安徽省淮南市第二中学2013届高三第三次月考数学试卷(理科)

安徽省淮南市第二中学2013届高三第三次月考
数学试卷（理科）
注意事项：
1. 本试卷满分150分，考试时间120分钟。

2. 考生务必在答题卷上答题，考试结束后交回答题卷。

第I 卷 (选择题 共50分)
一．选择题（本大题共10小题，每小题只有一个正确答案，每小题5分）
1. 已知集合{}2|21,A y y x x x R ==--∈，1|,0B y y x x R x x ⎧⎫
==+∈≠⎨⎬⎩⎭
且，则
=⋂A B C R )( ( )
A ．(2,2]-
B ．[2,2)-
C ．[2,)-+∞
D ．(2,2)-
2.已知等差数列{}n a 的前n 项之和是n S ，则11+-<<-m m a a a 是0,01<>+m m S S 的（ ）
A 充分不必要条件
B 必要不充分条件
C 充分必要条件
D 既不充分也不必要条件
3.已知函数)(x f 为R 上周期为4的奇函数，,又4)1(-=f ，则=+)2012()2011(f f （ ）
A 4-
B 4
C 8-
D 8
4. 已知函数x a x y cos sin +=的图象关于53
x π
=
对称，则函数x x a y cos sin +=的图象的一条对称轴是 （ ） A. 611π=
x B . 32π=x C. 3
π
=x D . π=x 5. 函数'()y f x =是函数()y f x =的导函数，且函数()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线为
000:()'()()(),()()()l y g x f x x x f x F x f x g x ==-+=-，如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的
图象如图所示，且0a x b <<，那么正确的是（ ） A ．00'()0,F x x x ==是()F x 的极大值点 B ．0'()F x =00,x x =是()F x 的极小值点 C ．00'()0,F x x x ≠=不是()F x 极值点
D ．00'()0,F x x x ≠=是()F x 极值点
A
B
C
D
6. 已知函数)(sin cos )(R x x x x f ∈=，给出下列四个命题：
①若;),()(2121x x x f x f -=-=则 ②)(x f 的最小正周期是π2； ③)(x f 在区间]4,4[π
π-上是增函数； ④)(x f 的图象关于直线4
3π
=x 对称； ⑤当⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈3,6ππx 时，)(x f 的值域为.
43,43⎦⎤⎢⎣⎡-
其中正确的命题为（ ）
A ．①②④
B ．③④⑤
C ．②③
D ．③④
7. 要测量底部不能到达的电视塔AB 的高度,在C 点测得塔顶A 的仰角是45°,在D 点测得塔顶A 的仰
角是30°,并测得水平面上的∠BCD =120°,CD =40m,则电视塔的高度为
（ ）
A ．102m
B ．20m
C ．203m
D ．40m
8. 已知函数3|log |,03()12,33
x x f x x x <<⎧⎪=⎨-+≥⎪⎩，又互不相同的γβα,,满足：)()()(γβαf f f ==，则αβγ的取值范围是（ ）
A )1,0(
B )3,1(
C )6,3(
D )6,1(
9. 若关于x 的方程042=-+x a x （1,0≠>a a ）的所有根为k u u u ,,,21 ，（*
N k ∈），关于x
的方程x x a -=22log 的所有根为l v v v ,,,21 ，（*
N l ∈），则l
k v v v u u u l k +++++++ 2121的
值为（ ）
A ．1
B ．
21 C ． 4
1
D ．2 10. 已知函数321
,(,1]12()111,[0,3
62x x x f x x x ⎧∈⎪+⎪
=⎨⎪⎪-+∈⎩，函数)0(22)6
sin()(>+-=a a x a x g π，若存在
12[0,1]x x ∈、，使得12()()f x g x =成立，则实数a 的取值范围是 （ ）
A ．14
[,]23 B ．1(0,2 C ．24[,]33
D ．1[,1]2
第II 卷 (非选择题 共100分)
二. 填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11. 函数()M f x 的定义域为R ，且定义如下：1,()
()0,()
∈⎧=⎨
∉⎩M x M f x x M （其中M 是实数集R 的非空真子
集），在实数集R 上有两个非空真子集A 、B 满足=∅A B ，则函数()1
()()()1
+=
++A B A B f x F x f x f x 的值域为 。

12. 6
0(4),0(),(2012)_______;2cos3,0x f x x f x f tdt x π->⎧⎪==⎨+≤⎪⎩
⎰已知函数则 13. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，AH 为BC 边上的高，给出以下四个结论：
①0AH BC ⋅=；②()AH AB BC AH AB ⋅+=⋅；③若0AB AC ⋅>，则ABC ∆为锐角三角形；④sin ||
AH AC c B AH ⋅
=。

其中所有正确结论的序号是 。

14. 我们把形如()0,0>>-=
b a a
x b
y 的函数因其图像类似于汉字“囧”字，故生动地称为“囧函数”，并把其与y 轴的交点关于原点的对称点称为“囧点”，以“囧点”为圆心凡是与“囧函数”有公共点的圆，皆称之为“囧圆”，则当1=a ，1=b 时，所有的“囧圆”中，面积的最小值为 ．
15. 下列命题：①幂函数都具有奇偶性； ②命题P ：[]1,10-∈∃x ，满足a x x >++102
0，使命题P
为真的实数a 的取值范围为3<a ；③代数式)3
4sin()32sin(sin απαπα++++的值与角α有关； ④将函数)3
2sin(3)(π
-
=x x f 的图象向左平移
3
π
个单位长度后得到的图象所对应的函数是奇函数； ⑤已知数列}{n a 满足：1221,,()n n n a m a n a a a n N ++===-∈，记12n n S a a =++…a ，则2011S m =； 其中正确的命题的序号是 （请把正确命题的序号全部写出来）
三．解答题（本大题共6小题，共75分）
16. 若集合}0)
7(2110|{2
2≥--+-=x x x x A ，}|{},02012|{2a x x C x x x B <=<+-= 求：（1）B A ；（2）B A C R )(；（3）若Φ≠C A ，求a 的取值范围。

17.（本题满分12分）在ABC ∆中，角A B C ,,的对边分别为,,a b c ，已知,,a b c 成等比数列，且
3
cos 4
B =．
（1）若32BA BC ⋅=
，求a c +的值； （2）求cos cos sin sin A C A C
+的值． 18. （本题满分12分）(1) 如图，D 是ABC Rt ∆的斜边AB 上的中点，E 和F 分别在边AC 和BC
上，且FD ED ⊥，求证：222BF AE EF += (2
EF 表示线段EF 长度的平方)
(尝试用向量法证明)
(2)已知函数x x x f 3)(3-=图像上一点)2,1(-P ， 过点P 作直线与)(x f y =图像相切，但切点异于 点P ，求直线的方程。

19. （本题满分12分） 某企业为打入国际市场，决定从A 、B 两种产品中只选择一种进行投资生产．已知投资生产这两种产品的有关数据如下表：（单位：万美元）
]8,6[∈m ．另外，年销售x 件B 产品时需上交20.05x 万美元的特别关税．假设生产出来的产品都能
在当年销售出去．
（1）写出该厂分别投资生产A 、B 两种产品的年利润12,y y 与生产相应产品的件数x 之间的函数关系并指明其定义域；
（2）如何投资最合理（可获得最大年利润）？请你做出规划．
20. （本题满分13分）已知各项均为正数的数列}{n a 的前n 项和n S 满足：
),2)(1(6,11++=>n n n a a S S 且.*N n ∈
B
E A
F
C
D
（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）设数列n b n n T a b n 记满足,1)12(}{=-为数列}{n b 的前n 项和，求证：).3(log 122+<+n n a T
21. （本题满分14分）已知函数2()ln f x a x bx =-图象上一点(2,(2))P f 处的切线方程为
32ln 22y x =-++．
（1）求,a b 的值；（2）若方程()0f x m +=在1[,]e e
内有两个不等实根，求m 的取值范围（e 为自然对数的底数）；
（3）令()()g x f x kx =-，若()g x 的图象与x 轴交于1(,0)A x ，2(,0)B x (其中12x x <)，AB 的中点为0(,0)C x ，求证：()g x 在0x 处的导数0)(0≠'x g ．
2012届高三第三次月考数学参考答案（理科）
一.选择题
题 号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
0 答 案
D
C
B
A
B
D
D
C
A
A 二.填空题：
11．}{
1; 12.; 3
4
13. ①②④; 14. 3π; 15. ② ⑤. 三.解答题：
16. 解:由题意得：{}{}
102,73<<=<≤=x x B x x A 2分
（1）}102|{<<=x x B A ; 5分 （2）}107,32|{)(<≤<<=x x x B A C R 8分 （3）3>a 12分 17. 解：（1）由32BA BC ⋅=，得3
cos 2
ac B =． 2分 因为3
cos 4
B =
，所以22b ac ==． 4分
由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得2222cos 5a c b ac B +=+=，
则222()29a c a c ac +=++=，故3a c +=． 6分
（2）由3cos 4
B =
，得sin B =．
由2b ac =及正弦定理得2
sin sin sin B A C =， 9分
于是22cos cos sin cos cos sin sin()sin 1sin sin sin sin sin sin sin A C C A C A A C B A C A C B B B +++===== 12分
18. 解：（1）连接EF ，取EF 的中点为G ,易得DG BF AE 2=+,=,
,(2
=即222
)()2(+==
又BC AC ⊥,展开上式即得证。

6分 （其他方法也给分，向量的代数运算要引起学生的关注） （2）设为),(00y x 函数x x x f 3)(3-=图象上任一点， 易得33)(2'-=x x f ，则33)(2
00'
-=x x f ， 故),(00y x 处切线为))(33(0200x x x y y --=-
又知过)2,1(-P 点，代入解方程得：10=x （舍），2
1
0-=x 故所求直线的斜率4
9
-
=k ，从而切线方程为：0149=-+y x 12分 19. 解：（1）由年销售量为x 件，按利润的计算公式，有生产A 、B 两产品的年利润12,y y 分别为
()()110201020(0200y x mx m x x =⨯-+=--≤≤且x N ∈） 2分 ()222184080.050.051040
y x x x x x =⨯-+-=-+-
=()2
0.05100460(0120,).x x x N --+≤≤∈ 4分 （2）86≤≤m ，，010>-∴m ，20)10(1--=∴x m y 为增函数.
0200,200x x N x ≤≤∈∴=又时，生产A 产品有最大利润为
()10200201980200m m -⨯-=-（万
美元）。

6分 又()2
20.05100460,0120,.y x x x N =--+≤≤∈
100x ∴=当时，生产B 产品有最大利润为460（万美元） 8分
因为⎪⎩
⎪
⎨⎧≤<<==<≤>-=--=-86.7,06.7,06.76,020********)2001980()()(max
2max 1m m m m m y y
10分
所以，当6.76<≤m 时，可投资生产A 产品200件； 当7.6m =时，生产A 产品与生产B 产品均可；
当7.68m <≤时，可投资生产B 产品100件． 12分 20. 解：（1）当n=1时，有).2)(1(6111++=a a a
解得.2),,1(11111=>==a S a a 或舍去矛盾与 1分
当2≥n 时，有⎩⎨
⎧++=++=---)
2)(1(6),
2)(1(6111n n n n n n a a S a a S 两式相减得
.0)3)((),(361112
12=--+-+-=----n n n n n n n n n a a a a a a a a a 即
3分 由题设.3,03,0111=-=-->+---n n n n n n a a a a a a 即从而
故数列}{n a 是首项为2，公差为3的等差数列.133)1(2-=⋅-+=n n a n 6分 （2）由.1
33log ,1)12)(13(,1)12
(2
-==--=-n n
b n a n b b n n n
得 7分 ).1
33895623(log 221-⨯⨯⨯⨯=+++=n n
b b b T n n
而)23(log 1)1
33895623(log 2)3(log 12222+<+-⨯
⨯⨯⨯⇔+<+n n n
a T n n 223)133895623(2+<-⨯⨯⨯⨯⇔n n n
123)
1338
95623(22<+-⨯⨯⨯⨯⇔n n n 9分 令.2
3)133895623(22+-⨯⨯⨯⨯=n n n c n
则
.1102199189)23)(53()33(2)1(3)
23()2333(
2222
1<++++=+++=+++++=+n n n n n n n n n n n c c n
n
而}{,,01n n n n c c c c <>+所以是单调递减数列． 11分
所以，.12
3)133895623(2.1109213)23
(222
1<+-⨯⨯⨯⨯=<=+⨯=≤n n n c c c n n 所以
从而)3(log 122+<+n n a T 成立．
13分
21. 解：（1）()2a f x bx x '=
-，()242
a
f b '=-，()2ln 24f a b =-． ∴
432
a
b -=-，且ln 2462ln 22a b -=-++． 2分 解得2,1a b ==． 3分
（2）()22ln f x x x =-，令()2()2ln h x f x m x x m =+=-+，
则()2/
22(1)
2x h x x x x
-=-=，令()/0h x =，得1x =（1x =-舍去）．
在1[,]e e
内，当1
[,1)x e ∈时，/()0h x >， ∴ ()h x 是增函数；
当[1,]x e ∈时，/()0h x <， ∴ ()h x 是减函数 5分
则方程()0h x =在1[,]e e 内有两个不等实根的充要条件是1
()0,(1)0,()0.
h e h h e ⎧≤⎪⎪⎪
>⎨⎪≤⎪⎪⎩
6分
即21
21e
m +
≤<． 8分 （3）2
()2ln g x x x kx =--，/2()2g x x k x
=--．
假设结论成立，则有21112
2221200
2ln 0, 2ln 0, 2,
220.
x x kx x x kx x x x x k x ⎧--=⎪--=⎪⎪
⎨+=⎪
⎪--=⎪⎩①②
③④
9分 ①－②，得221121222ln ()()0x x x k x x x ----=． ∴1
2
012ln
22x x k x x x =--． 10分
由④得0022k x x =-，∴12120
ln
1
x x x x x =- 11分
即1
21212
ln
2
x x x x x x =
-+，即112122
22ln 1x x x x x x -=+．⑤ 令12x t x =
，22()ln 1
t u t t t -=-+（01t <<)， 12分 则2
2
(1)()(1)t u t t t -'=+＞0．∴()u t 在01t <<上增函数， ∴()(1)0u t u <=， 13分
∴⑤式不成立，与假设矛盾．
∴()00g x '≠． 14分
（水平有限，定有不当之处望乞海涵）。