自动控制原理第7章
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而重要关心其时域响应的性质，如：稳定性、自持 振荡。
7.2 描述函数法
一、描述性函数的定义
非线性元件的输入为正弦波时，将其输出的非正弦波的一次谐波（基
波) 与输入正弦波的复数比，定义为非线环节的描述函数。
分析：
设 输入为：
x(t) Asint
则输出：
y(t) A0 (An cos nt Bn sin nt) n1
见图示说明：
但非线性系统则不然，它的稳定性不仅与系 统的结构和参数有关，还与输入信号及初始 条件有关。因此不能笼统地泛指某个非线性 系统是否稳定，而必须指明不同条件下系统 的稳定性。
3.非线性系统的自激振荡
线性系统只在阻尼比为零时，产生周期性的 等幅振荡；而且这样情况极少出现，极易变 化。但是在非线性系统中，常会出现具有一 定频率、一定振幅的稳定的等幅振荡，即自 激振荡。
二、改变非线性特性
1、改变非线性元件的参数
例如，在例7.1中，当线性部分参数不变(k=15)时，改变非线性部分的参 数a或b，可以使负倒描述函数曲线往左移，从而使两特性曲线不相交，即使 原有自持振荡的系统变为稳定。
2、对非线性元件采用某种并联校正
例如，一个饱和非线性元件并入一合适的死区非线性元件后，变成了线性 比例元件。
An
1
2 0
y(t) cosntdt
Bn
1
2 0
y(t ) sin
ntdt
假设输出为对称奇函数，则 A0 0 ；假设具有低通滤波特性，高次谐波
可忽略。
则非线性环节输出可认为
y(t) y1(t) A1 cost B1 sin t
Y1 sin(t 1) Y1e j1
N ( A) Y1 e j1 A
二．典型非线性特性的描述函数 （1）饱和特性的描述函数
饱和特性的输入、输出特性为
当输入为正弦信号时
x(t) sint
其输出信号的数学表达式
x(t)
k
Asin b
wt
kAsin wt
0 wt 1 1 wt 1 1 wt
x2
M
0
x1
M
二位式继电特性 （理想）
理想继电控制系统一般最终处于自激振荡状 态;带死区的继电特性将会增加系统的稳态误 差,但可提高系统动态时的平稳性,减缓系统的 振荡倾向,这点类似于死区和饱和特性.
2 非线性系统的特点
一、定义： 凡控制系统不能直接进行线性化处理，或其运 动方程不能用线性微分方程式来描述的，均称 为非线性系统。例如：x (1 x)x 0
os 1
4k
A
1 2
arc sin
a A
1 2
s
in
1
1 sin 2 1
a A
1
s in
2
1
4k
A
1 2
arc sin
a A
1 2
a A
1 ( a )2 a
A
A
1
(
a )2 A
2k
Aarc sin
a A
a A
1
Y1 A12 B12
1
arctan
A1 B1
此时，非线性环节可以用一个等效的元件来代替，该元件的 输入信号和输出信号分别为
x(t) Asin t Ae j1
y(t) Y1 sin(t 1) Y1e j1
则输入、输出的复数比，即为描述函数，常用 N ( A) 表示。
图a)，频率特性不包围负倒特性，稳定 图b)，频率特性包围负倒特性，不稳定 图c)，两特性相交，可能产生自振。
7.4 改善非线性系统性能的方法
一、改变线性部分的参数或对线性部分进行 校正 1、减小线性部分的放大系数K值，使两特性曲线不产生相交点。 例题7.1 2、对线性部分进行串联校正，使两特性曲线不产生相交点。 例题(p168) 3．对线性部分进行并联校正，使两特性曲线不产生相交点。 例题(p169)
非线性系统的自激振荡的特点是：当系统 的结构参数在一定范围内变动时，自振现象 仍能存在，只是振荡参数稍有变化。
在经典控制理论中，自激振荡是不稳定的， 但在现代控制理论中，按Lyapunov的定义， 系统是稳定的，只要自激振荡的幅值在允许的 范围内。
自激振荡是非线性理论研究的重要内容。在 多数情况下，不希望有振荡存在，必须设法消 除它，但某些情况下，特意引入自激振荡，使 系统具有良好的静、动态特性。
二、非线性系统的特点：
1.非线性系统不服从迭加原理 迭加原理只适用于线性系统，非线性系统用 非线性微分方程来描述，至今没有统一求解 方法，其理论也不完善。工程上目前也没有 通用的方法可很好地解决所有非线性问题。
2.非线性系统的稳定性和运动形式
线性系统的稳定性只取决于系统的结构和参 数（即系统的特征根），而与输入信号及初 始条件无关。
)
b
c
os wt
2 1
4kA
2 0
1 (1 c os2wt )dwt 2
a A
c
os 1
2k
A
wt
1 2
s
in
2wt
1 0
a A
c
os
1
4k
A
1 2
1
1 4
s
inc
其数学表达式为：
x2
0
k
(
x1
signx1)
式中：signx1
1
1
x1 x1
x1 0 x1 0
x2
k
0
x1
死区的存在会造成系统的稳态误差，这是 因为当输入信号未超过死区阀值时，其输 出信号为零，系统的前向通道处于断开状 态，不产生调节作用。
三、间隙特性
间隙又称回环。传动机构的间隙是一种常见的回 环非线性特性。在齿轮传动中, 由于间隙存在, 当主 动齿轮方向改变时, 从动轮保持原位不动, 直到间隙 消除后才改变转动方向。铁磁元件中的磁滞现象也 是一种回环特性。 间隙特性对系统影响较为复杂, 一般来说, 它将使系统稳态误差增大，频率响应的相 位迟后也增大, 从而使系统动态性能恶化。 采用双 片弹性齿轮(无隙齿轮)可消除间隙对系统的不利影响。
三、分析非线性系统的方法：
1.线性化近似方法 使用原则：（a）非线性因素对系统影响很 小；（b）变量的变化微小。 2.描述函数法 它是非线性系统的频率法，适用于具有低通 滤波特性的各种阶次的非线性系统。
3.相平面法
相平面法是非线性系统的图解法。只适用于 一、二阶系统。
5.
李雅普诺夫法是根据广义能量概念确定非线性系统稳定 性的方法, 原则上适用于所有非线性系统, 但对于很多系统, 寻 找李雅普诺夫函数相当困难。
(
a )2 A
x1 A12 B12 B1
1 0
N ( A)
jarctg A1
x e 1
B1
A
2
k arc sin
a A
a A
1
(
a )2 A
注：其它典型非线性描述函数的描述函数计算方法相同。可参见表7-1
7.3 用描述函数法分析非线性系统
1、系统的稳定性分析
在各种传动机构中，由于加 工精度及运动部件的动作需 要，总会存在间隙。
其特性如图所示：
间隙特性降低了定位精度，使系统的稳态 误差增大；对动态而言，间隙特性有相角 滞后倾向，它使相角裕量减小，相对稳定 性变差，系统的振荡加剧。
四、继电特性：
由于继电器吸合电压与释放电压不等, 使其特性中包含了死 区、回环及饱和特性。当a＝0时的特性称为理想继电器特性。 继电器的切换特性使用得当可改善系统的性能。
第七章 非线性系统分析
7.1 控制系统中的典型非线性特性 7.2 描述函数法 7.3 用描述函数法分析非线性系统 7.4 改善非线性系统性能的方法
7.1 非线性控制系统中的典型非线性特性
一、非线性系统组成：
非线性环节+线性环节
二、典型非线性特性(4种) 1、饱和
2、死区
3、回环
4、继电器
二、饱和特性
如从非线性环节的输出与输入之间存在的函数关系划分, 非线性特性又可分为单值函数非线性与多值函数非线性两类。 例如死区特性、饱和特性及理想继电器特性都属于输出与输入 间为单值函数关系的非线性特性。 间隙特性和继电器特性则 属于输出与输入之间为多值函数关系的非线性特性。
x2
h
M
M
0h
x1
三位式继电特性 （带死区）
典型非线性系统结构图
闭环传递函数频率特性为
C( jw) N ( A)G( jw) R( jw) 1 N ( A)G( jw)
特征方程为
1 N ( A)G( jw) 0 G( jw) 1
N ( A)
式中-1/N(A），称为非线性特性的负倒描述函数。
比较： 线性系统特征方程 G(jω )=–1；线性系统，（–1，j0）点是判断稳定的 关 键点。 非线性系统，判断稳定性不是点（–1，j0）,而是一条线 –1∕N(A） 。 由 线性部分的频率特性与描述函数负倒特性之间相对位置可以判断非线性 系统 的稳定及自激振荡，即可利用奈奎斯稳定判据进行分析。
制作用。还有些系统中有意地利用饱和特性作信号限幅, 限制
某些物理参量, 保证系统安全合理地工作。
一、死区（不灵敏区）
死区又称不灵敏区, 通常以阈值、分辨率等指标衡量。 死区 特性。常见于测量、放大元件中, 一般的机械系统、 电机等, 都 不同程度地存在死区。其特点是当输入信号在零值附近的某一 小范围之内时, 没有输出。只有当输入信号大于此范围时, 才有 输出。 执行机构中的静摩擦影响也可以用死区特性表示。控制 系统中存在死区特性, 将导致系统产生稳态误差, 其中测量元件 的死区特性尤为明显。摩擦死区特性可能造成系统的低速不均 匀, 甚至使随动系统不能准确跟踪目标。
2、判据内容： 在开环幅相特性平面上，画出线性特性 G(jω )曲线(最小相位)。
1）若G(jω )轨迹不包围非线性负倒特性–1∕N（A）,则此非线性系统稳定 2）若G(jω )轨迹包围–1∕N(A），则非线性系统不稳定。 3）若G(jω )与–1∕N（A）相交，则在交点处，系统处于临界稳定，可能 产生周期持续震荡，这种持续震荡可以用正弦振荡来近似，其振荡的振幅和 频率可以分别用交点处–1∕N（A）轨迹上的A 值，G(jω )曲线上对应的ω 值来表征。
其数学表达式为：
ka
x2
kx1
ka
x1 a x1 a x1 a
x2
k
a 0a
x1
饱和也是一种常见的非线性, 在铁磁元件及各种放大器中都
存在, 其特点是当输入信号超过某一范围后, 输出信号不再随输
入信号变化而保持某一常值。饱和特性将使系统在大信号作用
之下的等效增益降低, 深度饱和情况下, 甚至使系统丧失闭环控
6.
利用计算机模拟, 可以满意地解决实际工程中相当多的非 线性系统问题。这是研究非线性系统的一种非常有效的方法, 但它只能给出数值解, 无法得到解析解, 因此缺乏对一般非线 性系统的指导意义。
注意： 非线性常微分方程没有相同的求解方法，求解三阶
以上系统方程困难； 不能用叠加原理； 本质非线性，即不能用小偏差方法进行线性化。 研究非线性系统并不需求得其时域响应的精确解，
由于x(t)为单值对称函数，故有
A1 0, A0 0
B1
1
2
x(t) sin wtd (wt)
0
4
1 k Asin wt sin wtd (wt )
0
2 1
b
s in
wtd
(wt )
4
1 0
k A sin 2 2
wtd
(wt
7.2 描述函数法
一、描述性函数的定义
非线性元件的输入为正弦波时，将其输出的非正弦波的一次谐波（基
波) 与输入正弦波的复数比，定义为非线环节的描述函数。
分析：
设 输入为：
x(t) Asint
则输出：
y(t) A0 (An cos nt Bn sin nt) n1
见图示说明：
但非线性系统则不然，它的稳定性不仅与系 统的结构和参数有关，还与输入信号及初始 条件有关。因此不能笼统地泛指某个非线性 系统是否稳定，而必须指明不同条件下系统 的稳定性。
3.非线性系统的自激振荡
线性系统只在阻尼比为零时，产生周期性的 等幅振荡；而且这样情况极少出现，极易变 化。但是在非线性系统中，常会出现具有一 定频率、一定振幅的稳定的等幅振荡，即自 激振荡。
二、改变非线性特性
1、改变非线性元件的参数
例如，在例7.1中，当线性部分参数不变(k=15)时，改变非线性部分的参 数a或b，可以使负倒描述函数曲线往左移，从而使两特性曲线不相交，即使 原有自持振荡的系统变为稳定。
2、对非线性元件采用某种并联校正
例如，一个饱和非线性元件并入一合适的死区非线性元件后，变成了线性 比例元件。
An
1
2 0
y(t) cosntdt
Bn
1
2 0
y(t ) sin
ntdt
假设输出为对称奇函数，则 A0 0 ；假设具有低通滤波特性，高次谐波
可忽略。
则非线性环节输出可认为
y(t) y1(t) A1 cost B1 sin t
Y1 sin(t 1) Y1e j1
N ( A) Y1 e j1 A
二．典型非线性特性的描述函数 （1）饱和特性的描述函数
饱和特性的输入、输出特性为
当输入为正弦信号时
x(t) sint
其输出信号的数学表达式
x(t)
k
Asin b
wt
kAsin wt
0 wt 1 1 wt 1 1 wt
x2
M
0
x1
M
二位式继电特性 （理想）
理想继电控制系统一般最终处于自激振荡状 态;带死区的继电特性将会增加系统的稳态误 差,但可提高系统动态时的平稳性,减缓系统的 振荡倾向,这点类似于死区和饱和特性.
2 非线性系统的特点
一、定义： 凡控制系统不能直接进行线性化处理，或其运 动方程不能用线性微分方程式来描述的，均称 为非线性系统。例如：x (1 x)x 0
os 1
4k
A
1 2
arc sin
a A
1 2
s
in
1
1 sin 2 1
a A
1
s in
2
1
4k
A
1 2
arc sin
a A
1 2
a A
1 ( a )2 a
A
A
1
(
a )2 A
2k
Aarc sin
a A
a A
1
Y1 A12 B12
1
arctan
A1 B1
此时，非线性环节可以用一个等效的元件来代替，该元件的 输入信号和输出信号分别为
x(t) Asin t Ae j1
y(t) Y1 sin(t 1) Y1e j1
则输入、输出的复数比，即为描述函数，常用 N ( A) 表示。
图a)，频率特性不包围负倒特性，稳定 图b)，频率特性包围负倒特性，不稳定 图c)，两特性相交，可能产生自振。
7.4 改善非线性系统性能的方法
一、改变线性部分的参数或对线性部分进行 校正 1、减小线性部分的放大系数K值，使两特性曲线不产生相交点。 例题7.1 2、对线性部分进行串联校正，使两特性曲线不产生相交点。 例题(p168) 3．对线性部分进行并联校正，使两特性曲线不产生相交点。 例题(p169)
非线性系统的自激振荡的特点是：当系统 的结构参数在一定范围内变动时，自振现象 仍能存在，只是振荡参数稍有变化。
在经典控制理论中，自激振荡是不稳定的， 但在现代控制理论中，按Lyapunov的定义， 系统是稳定的，只要自激振荡的幅值在允许的 范围内。
自激振荡是非线性理论研究的重要内容。在 多数情况下，不希望有振荡存在，必须设法消 除它，但某些情况下，特意引入自激振荡，使 系统具有良好的静、动态特性。
二、非线性系统的特点：
1.非线性系统不服从迭加原理 迭加原理只适用于线性系统，非线性系统用 非线性微分方程来描述，至今没有统一求解 方法，其理论也不完善。工程上目前也没有 通用的方法可很好地解决所有非线性问题。
2.非线性系统的稳定性和运动形式
线性系统的稳定性只取决于系统的结构和参 数（即系统的特征根），而与输入信号及初 始条件无关。
)
b
c
os wt
2 1
4kA
2 0
1 (1 c os2wt )dwt 2
a A
c
os 1
2k
A
wt
1 2
s
in
2wt
1 0
a A
c
os
1
4k
A
1 2
1
1 4
s
inc
其数学表达式为：
x2
0
k
(
x1
signx1)
式中：signx1
1
1
x1 x1
x1 0 x1 0
x2
k
0
x1
死区的存在会造成系统的稳态误差，这是 因为当输入信号未超过死区阀值时，其输 出信号为零，系统的前向通道处于断开状 态，不产生调节作用。
三、间隙特性
间隙又称回环。传动机构的间隙是一种常见的回 环非线性特性。在齿轮传动中, 由于间隙存在, 当主 动齿轮方向改变时, 从动轮保持原位不动, 直到间隙 消除后才改变转动方向。铁磁元件中的磁滞现象也 是一种回环特性。 间隙特性对系统影响较为复杂, 一般来说, 它将使系统稳态误差增大，频率响应的相 位迟后也增大, 从而使系统动态性能恶化。 采用双 片弹性齿轮(无隙齿轮)可消除间隙对系统的不利影响。
三、分析非线性系统的方法：
1.线性化近似方法 使用原则：（a）非线性因素对系统影响很 小；（b）变量的变化微小。 2.描述函数法 它是非线性系统的频率法，适用于具有低通 滤波特性的各种阶次的非线性系统。
3.相平面法
相平面法是非线性系统的图解法。只适用于 一、二阶系统。
5.
李雅普诺夫法是根据广义能量概念确定非线性系统稳定 性的方法, 原则上适用于所有非线性系统, 但对于很多系统, 寻 找李雅普诺夫函数相当困难。
(
a )2 A
x1 A12 B12 B1
1 0
N ( A)
jarctg A1
x e 1
B1
A
2
k arc sin
a A
a A
1
(
a )2 A
注：其它典型非线性描述函数的描述函数计算方法相同。可参见表7-1
7.3 用描述函数法分析非线性系统
1、系统的稳定性分析
在各种传动机构中，由于加 工精度及运动部件的动作需 要，总会存在间隙。
其特性如图所示：
间隙特性降低了定位精度，使系统的稳态 误差增大；对动态而言，间隙特性有相角 滞后倾向，它使相角裕量减小，相对稳定 性变差，系统的振荡加剧。
四、继电特性：
由于继电器吸合电压与释放电压不等, 使其特性中包含了死 区、回环及饱和特性。当a＝0时的特性称为理想继电器特性。 继电器的切换特性使用得当可改善系统的性能。
第七章 非线性系统分析
7.1 控制系统中的典型非线性特性 7.2 描述函数法 7.3 用描述函数法分析非线性系统 7.4 改善非线性系统性能的方法
7.1 非线性控制系统中的典型非线性特性
一、非线性系统组成：
非线性环节+线性环节
二、典型非线性特性(4种) 1、饱和
2、死区
3、回环
4、继电器
二、饱和特性
如从非线性环节的输出与输入之间存在的函数关系划分, 非线性特性又可分为单值函数非线性与多值函数非线性两类。 例如死区特性、饱和特性及理想继电器特性都属于输出与输入 间为单值函数关系的非线性特性。 间隙特性和继电器特性则 属于输出与输入之间为多值函数关系的非线性特性。
x2
h
M
M
0h
x1
三位式继电特性 （带死区）
典型非线性系统结构图
闭环传递函数频率特性为
C( jw) N ( A)G( jw) R( jw) 1 N ( A)G( jw)
特征方程为
1 N ( A)G( jw) 0 G( jw) 1
N ( A)
式中-1/N(A），称为非线性特性的负倒描述函数。
比较： 线性系统特征方程 G(jω )=–1；线性系统，（–1，j0）点是判断稳定的 关 键点。 非线性系统，判断稳定性不是点（–1，j0）,而是一条线 –1∕N(A） 。 由 线性部分的频率特性与描述函数负倒特性之间相对位置可以判断非线性 系统 的稳定及自激振荡，即可利用奈奎斯稳定判据进行分析。
制作用。还有些系统中有意地利用饱和特性作信号限幅, 限制
某些物理参量, 保证系统安全合理地工作。
一、死区（不灵敏区）
死区又称不灵敏区, 通常以阈值、分辨率等指标衡量。 死区 特性。常见于测量、放大元件中, 一般的机械系统、 电机等, 都 不同程度地存在死区。其特点是当输入信号在零值附近的某一 小范围之内时, 没有输出。只有当输入信号大于此范围时, 才有 输出。 执行机构中的静摩擦影响也可以用死区特性表示。控制 系统中存在死区特性, 将导致系统产生稳态误差, 其中测量元件 的死区特性尤为明显。摩擦死区特性可能造成系统的低速不均 匀, 甚至使随动系统不能准确跟踪目标。
2、判据内容： 在开环幅相特性平面上，画出线性特性 G(jω )曲线(最小相位)。
1）若G(jω )轨迹不包围非线性负倒特性–1∕N（A）,则此非线性系统稳定 2）若G(jω )轨迹包围–1∕N(A），则非线性系统不稳定。 3）若G(jω )与–1∕N（A）相交，则在交点处，系统处于临界稳定，可能 产生周期持续震荡，这种持续震荡可以用正弦振荡来近似，其振荡的振幅和 频率可以分别用交点处–1∕N（A）轨迹上的A 值，G(jω )曲线上对应的ω 值来表征。
其数学表达式为：
ka
x2
kx1
ka
x1 a x1 a x1 a
x2
k
a 0a
x1
饱和也是一种常见的非线性, 在铁磁元件及各种放大器中都
存在, 其特点是当输入信号超过某一范围后, 输出信号不再随输
入信号变化而保持某一常值。饱和特性将使系统在大信号作用
之下的等效增益降低, 深度饱和情况下, 甚至使系统丧失闭环控
6.
利用计算机模拟, 可以满意地解决实际工程中相当多的非 线性系统问题。这是研究非线性系统的一种非常有效的方法, 但它只能给出数值解, 无法得到解析解, 因此缺乏对一般非线 性系统的指导意义。
注意： 非线性常微分方程没有相同的求解方法，求解三阶
以上系统方程困难； 不能用叠加原理； 本质非线性，即不能用小偏差方法进行线性化。 研究非线性系统并不需求得其时域响应的精确解，
由于x(t)为单值对称函数，故有
A1 0, A0 0
B1
1
2
x(t) sin wtd (wt)
0
4
1 k Asin wt sin wtd (wt )
0
2 1
b
s in
wtd
(wt )
4
1 0
k A sin 2 2
wtd
(wt