圆的切线垂直于半径
D. 三角形的内心到三角形三边的距离相等
10.(2021·广东省·单元测试)如图所示，△ABC的顶点在正方形网
格的格点上，则tan A的值为()
A. 1
2
B. √2
2
C. 2
D. 2√2
11.(2021·山东省临沂市·期末考试)如图，等边三角形ABC和
正方形ADEF都内接于⊙O，则AD：AB=()
A. 2√2：√3
B. √2：√3
C. √3：√2
D. √3：2√2
12.(2021·广西壮族自治区·其他类型)二次函数y=ax2+
bx+c的图象如图所示，有如下结论：
①abc>0；
②2a+b=0；
③3b−2c<0；
④am2+bm≥a+b(m为实数)．
其中正确结论的个数是()
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
13.(2021·广东省·其他类型)函数y=√x+1中，自变量x的取值范围是______．
14.(2021·广东省·其他类型)因式分解：a3−ab2=______．
15.(2020·山东省青岛市·单元测试)如图，▱ABCD的对角
线AC、BD相交于点O，OE//AB交AD于点E，若
OA=1，△AOE的周长等于5，则▱ABCD的周长等
于______．
16.(2021·广东省·其他类型)如图，点C、D分别是半圆AOB
上的三等分点，若阴影部分的面积是3
2
π，则半圆的半
径OA的长为______．
17.(2021·云南省·单元测试)如图，矩形OABC的面积为100
3
，对角线OB与双曲线y=
k
x
(k>0,x>0)相交于点D，且OB：OD=5：3，则k的值为______．
18.(2021·全国·单元测试)解方程：x−x−2
2=1+2x−1
3
．
19.(2021·广西壮族自治区河池市·模拟题)化简求值：(2x+3)(2x−3)−(x+2)2+
4(x+3)，其中x=√2．
20.(2021·湖南省张家界市·期末考试)如图，一块材料
的形状是锐角三角形ABC，边BC=120mm，高
AD=80mm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？
21.(2021·重庆市市辖区·期末考试)某校团委在“五⋅四”青年节举办了一次“我的中国
梦”作文大赛，分三批对全校20个班的作品进行评比．在第一批评比中，随机抽取A、B、C、D四个班的征集作品，对其数量进行统计后，绘制如图两幅不完整的统计图．
(1)第一批所抽取的4个班共征集到作品______件；在扇形统计图中表示C班的扇
形的圆心角的度数为______；
(2)补全条形统计图；
(3)第一批评比中，A班D班各有一件、B班C班各有两件作品获得一等奖．现要
在获得一等奖的作品中随机抽取两件在全校展出，用树状图或列表法求抽取的作品来自两个不同班级的概率．
22. (2021·山东省临沂市·期末考试)如图，AB 是半圆AOB
的直径，C 是半圆上的一点，AD 平分∠BAC 交半圆于点
D ，过点D 作DH ⊥AC 与AC 的延长线交于点H ．
(1)求证：DH 是半圆的切线；
(2)若DH =2√5，sin∠BAC =√53
，求半圆的直径．
23. (2020·江苏省·单元测试)若不等式组{2x <3(x −3)+13x+24
>x +a 恰有四个整数解，则a 的取值范围是______．
24. (2020·四川省凉山彝族自治州·历年真题)如图，矩形
ABCD 中，AD =12，AB =8，E 是AB 上一点，且EB =3，
F 是BC 上一动点，若将△EBF 沿EF 对折后，点B 落在
点P 处，则点P 到点D 的最短距离为______．
25. (2021·全国·单元测试)如图，点P 、Q 分别是等边△ABC 边AB 、BC 上的动点(端点
除外)，点P 、点Q 以相同的速度，同时从点A 、点B 出发．
(1)如图1，连接AQ 、CP.求证：△ABQ≌△CAP ；
(2)如图1，当点P 、Q 分别在AB 、BC 边上运动时，AQ 、CP 相交于点M ，∠QMC 的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数；
(3)如图2，当点P 、Q 在AB 、BC 的延长线上运动时，直线AQ 、
CP 相交于M ，∠QMC 的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．
26.(2020·四川省凉山彝族自治州·历年真题)如图，已知直
线l：y=−x+5．
(k>0,x>0)的图象与直线l在
(1)当反比例函数y=k
x
第一象限内至少有一个交点时，求k的取值范围．
(k>0,x>0)的图象与直线l在第一象限内相交于点
(2)若反比例函数y=k
x
A(x1,y1)、B(x2,y2)，当x2−x1=3时，求k的值，并根据图象写出此时关于x的不等式−x+5<k
的解集．
x
27.(2020·四川省凉山彝族自治州·历年真题)如图，⊙O的半径为R，其内接锐角三角形
ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c．
(1)求证：a
sin∠A =b
sin∠B
=c
sin∠C
=2R；
(2)若∠A=60°，∠C=45°，BC=4√3，利用(1)的结论求AB
的长和sin∠B的值．
28.(2020·四川省凉山彝族自治州·历年真题)如图，二次函数
y=ax2+bx+x的图象过O(0,0)、A(1,0)、B(3
2,√3
2
)三点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)若线段OB的垂直平分线与y轴交于点C，与二次函数
的图象在x轴上方的部分相交于点D，求直线CD的解析
式；
(3)在直线CD下方的二次函数的图象上有一动点P，过点P作PQ⊥x轴，交直线CD于Q，当线段PQ的长最大时，求点P的坐标．
答案和解析
1.【答案】B
【知识点】有理数的乘方
【解析】
【分析】
此题考查了有理数的乘方运算，熟练掌握有理数的乘方运算的法则是解本题的关键．根据有理数的乘方运算，即可得出答案．
【解答】
解：−12020=−1．
故选：B．
2.【答案】B
【知识点】作图-三视图、简单几何体的三视图
【解析】解：A、圆柱的左视图是矩形，故本选项不符合题意；
B、三棱锥的左视图是三角形，故本选项符合题意；
C、三棱柱的左视图是矩形，故本选项不符合题意；
D、正方体的左视图是正方形，故本选项不符合题意．
故选：B．
根据左视图是从物体左面看所得到的图形，分别得出四个几何体的左视图，即可解答．本题主要考查简单几何体的三视图；考查了学生的空间想象能力，属于基础题．
3.【答案】A
【知识点】轴对称中的坐标变化
【解析】
【分析】
本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握：点P(x,y)关于x 轴的对称点P′的坐标是(x,−y)．
关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．据此即可得出答案．【解答】
解：点P(2,3)关于x轴对称的点P′的坐标是(2,−3)．
故选：A．
4.【答案】C
【知识点】算术平均数、众数
【解析】解：∵数据1，0，3，−1，x，2，3的平均数是1，
∴1+0+3−1+x+2+3=7×1，
解得x=−1，
则这组数据为1，0，3，−1，−1，2，3，
∴这组数据的众数为−1和3，
故选：C．
先根据算术平均数的定义列出关于x的方程，解之求出x的值，从而还原这组数据，再利用众数的概念求解可得．
本题主要考查众数和算术平均数，解题的关键是掌握算术平均数和众数的概念．
5.【答案】C
【知识点】解一元二次方程-因式分解法
【解析】解：∵x2=2x，
∴x2−2x=0，
则x(x−2)=0，
∴x=0或x−2=0，
解得x1=0，x2=2，
故选：C．
移项后利用因式分解法求解可得．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
6.【答案】C
【知识点】特殊角的三角函数值、负整数指数幂、零指数幂、实数的运算
【解析】【试题解析】
解：A．√81=9，此选项计算错误；
B.|√5−2|=√5−2，此选项错误；
)−1=−2，此选项正确；
C.(−1
2
D .(tan45°−1)0无意义，此选项错误；
故选：C ．
根据算术平方根的定义、绝对值的性质、负整数指数幂和零指数幂的规定逐一判断即可得．
本题主要考查实数的运算，解题的关键是掌握算术平方根的定义、绝对值的性质、负整数指数幂和零指数幂的规定．
7.【答案】D
【知识点】一次函数图象与系数的关系、一元一次不等式组的解法
【解析】
【分析】
本题考查了一次函数图象与系数的关系以及一元一次不等式组的解法．
根据题意得到关于m 的不等式组，然后解不等式组即可．
【解答】
解：根据题意得{2m +1>0m −3≤0
， 解得−12<m ≤3．
故选：D ． 8.【答案】C
【知识点】分类讨论思想、线段的中点、线段的和差
【解析】
【分析】
本题考查了线段的和差，线段中点的定义，分类讨论思想的运用是解题的关键． 根据线段中点的定义和线段三等分点的定义即可得到结论．
【解答】
解：∵C 是线段AB 的中点，AB =12cm ，
∴AC =BC =12AB =12×12=6(cm)，
点D 是线段AC 的三等分点，
①当CD =23AC 时，如图，
BD=BC+CD=BC+2
3
AC=6+4=10(cm)；
②当CD′=1
3
AC时，如图，
BD′=BC+CD′=BC+1
3
AC=6+2=8(cm)．
所以线段BD的长为10cm或8cm，
故选：C．
9.【答案】D
【知识点】证明与定理、定义与命题、三角形的内切圆与内心
【解析】解：A、顶点在圆上且两边都与圆相交的角叫圆周角，原命题是假命题；
B、不在同一直线上的三点确定一个圆，原命题是假命题；
C、圆的切线垂直于过切点的半径，原命题是假命题；
D、三角形的内心到三角形三边的距离相等，是真命题；
故选：D．
根据圆周角定理、圆的条件、三角形内心以及切线的性质判断即可．
本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
10.【答案】A
【知识点】勾股定理、锐角三角函数的定义、解直角三角形
【解析】【试题解析】
解：如图，连接BD，由网格的特点可得，BD⊥AC，
AD=√22+22=2√2，BD=√12+12=√2，
∴tanA=BD
AD =√2
2√2
=1
2
，
故选：A．
根据网格构造直角三角形，由勾股定理可求AD、BD，再根据三角函数的意义可求出tan A 的值．
本题考查直角三角形的边角关系，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的前提，利用网格构造直角三角形是解决问题的关键．
11.【答案】B
【知识点】等腰直角三角形、正多边形与圆的关系、垂径定理、等边三角形的性质、正方形的性质
【解析】
【分析】
本题考查了正多边形和圆、垂径定理、等边三角形的性质、正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握垂径定理、等边三角形和正方形的性质是解题的关键．
AB，证出△AOD 连接OA、OB、OD，过O作OH⊥AB于H，由垂径定理得出AH=BH=1
2
AB，得出AD=√2OA，AH=是等腰直角三角形，∠AOH=∠BOH=60°，AH=BH=1
2
√3
OA，则AB=2AH=√3OA，进而得出答案．
2
【解答】
解：连接OA、OB、OD，过O作OH⊥AB于H，如图所示：
AB，
则AH=BH=1
2
∵正方形ADEF和等边三角形ABC都内接于⊙O，
∴∠AOB=120°，∠AOD=90°，
∵OA=OD=OB，
×120°=60°，
∴△AOD是等腰直角三角形，∠AOH=∠BOH=1
2
∴AD=√2OA，∠OAH=30°，
∴OH=1
OA，
2
∴AH=√OA2−OH2=√3
OA，
2
∴AB=2AH=2×√3
OA=√3OA，
2
∴AD
AB =√2OA
√3OA
=√2
√3
，
故选：B．
12.【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】解：①∵对称轴在y轴右侧，
∴a、b异号，
∴ab<0，
∵c<0
∴abc>0故①正确；
②∵对称轴x=−b
2a
=1，
∴2a+b=0；
故②正确；
③∵2a+b=0，
∴a=−1
2
b，
∵当x=−1时，y=a−b+c>0，
∴−1
2
b−b+c>0
∴3b−2c<0
故③正确；
④根据图象知，当x=1时，y有最小值；
当m为实数时，有am2+bm+c≥a+b+c，
所以am2+bm≥a+b(m为实数)．
故④正确．
本题正确的结论有：①②③④，4个；
故选：D．
由抛物线的对称轴的位置判断ab的符号，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴判定2a+b=0；当x=−1时，y=a−b+c；然后由图象顶点坐标确定am2+bm与a+b的大小关系．
本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数a决定抛物线的开口方向，当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；②一次项
系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左；当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右．(简称：左同右异)③常数项c 决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于(0,c)．
13.【答案】x≥−1
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】解：由题意得，x+1≥0，
解得x≥−1．
故答案为：x≥−1．
根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
14.【答案】a(a+b)(a−b)
【知识点】提公因式法与公式法的综合运用
【解析】
【分析】
本题是一道典型的中考题型的因式分解：先提取公因式，然后再应用一次公式．
观察原式a3−ab2，找到公因式a，提出公因式后发现a2−b2是平方差公式，利用平方差公式继续分解可得．
【解答】
解：a3−ab2=a(a2−b2)=a(a+b)(a−b)．
故答案为a(a+b)(a−b)．
15.【答案】16
【知识点】平行四边形的性质、三角形的中位线定理
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，OB=OD，
∵OE//AB，
∴OE是△ABD的中位线，
∴AB=2OE，AD=2AE，
∵△AOE的周长等于5，
∴OA+AE+OE=5，
∴AE+OE=5−OA=5−1=4，
∴AB+AD=2AE+2OE=8，
∴▱ABCD的周长=2×(AB+AD)=2×8=16；
故答案为：16．
由平行四边形的性质得AB=CD，AD=BC，OB=OD，证OE是△ABD的中位线，则AB=2OE，AD=2AE，求出AE+OE=4，则AB+AD=2AE+2OE=8，即可得出答案．
本题考查了平行四边形的性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质和三角形中位线定理是解题的关键．
16.【答案】3
【知识点】扇形面积的计算
【解析】
【分析】
本题考查扇形的面积，解题的关键是理解阴影部分的面积等于扇形OCD的面积．
连接OC、OD，利用同底等高的三角形面积相等可知阴影部分的面积等于扇形OCD的面积，列式计算就可．
【解答】
解：连接OC、OD、CD．
∵△COD和△CBD等底等高，
∴S△COD=S△BCD．
∵点C，D为半圆的三等分点，
∴∠COD=180°÷3=60°，
∴阴影部分的面积=S扇形COD，
π，
∵阴影部分的面积是3
2
∴60π⋅r2
360=3
2
π，
∴r=3，
故答案为3．
17.【答案】12
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征、矩形的性质、反比例函数系数k的几何意义、待定系数法求反比例函数解析式
【解析】解：设D的坐标是(3m,3n)，则B的坐标是(5m,5n)．
∵矩形OABC的面积为100
3
，
∴5m⋅5n=100
3
，
∴mn=4
3
．
把D的坐标代入函数解析式得：3n=k
3m
，
∴k=9mn=9×4
3
=12．
故答案为12．
设D的坐标是(3m,3n)，则B的坐标是(5m,5n)，根据矩形OABC的面积即可求得mn
的值，把D的坐标代入函数解析式y=k
x
即可求得k的值．
本题主要考查了待定系数法求函数的解析式，理解矩形的面积与反比例函数的解析式之间的关系是解决本题的关系．
18.【答案】解：x−x−2
2=1+2x−1
3
去分母，得：6x−3(x−2)=6+2(2x−1)，
去括号，得：6x−3x+6=6+4x−2，
移项，得：6x−3x−4x=6−6−2，
合并同类项，得：−x=−2，
系数化为1，得：x=2．
【知识点】一元一次方程的解法
【解析】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解答本题的关键．
根据解一元一次方程的步骤解答即可．
19.【答案】解：原式=4x2−9−(x2+4x+4)+4x+12
=4x2−9−x2−4x−4+4x+12
=3x2−1，
当x=√2时，
原式=3×(√2)2−1
=3×2−1
=6−1
=5．
【知识点】整式的混合运算、代数式求值
【解析】先利用平方差公式、完全平方公式、单项式乘多项式法则展开，再去括号、合并同类项即可化简原式，继而将x的值代入计算可得答案．
本题主要考查整式的混合运算−化简求值，解题的关键是掌握平方差公式、完全平方公式、单项式乘多项式法则、去括号法则、合并同类项法则．
20.【答案】解：∵四边形EGFH为正方形，
∴BC//EF，
∴△AEF∽△ABC；
设正方形零件的边长为x mm，则KD=EF=x，AK=
80−x，
∵EF//BC，
∴△AEF∽△ABC，
∵AD⊥BC，
∴EF
BC =AK
AD
，
∴x
120=80−x
80
，
解得：x=48．
答：正方形零件的边长为48mm．
【知识点】相似三角形的应用、正方形的性质
【解析】根据正方形的对边平行得到BC//EF，利用“平行于三角形的一边的直线截其它两边或其它两边的延长线，得到的三角形与原三角形相似”，设正方形零件的边长为x mm，则KD=EF=x，AK=80−x，根据相似三角形的性质得到比例式，解方程即
可得到结果．
本题考查了正方形的性质、相似三角形的应用，注意数形结合的运用是解题关键．21.【答案】24 150°
【知识点】扇形统计图、条形统计图、用列举法求概率(列表法与树状图法)
【解析】解：(1)第一批所抽取的4个班共征集到作品6÷25%=24(件)，
则C班级作品数为24−(4+6+4)=10(件)，
∴在扇形统计图中表示C班的扇形的圆心角的度数为360°×10
24
=150°，
故答案为：24、150°；
(2)补全图形如下：
(3)列表如下：
A B B C C D
A BA BA CA CA DA
B AB BB CB CB DB
B AB BB CB CB DB
C AC BC BC CC DC
C AC BC BC CC DC
D AD BD BD CD CD
由表可知，共有30种等可能结果，其中抽取的作品来自两个不同班级的有26种结果，
∴抽取的作品来自两个不同班级的概率为26
30=13
15
．
(1)根据第一批所抽取的B班级的作品数量及其所占百分比可得征集作品的总数量，再求出C班级作品数量，从而用360°乘以C班级作品数所占比例即可得出答案；
(2)根据以上所求结果即可补全条形图；
(3)列表得出所有等可能结果，从中找到抽取的作品来自两个不同班级的结果数，再利
用概率公式求解可得．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．
22.【答案】(1)证明：连接OD，
∵OA=OD，
∴∠DAO=∠ADO，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠OAD，
∴∠CAD=∠ADO，
∴AH//OD，
∵DH⊥AC，
∴OD⊥DH，
又∵OD是半径
∴DH是半圆的切线；
(2)解：连接BC交OD于E，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴四边形CEDH是矩形，
∴CE=DH=2√5，∠DEC=90°，
∴OD⊥BC，
∴BC=2CE=4√5，
∵sin∠BAC=BC
AB =√5
3
，
∴AB=12，则半圆的直径为12．
【知识点】解直角三角形、垂径定理、切线的判定与性质、圆周角定理、矩形的判定与性质
【解析】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，角平分线的定义，矩形的判定，垂径定理，作出辅助线构建直角三角形和矩形是解题的关键．
(1)连接OD，根据等腰三角形的性质得到∠DAO=∠ADO，根据角平分线的定义得到
∠CAD=∠OAD，等量代换得到∠CAD=∠ADO，求得AH//OD，根据平行线的性质得到OD⊥DH，于是得到结论；
(2)连接BC交OD于E，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，推出四边形CEDH是矩形，得到CE=DH=2√5，∠DEC=90°，根据三角函数的定义即可得到结论．
23.【答案】−11
4≤a<−5
2
【知识点】一元一次不等式组的整数解
【解析】解：解不等式2x<3(x−3)+1，得：x>8，
解不等式3x+2
4
>x+a，得：x<2−4a，
∵不等式组有4个整数解，
∴12<2−4a≤13，
解得：−11
4≤a<−5
2
，
故答案为：−11
4≤a<−5
2
．
分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组有4个整数解可得关于a的不等式组，解不等式组可得a的范围．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，根据不等式组有4个整数解得到关于a的不等式组是关键．
24.【答案】10
【知识点】翻折变换(折叠问题)、矩形的性质、勾股定理、三角形三边关系
【解析】
【分析】
先根据勾股定理计算ED的长，当E、P、D共线时，DP最小，即最短距离是此时PD 的长．
本题考查了矩形的性质，勾股定理，翻折变换的性质，利用数形结合的思想，根据图形确定点P到点D的最短距离解决问题．
【解答】
解：如图，连接PD，DE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，
∵AB=8，BE=3，
∴AE=5，
∵AD=12，
∴DE=√52+122=13，
由折叠得：EB=EP=3，
∵EP+DP≥ED，
∴当E、P、D共线时，DP最小，
∴DP=DE−EP=13−3=10；
故答案为：10．
25.【答案】解：(1)证明：如图1，∵△ABC是等边三角形
∴∠ABQ=∠CAP=60°，AB=CA，
又∵点P、Q运动速度相同，
∴AP=BQ，
在△ABQ与△CAP中，
{AB=CA
∠ABQ=∠CPA AP=BQ
，
∴△ABQ≌△CAP(SAS)；
(2)点P、Q在AB、BC边上运动的过程中，∠QMC不变．理由：∵△ABQ≌△CAP，
∴∠BAQ=∠ACP，
∵∠QMC是△ACM的外角，
∴∠QMC=∠ACP+∠MAC=∠BAQ+∠MAC=∠BAC
∵∠BAC=60°，
∴∠QMC=60°；
(3)如图2，点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC
上运动时，∠QMC不变
理由：同理可得，△ABQ≌△CAP，
∴∠BAQ=∠ACP，
∵∠QMC是△APM的外角，
∴∠QMC=∠BAQ+∠APM，
∴∠QMC=∠ACP+∠APM=180°−∠PAC=180°−60°=120°，
即若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，∠QMC的度数为120°．
【知识点】三角形综合
【解析】(1)根据等边三角形的性质，利用SAS证明△ABQ≌△CAP即可；
(2)先判定△ABQ≌△CAP，根据全等三角形的性质可得∠BAQ=∠ACP，从而得到
∠QMC=60°；
(3)先判定△ABQ≌△CAP，根据全等三角形的性质可得∠BAQ=∠ACP，从而得到
∠QMC=120°．
此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识的综合应用．解决问题的关键是掌握全等三角形的判定方法：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．解题时注意运用全等三角形的对应边相等，对应角相等的性质．26.【答案】解：(1)将直线l的表达式与反比例函数表达式联立并整理得：x2−5x+k=0，
，
由题意得：△=25−4k≥0，解得：k≤25
4
；
故k的取值范围0<k≤25
4
(2)设点A(m,−m+5)，而x2−x1=3，则点B(m+3,−m+2)，
点A、B都在反比例函数上，故m(−m+5)=(m+3)(−m+2)，解得：m=1，
故点A、B的坐标分别为(1,4)、(4,1)；
将点A的坐标代入反比例函数表达式并解得：k=4×1=4，
观察函数图象知，当−x+5<k
x
时，0<x<1或x>4．
【知识点】一次函数与反比例函数综合
【解析】(1)由题意得：△=25−4k≥0，即可求解；
(2)设点A(m,−m+5)，而x2−x1=3，则点B(m+3,−m+2)，点A、B都在反比例函数上，故m(−m+5)=(m+3)(−m+2)，即可求解．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点，当有两个函数的时候，着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强．
27.【答案】(1)证明：作直径BE，连接CE，如图所示：
则∠BCE=90°，∠E=∠A，
∴sin∠A=sin∠E=BC
BE =a
2R
，
∴a
sin∠A
=2R，
同理：b
sin∠B =2R，c
sin∠C
=2R，
∴a
sin∠A =b
sin∠B
=c
sin∠C
=2R；
(2)解：由(1)得：AB
sin∠C =BC
sin∠A
，
即AB
sin45∘=4√3
sin60°
=2R，
∴AB=4√3×√2 2
√3 2=4√2，2R=√3√3
2
=8，
过B作BH⊥AC于H，
∵∠AHB=∠BHC=90°，
∴AH=AB⋅cos60°=4√2×1
2=2√2，CH=√2
2
BC=2√6，
∴AC=AH+CH=2(√2+√6)，
∴sin∠B=AC
2R =2(√2+√6)
8
=√2+√6
4
．
【知识点】锐角三角函数的定义、解直角三角形、圆周角定理、三角形的外接圆与外心
【解析】(1)证明：作直径BE ，连接CE ，如图所示：则∠BCE =90°，∠E =∠A ，根据三角函数的定义得到sin∠A =sin∠E =BC
BE =a
2R ，求得a
sin∠A =2R ，同理：b
sin∠B =2R ，
c sin∠C
=2R ，于是得到结论；
(2)由(1)得：AB
sin∠C =BC
sin∠A ，得到AB =
4√3×
√2
2
√32
=4√2，2R =
4√3
√32
=8，过B 作BH ⊥AC 于
H ，解直角三角形得到AC =AH +CH =2(√2+√6)，再根据题意即可得到结论． 本题考查了三角形的外接圆、圆周角定理、锐角三角函数定义、解直角三角形、勾股定理等知识；熟练掌握圆周角定理和锐角三角函数定义是解题的关键．
28.【答案】解：(1)将点O 、A 、B 的坐标代入抛物线表达式得{c =0
a +
b +
c =0√
32
=94
a +32
b +c
，解得{ a =−2√33
b =−2√33
c =0
， 故抛物线的表达式为：y =
2√33
x 2−
2√3
3
x ； (2)由点B 的坐标知，直线BO 的倾斜角为30°，则OB 中垂线(CD)与x 负半轴的夹角为60°， 故设CD 的表达式为：y =−√3x +b ，而OB 中点的坐标为(3
4,√3
4)，
将该点坐标代入CD 表达式并解得：b =√3， 故直线CD 的表达式为：y =−√3x +√3；
(3)过点P 作y 轴的平行线交CD 于点H ，
设点P(x,
2√33
x 2−
2√3
3
x)，则点H(x,−√3x +√3)，
则PH =−√3x +√3−(2√33
x 2
−
2√3
3
x)=−2√33
x 2
−
√33
x +√3，
∵−2√33
<0，故PH 有最大值，此时点P 的坐标为(−14,
5√3
24
).
【知识点】二次函数综合
【解析】(1)将点O、A、B的坐标代入抛物线表达式，即可求解；
(2)由点B的坐标知，直线BO的倾斜角为30°，则OB中垂线(CD)与x负半轴的夹角为60°，
故设CD的表达式为：y=−√3x+b，而OB中点的坐标为(3
4,√3
4
)，将该点坐标代入CD
表达式，即可求解；
(3)过点P作y轴额平行线交CD于点H，PH=−√3x+√3−(2√3
3x2−2√3
3
x)=
−2√3
3x2−√3
3
x+√3，即可求解．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、中垂线的性质等，有一定的综合性，难度不大．。