学而思讲义四年级第六讲(周期问题)

当于问 2008 个 8 相乘的末位数字。
8
82
83
84
85
末位 8 4 2 6 8
……
发现 8n 的尾数是 8,4,2,6 四个数一周期循环，那么 20082008 的尾数就用 2008÷4=502（组），应
该是周期中的第 4 个，即尾数是 6。
（尖子）学案 3 2011 个 2 连乘 2×2×……×2，乘积的末两位数是几？ 解析：同前面的题类似，我们肯定也是去找规律，注意题目问的是末两位，那么就找末两位 的规律。同学们自己试试看，找出规律如下： 02,04,08,16,32,64,28,56,12,24,48,96,92,84,68,36,72,44,88,76,52,04,08,16，……除了 第一个 02 外，每 20 个数为一周期循环。 （2011-1）÷20=100（组）……10（个） 那么应该是 48。
2010 年四年级秋季班 第六讲 周期问题
程雪
第六讲 周期问题
一、周期问题 周期现象指重复现象，所以当我们遇到有重复现象时可用周期问题解决。
二、解答思路 1、判断是否是周期现象。（几个重复一次周期就是几）。 2、用除法算式来表示周期现象:
总数 ÷ 周期 = 组数 ……
余数
3、根据除法算式想象排列图 4、根据要求求解。
当然我们也可以计算，如果每年都是 364 天，即都是整好的 52 周，那来年的同一日与上一年 的同一日一定是一样的星期几。可是每年都多出来 1 天或 2 天，我们把这些零碎的天数凑在 一起，如果能凑成完整的星期不也可以吗？ 1999 年 2000 年 2001 年 2002 年……
1 + 2 + 1 + 1 +1+2+1+1+1+2+1=14（天） 注意：7 天也是一个完整的星期，可是“7“跳过去了。所以我们要找 14。 以上有 11 个年头的零碎天，所以年头数要加 11 1998+11=2009（年）
（个），应该是周期中的第 3 个，即尾数是 8。
注意：任意一个自然数的乘方，其尾数都是有周期现象的。同学们可以参看例 5 的点睛。不
用死记硬背，当遇到相应的题时，自己用枚举法找找前面几个的规律就知道了。
例 6 20082008 的个位数字是多少？
解析：20082008 表示 2008 个 2008 相乘，只问乘积的个位数字，那么我们就只看个位数字，相
红橙黄绿 橙黄绿 黄绿 绿
解析：同学们都能看出这里有周期现象——红橙黄绿青蓝紫，但这是按照斜行出现的，这对 我们求 20 行 30 列有什么用呢？ 方法一：每一斜行的颜色一样，一斜行的格子有什么特点呢？发现行数+列数是相同的。比如 3 行 2 列与 1 行 4 列，行数+列数都等于 5，所以这两个格子颜色相同。那么所求的 20 行 30 列，20+30=50=1+49，应该和第 1 行第 49 列颜色一样。那么我们就转化为求第 1 行第 49 列的 颜色。第 1 行的周期是“红橙黄绿青蓝紫”，49÷7=7（组），是周期中的最后一个，是紫色。 方法二：很多同学不能一下看出斜行的特点，那我们就横行和竖列分开看。发现每一横行都 是 7 个颜色为一周期，只是顺序有所不同，比如第二横行是“橙黄绿青蓝紫红”，每一竖列也 都是 7 个颜色为一周期，只是顺序有所不同。我们可以先算出第 20 行的第 1 个格子，再算出 第 20 行的第 30 个格子即是所求。
5、计算类
例 5 2007 个 2 连乘 2×2×……×2，乘积的末位数是几？
解析：同学们想想，这是不是跟操作题类似——就不断地乘 2。所以我们要从简单的开始找找
规律。只是要注意审题，题目只问末位数。乘积的末位数只跟乘数的末位相关。
2
22
23
24
25
末位 2 4 8 6 2
……
发现 2n 的尾数是 2,4,8,6 四个数一周期循环，那么 22007 的尾数就用 2007÷4=501（组）……3
甲乙
丙
丁
原来 10
7
5
4
一次 7
8
6
5
二次 8
5
7
6
三次 5
6
8
7
四次 6
7
5
8
五次 7
8
6
5
四年级秋季班（七级下） 6.2
2010 年四年级秋季班 第六讲 周期问题
程雪
发现第五次与第一次重复了，因为是同样的操作，那意味着第六次会跟第二次重复……，那 就出现周期现象了，从第一次开始 4 次操作为一周期，问的是 1998 次。1998÷4=499（组）…… 2（次），和第二次的相同，那么甲场中应该停放着 8 辆汽车。
补：有一个 1111 位数，它的各个数位上的数字都是 1，这个数被 6 除的商的末位和余数各是 四年级秋季班（七级下） 6.4
2010 年四年级秋季班 第六讲 周期问题
程雪
多少？
解析：仍然用找规律的方法。见下表
位数 1
2
3
4
5
6
7
8
……
商末位 0
1
8
5
1
8
5
1
余数 1
5
3
1
5
3
1
5
……
从表中可以发现，多个 1 除以 6 的余数以及商的末位都是有周期现象的，周期都是 3。只是注
4、日期中的“星期几”问题 步骤：（1）找总天数
（2）写除法算式（周期肯定是 7）：总天数÷7 （3）写周期，看余数
（写周期时关键是找起始日，除法算式中总数从哪天算起，哪天就是起始日）
练 2010 年 10 月 29 日是星期五，2011 年元旦是星期几？
方法一
方法二
总天数：（31-28）+30+31+1=65（天）
期从星期五开始建议大家都记第一种，即算总天数时把头和尾都算上！这样
不易出错。
跨年度同一天的窍门：平年+1，闰年+2 练 1994 年 1 月 1 日是星期六，1995 年 1 月 1 日呢？1996 年 1 月 1 日呢？1997 年 1 月 1 日 呢？ 解析：在不知道窍门的情况下，同学们也可以用常规的方法计算，肯定也能算出正确答案。 比如：从 1994 年 1 月 1 日到 1995 年 1 月 1 日总天数是 365+1=366（天），366÷7=52（周）…… 2（天），写周期是：六、日、一、二、三、四、五，那么余 2 天应该是周日。头一年是周六， 来年就比头一年多了一天，是周日。 找规律： 1994 年 1 月 1 日 六 1995 年 1 月 1 日 日 ……在上一年加 1 1996 年 1 月 1 日 一 ……1996 年闰年，但到 1996 年 1 月 1 日时还没过闰年的 2 月 29 日 1997 年 1 月 1 日 三 ……从 1996 年 1 月 1 日到 1997 年 1 月 1 日经过了 2 月 29 日，所以
3
5
8 解析：以横行为例，任意相邻三个方格数字之和为 15，那么我们虽然一下子算不出第二个、 第三个格子是几，但我们知道它们的和应该等于 15-5=10，那么第四个格子就一定是 5 啦！以 此类推，再隔两个格子，第七个格子也是 5……，你填出来了吗？最终结果如下
3 8 7 3 5285285285 7 3 8
四年级秋季班（七级下） 6.1
2010 年四年级秋季班 第六讲 周期问题
程雪
第 20 行的第 1 个格子（即第 1 列的第 20 个）：20÷7=2（组）……6（个） 第 1 列的周期是红橙黄绿青蓝紫，第 6 个应该是蓝色。
第 20 行的第 30 个格子：30÷7=4（组）……2（个） 第 20 行的周期是蓝紫红橙黄绿青，第 2 个应该是紫色。
1、双周期问题 方法一：分开看 方法二：找最小公倍数
课前回顾 在图所示的表中，将每列上、下两个字组成一组，例如第一组为“共社”，那么 第 340 组是什么？ 共 产 党 好 共 产 党 好 …… 社 会 主 义 好 社 会 主 …… 解析： 方法一：分开看。第 340 组也是两个字，第一个字就是第一行的第 340 个，第二个字就是第 二行的第 340 个。分开计算。第一行周期为 4：340÷4=85（组），“好”字。第二行，周期为 5：340÷5=68（组），“好”字。 方法二：找最小公倍数。两行的周期的最小公倍数是 4×5=20，即 20 组是一个周期，340÷20=17 （组），是最后一个，想想最后一个是什么呢？肯定是两行小周期各自的末尾——“好好”。
四年级秋季班（七级下） 6.5
总天数：（31-29）+30+31+1=64（天）
写算式：65÷7 =9（周）……2（天）
写算式：64÷7 = 9（周）……1（天）
写周期：五、六、日、一、二、三、四
写周期：六、日、一、二、三、四、五
看余数：余 2 天，所以是星期六
看余数：余 1 天，所以是星期六
（65 天是从 10 月 29 日星期五算起，故周 （64 天是从 10 月 30 日星期六算起，故周
要再多加 1 天，即星期一+2=星期三
例 4 已知 1998 年 4 月 8 日是星期五，在此之后的哪一年，4 月 8 日才首次又是星期五？ 解析：我们想想，一个星期 7 天，要再次出现 4 月 8 日星期五，不会等太多年，那可以按照 规律枚举写出来，既保险，也没耽误太多时间。 1998 年 4 月 8 日 五 1999 年 4 月 8 日 六 2000 年 4 月 8 日 一 ……注意闰年加 2 2001 年 4 月 8 日 二 2002 年 4 月 8 日 三 2003 年 4 月 8 日 四
三、复杂周期问题 我们发现周期问题只要找到了周期，解决方法还是比较简单的。所以关键就是要找对周
期！但很多题目并没有直接告诉周期现象，需要我们自己去判断、分析，找出周期。这样的 题我们也称为隐藏的周期问题。 如 例 2 如图，用红橙黄绿青蓝紫 7 种彩笔，在一张方格纸上自左上到右下的斜行里按顺序循环 涂色，求第 20 行第 30 列交叉处所涂得颜色
整周期部分 非整周期部分
注：对于比较简单的周期问题，是我们之前应该掌握的基本功，同学们可以自己练习一下下 面这个题，看看你还记得吗？ 大熊老师在黑板上写了一列数字如下，
5,7，2，3，1，2，3，1，2，3，1……
请问（1）第 280 个数是几？ （2）前 280 个数的和是多少？ （3）前 280 个数中，“2”有几个？
意，商的末位要把第一个 0 去掉，才是周期现象。那么 1111 位 1 除以 6 的余数应该是 1111
÷3=370（组）……1（个），应该是周期中的第一个，是 1，对应的商的末位应该的（1111-1）
÷3=370（组），是周期中的最后一个，是 5。
（尖子）学案 1 请在下图中每个方格中填一个数，使横行任意三个相邻方格内的数字之和都 是 15，竖列任意三个相邻方格内的数字之和都是 18。
2、奇偶性 例 1 将下面的一串数 1,9,9,9,8,5,1,3,7,6,7,3,3,9,2,7,1,9,9,6,…… 中，从第五个数起，每个数都是它前面四个数之和的个位数字，那么在这串数中，能否出现 相邻的四个数依次是 2，5，9，8？ 解析：从数字的大小来看，找不到突破口，那我们要注意数字还有“奇偶性”的特性。从奇 偶性观察，发现本数列是：奇、奇、奇、奇、偶、奇、奇、奇、奇、偶……按照 4 奇 1 偶周 期性出现。而 2,5,9,8 的奇偶性为偶、奇、奇、偶，不符合数列的奇偶性规律，所以不可能 出现。 注：同学们再自己写写兔子数列，找找它的奇偶性规律。
四年级秋季班（七级下） 6.3
2010 年四年级秋季班 第六讲 周期问题
程雪
2004 年 4 月 8 日 2005 年 4 月 8 日 2006 年 4 月 8 日 2007 年 4 月 8 日 2008 年 4 月 8 日 2009 年 4 月 8 日
六 ……注意闰年加 2，把星期五跳过去了 日 一 二 四 五
3、操作类
例 3 甲、乙、丙、丁四个停车场分别停放着 10、7、5、4 辆车，从停放汽车最多的车场中往
另外三个车场各开去一辆汽车，称为一次调整。那么经过 1998 次这样的调整后，甲场中停放
着多少辆汽车？
解析：如果是经过 3 次调整，那就枚举好了。题目说 1998 次调整，同学们想想肯定不会让我
们一一枚举到 1998 次吧，所以一定有规律出现！那我们就枚举前几次，找到规律。