2019-2020学年上海市中学高一上学期期末数学试题及答案解析

2019-2020学年上海市中学高一上学期期末数学试题及答
案解析
一、单选题
1．已知复数113z i =+，23z i =+（i 为虚数单位），在复平面内，12z z -对应的点在（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 【答案】B
【解析】利用复数的减法求出复数12z z -，即可得出复数
12z z -对应的点所在的象限.
【详解】
复数113z i =+，23z i =+，()()1213322z z i i i ∴-=+-+=-+， 因此，复数12z z -在复平面内对应的点在第二象限. 故选B. 【点睛】
本题考查复数的几何意义，同时也考查了复数的减法运算，利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.
2．设点M 、N 均在双曲线22
:143x y C -=上运动，1F 、2F 是双
曲线C 的左、右焦点，则122MF MF MN +-的最小值为（ ） A ．
B ．4
C ．
D ．以上都不
对
【解析】根据向量的运算，化简得
1212222MF MF MN MO MN NO
+-=-=，结合双曲线的性质，即可求
解. 【详解】
由题意，设O 为12,F F 的中点， 根据向量的运算，可得1
2
2222MF MF
MN MO MN NO
+-=-=，
又由N 为双曲线22
:143x y C -=上的动点，可得NO a ≥，
所以1
2
2224MF MF
MN NO a +-=≥=，
即1
2
2MF MF
MN
+-的最小值为4.
故选：B. 【点睛】
本题主要考查了向量的运算，以及双曲线的标准方程及简单的几何性质的应用，其中解答中利用向量的运算，合理化简，结合双曲线的几何性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 3．已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C
交于A ，B 两点.若222AF F B =││││，1AB BF =││││，则C 的方程为
A ．
2
212
x y += B ．22
132x y += C ．22
143x y += D ．22
154x y +=
【答案】B
【解析】由已知可设2F B n =，则2
12,3AF n BF AB n ===，得
12AF n =，在1AF B △中求得11
cos 3
F AB ∠=
，再在12AF F △中，由余
弦定理得n =，从而可求解.
法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，
由椭圆的定义有12
1224,22a
BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在
1AF B △中，由余弦定理推论得22214991
cos 2233
n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在
12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅
=，解得32
n =． 2222423,3,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为
22
132
x y +=，故选B ．
法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭
圆的定义有12
1224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和
12BF F △中，由余弦定理得22212
2
2144222cos 4,422cos 9n n AF F n n n BF F n
⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩，又
2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得3
n =
．2222423,3,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22
132x y +=，故选
B ．
【点睛】
本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑
二、填空题
4．椭圆22
154x y +=的焦距等于________
【答案】2
【解析】根据椭圆方程，求出,a b ，即可求解. 【详解】
设椭圆的焦距为2c ，椭圆方程为22
154x y +=， 225,4,1a b c ∴==∴=.
故答案为:2. 【点睛】
本题考查椭圆标准方程及参数的几何意义，属于基础题.
5．双曲线22
1169x y -=的两条渐近线的方程为________.
【答案】34
y
x 【解析】令22
0169x y -=解得结果
【详解】
令22
0169x y -=解得两条渐近线的方程为34
y
x 【点睛】
本题考查双曲线渐近线的方程，考查基本分析求解能力，属基础题.
6．若线性方程组的增广矩阵是123c ⎛⎫
⎪，其解为1x =⎧⎨，则
12c c +=________
【答案】6
【解析】本题可先根据增广矩阵还原出相应的线性方程
组，然后将解1
1x y =⎧⎨=⎩
代入线性方程组即可得到1c 、2c 的值，
最终可得出结果． 【详解】
解：由题意，可知：此增广矩阵对应的线性方程组为：
1223x y c y c +=⎧⎨=⎩
， 将解1
1x y =⎧⎨=⎩
代入上面方程组，可得：
12
51c c =⎧⎨=⎩． 126c c ∴+=．
故答案为：6． 【点睛】
本题主要考查线性方程组与增广矩阵的对应关系，以及根据线性方程组的解求参数．本题属基础题． 7．已知复数22i
z i
+=，则z 的虚部为________．
【答案】-1
【解析】先根据复数的除法中的分母实数化计算出z 的结果，然后根据z 的结果直接确定虚部. 【详解】 因为()222421
22242
i i i i z i i i i +⋅+-=
===-⋅-，所以z 虚部为1-.
【点睛】
（1）复数的除法运算，采用分母实数化的方法，根据“平方差公式”的形式完成分母实数化；
（2）复数z a bi =+，则z 的实部为a ，虚部为b ，注意实、虚部都是数值.
8．圆22240x y x y +-+=的圆心到直线3450x y +-=的距离等于________。

【答案】2
【解析】先根据圆的一般方程确定圆的圆心，然后根据点到直线的距离公式计算圆心到直线的距离. 【详解】
因为圆的方程为22240x y x y +-+=即()()2
2
125x y -++=，所以圆
心为()1,2-，
则圆心到直线的距离2d ==.
故答案为：2. 【点睛】
本题考查根据圆的一般方程确定圆心以及点到直线的距离公式的运用，难度较易.由圆的一般方程确定圆心可考虑先将圆的一般方程化为标准方程然后直接得到圆心坐标
9．若复数3
z =（a ∈R ），若2
||3
z =
，则a =________ 【答案】
【解析】根据模长的性质，求出||z 且等于2
3，即可求解. 【详解】
3
3
2
22
||||13
z a ====+, 解得
a =故答案为:
【点睛】
本题考查复数的模长，注意模长性质的应用，属于基础题. 10．已知向量()=1,2a ，()=2,2b -，()=1,c λ．若()2+c
a b ，则
λ=________．
【答案】12
【解析】由两向量共线的坐标关系计算即可． 【详解】
由题可得()24,2a b +=
()
//2,c a b + ()1,c λ=
4λ20∴-=,即1λ2
=
故答案为1
2
【点睛】
本题主要考查向量的坐标运算，以及两向量共线的坐标关系，属于基础题．
11．参数方程2cos 2sin x y θ
θ=⎧⎨=+⎩
（θ为参数，且R θ∈）化为普通方
程是_____ 【答案】23x y +=
【解析】由题得
22
2
cos
2sin
x
y
θ
θ
⎧=
⎨
-=
⎩
，再把两式相加即得参数方程
的普通方程. 【详解】
由题得
22
2
cos
2sin
x
y
θ
θ
⎧=
⎨
-=
⎩
，两式相加得22
21,3
x y x y
+-=∴+=.
所以普通方程为23
x y
+=.
故答案为:23
x y
+=
【点睛】
(1)本题主要考查参数方程化普通方程，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 参数方程消参
常用的方法有三种.①加减消参：直接把两个方程相加减即可消去参数.②代入消参：通过其中的一个方程求出参数的值，再代入另外一个方程化简.③恒等式消参：通过方程计算出sin cos
αα
、，再利用三角恒等式22
sin cos1
a a
+=消去参数.
12．已知直线0
ax by c与圆22
:1
O x y
+=相交于A、B两点，且
||
AB=OA OB
⋅=________
【答案】1
2
-
【解析】根据已知求出AOB
∠，用向量数量积公式，即可求解.
【详解】
直线0
ax by c与圆22
:1
O x y
+=相交于A、B两点，
||||1,||
OA OB AB
===AB中点D，则⊥
OD AB，
cos ,226
OAB OAB OAB ππ∠=
<∠<∴∠=，
221
,||||cos cos 332
AOB OA OB OA OB AOB ππ∴∠=⋅=∠==-.
故答案为:12-.
【点睛】
本题考查直线与圆的关系，注意半弦长、圆心距与半径关系，考查向量的数量积，属于中档题.
13．若椭圆22
142x y +=上一动点(,)M x y 到定点(,0)N m （02m <<）
的距离||MN 的最小值为1，则m =________ 【答案】1
【解析】求出||MN ，结合椭圆方程将2y 用x 表示，利用二次函数求出其最小值且等于1，即可求解. 【详解】
(,)M x y 在椭圆22142x y +=，222,222
x y x =--≤≤，
||MN ==
=
，02m <<， 当01m <≤时，2x m =，
min ||1,1MN m ===，舍去负值；
当12m <<时，min 2,||21,1x MN m m ==-==，舍去. 故答案为:1. 【点睛】
本题考查椭圆上的动点到定点的距离，注意应用二次函数
求最值以及分类讨论，属于中档题.
14．设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则PA PB ⋅的最大值是 ． 【答案】5
【解析】试题分析：易得(0,0),(1,3)A B .设(,)P x y ，则消去m 得：
2230x y x y +--=，所以点
P 在以AB 为直径的圆上，PA PB ⊥，
所以2
22
|
|||10PA PB AB +==，
2
||52
AB PA PB ⨯≤=.
法二、因为两直线的斜率互为负倒数，所以PA PB ⊥，点P 的轨迹是以AB 为直径的圆.以下同法一. 【考点定位】1、直线与圆；2、重要不等式.
15．在平面直角坐标系xOy 中,点O 是坐标原点,点A(2,1),B(0,2),点P 在圆()
2
211x y -+=上运动,若OA xOB yOP =+，
则2x y +的最小值为________.
【答案】1
【解析】由圆的参数方程可设1cos sin x y θ
θ=+⎧⎨=⎩
（θ为参数），再
结合向量相等的坐标表示可得 1sin θ-
函数的有界性即可得解. 【详解】 解：因为点P 在圆()2
2
11x y -+=上运动,设1cos sin x y θ
θ=+⎧⎨=⎩
（θ为参
数），
又OA xOB yOP =+，则
()()2,1(0,2)cos ,sin x y y y θθ=++()cos ,2sin y y x y θθ=++，则
2
1cos y θ
=+ ，2sin 11cos x θ
θ=-+，
所以2x y +=4sin 21cos θθ-
+2
1cos θ
+
+=1sin 12
1cos θθ
-++，
令1sin 1cos t θ
θ-=+，则sin cos 1t t θθ+=-，
则
)1t θϕ+=-1t
≥-，
解得0t ≥， 故1sin 01cos θ
θ
-≥+，即当
1sin 01cos θ
θ
-=+时，2x y +的最小值为1201+⨯=， 故答案为：1. 【点睛】
本题考查了圆的参数方程、向量相等的坐标表示及三角函数的有界性，重点考查了运算能力，属中档题.
16．关于x 、y 的二元一次方程组50
234x y x y +=⎧⎨+=⎩
，其中行列式x
D 为（ ） A ．
0543
- B ．
1024
C ．
05
43
D ．
05
43
- 【答案】C
【解析】根据行列式x D定义，即可求解. 【详解】
关于x、y的二元一次方程组
50 234
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，
其中行列式x D为05 43
.
故选:C
【点睛】
本题考查二元一次方程组与行列式关系，属于基础题.
三、解答题
17．设z为关于x的方程20
x mx n
++=（,m n∈R）的虚根，i为虚数单位.
（1）当1i
z=-+时，求m、n的值；
（2）若1
n=，在复平面上，设复数z所对应的点为P，复数24i
+所对应的点为Q，试求||
PQ的取值范围.
【答案】（1）
2
m n
==；（2）1].
【解析】（1）将1i
z=-+代入方程，,m n∈R，利用复数相等，得出关于,m n的方程组，即可求解；
（2）设(,)
z a bi a b R
=+∈代入方程210
x mx
++=方程，求出复数z 所对应的点(,)
P a b的轨迹，根据∆<0，求出m范围，利用几何法，即可求出结论.
【详解】
（1）1i
z=-+为方程20
x mx n
++=（,m n∈R）的虚根，2
(1)(1)(2)0
i m i n m n m i
-++-++=-++-=，
解得2m n ==；
（2）设(,z a bi a b R =+∈且0)b ≠是210x mx ++=的虚根，
240,22m m ∆=-<∴-<<， 2()()10a bi m a bi ++++=， 221(2)0a b ma ab mb -++++=，
222
240,,,124
m m b a b a b -≠∴=-=+=，
复数z 所对应的点P 在单位圆上（去掉(1,0)±，
复数
24i +所对应的点为||(2,4),Q OQ =
所以||PQ 的范围为
1].
故答案为:
1].
【点睛】
本题考查复数相等求参数及轨迹方程，以及复数几何意义，考查用几何法求定点到圆上点的距离，属于中档题.
18．过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于点A 、B （其
中点A 在第一象限），交其准线l 于点C ，同时点F 是AC 的中点.
（1）求直线AB 的倾斜角； （2）求线段AB 的长.
【答案】（1）3
π
；（2）16
3
【解析】（1）根据F 是AC 的中点计算出A 点坐标，由,A F 两点的坐标即可求解AB 的斜率，再根据斜率与倾斜角关系从而可求倾斜角；
（2）联立直线与抛物线方程，求解出,A B 的坐标，利用点
到点的距离公式即可求解AB 的长. 【详解】
（1）依题意：(1,0)F ，准线l ：1x =-，设1
122(,),(,)A x y B x y ，
设0(1,
)C y -，
由已知可得
1
112
x -+=，故13x =，代入24y x =，得10
y =>，
故
AB AF k k ==
=，直线AB 的倾斜角为3
π；
（2）由24y x =与1)y x =
-联立可得231030x x -+=，解得：
3x =或13，
所以
1
(,3A B ，故
16||3AB .
（或1
2
1016
||||||(1)(1)233
AB AF BF x x =+=+++=
+=）
【点睛】
抛物线的焦点弦的计算除了可以利用弦长公式求解之外，还可以利用抛物线的焦半径公式求解焦点弦的弦长：已知交点为()()1122,,,A x y B x y ，若抛物线的焦点在x 轴上，则
()12AB x x p =±++，若焦点在y 轴上，则()12AB y y p =±++.
19．直线1y kx =+与双曲线2231x y -=相交于不同的两点A,B . （1）求实数k 的取值范围；
（2）若以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，求实数k 的值.
【答案】（1）((k ∈⋃⋃
；（2）1k =±.
【解析】（1）由直线1y kx =+与双曲线2231x y -=，消去y ，利用判别式大于零得不等式，解出即可；
（2）以线段AB 为直径的圆经过坐标原点转化为0OA OB ⋅=，
即12120x x y y +=，整理后代入根与系数关系求解实数k 的值． 【详解】
解：（1）由直线1y kx =+与双曲线2231x y -=，
得()22
3220k x kx ---=，
所以22230
48(3)0k k k ⎧-≠⎨∆=+->⎩
，
解得((k ∈⋃⋃
；
（2）以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，设
()()1122,,,A x y B x y ，
则0OA OB ⋅=，即12120x x y y +=，
()
()1212110x x kx kx ∴+++=，
即()
()2
1212110k
x x k x x ++++=，
()
222
22k
k 1k 033k k
-∴+⋅
+⋅=--， 整理得21k =，符合条件， ∴1k =±． 【点睛】
本题主要考查了直线与双曲线的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系解题，是处理这类问题的最为常用的方法，训练了利用直线斜率的关系判断两直线的垂直关系，是中档题．
20．已知两点1(2,0)F -、2(2,0)F ，动点P 在y 轴上的射影是H ，
且2121
2PF PF PH ⋅=.
（1）求动点P 的轨迹方程；
（2）设直线1PF 、2PF 的两个斜率存在，分别记为1k 、2k ，
若121
2k k =，求点P 的坐标；
（3）若经过点(1,0)N -的直线l 与动点P 的轨迹有两个交点
T 、Q ，当4
||||||7
NT NQ -=
时，求直线l 的方程. 【答案】（1）22
184x y +=；（2
或1)-
或(
或(1)-；（3
）1)y x =+
或1)y x =+.
【解析】
（1）设(,)P x y 得(0,)H y ，用坐标表示2121
2PF PF PH ⋅=，求出轨
迹方程为22
184x y +=；
（2）由1212
k k =，求出,x y 关系，与椭圆方程联立，即可求解；
（3）设出直线l 方程，与椭圆方程联立，消去x ，得到关于y 的一元二次方程，由根与系数关系，得出,T Q 两点纵坐标关系，将||||||NT NQ -转化为,A B 纵坐标表示，即可求解. 【详解】
（1）设(,)P x y ，则12(0,),(2,),(2,)H y PF x y PF x y =---=--，
22221211
(,0),422
PH x PF PF x y PH x =-⋅=-+=
=， 22
184
x y +=∴，即为所求的轨迹方程； （2）直线1PF 、2PF 的两个斜率存在，2x ≠±
2221221,242242
y y y k k x y x x x =⋅===+-+-，
联立22
2218424
x y x y ⎧+
=⎪⎨⎪=+⎩
解得2261x y ⎧=⎨=⎩
，即1x y ⎧=⎪⎨=±⎪⎩，
所以P
坐标为
或1)-
或(
或(1)-；
（3）若直线l 斜率为0，||||||2NT NQ -=，不合题意， 设直线l 方程为1x my =-，
联立221
28x my x y =-⎧⎨+=⎩
，消去x 得
222(2)270,32560m y my m +--=∆=+>，
设11221212
2227
(,),(,),,22
m T x y Q x y y y y y m m +=
=-++，
1212||||||1|||||NT NQ y y y y -=+-+，
2
2||4
27
m m ==+，整理得424533160m m +-=， 2221(31)(1516)0,,
3m m m m -+==∴=，
所求的直线方程为
1)y x =+或1)y x =+.
【点睛】
本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，要熟练掌握根与系数关系设而不求方法求相交弦问题，属于中档题.
21．已知两点1(F 、2F ，动点(,)M x y 满足
12|||4|MF MF +=，记M 的轨迹为曲线C ，直线:l y kx =（0k ≠）
交曲线C 于P 、Q 两点，点P 在第一象限，PE x ⊥轴，垂足为E ，连结QE 并延长交曲线C 于点G .
（1）求曲线C 的方程，并说明曲线C 是什么曲线； （2）若2k =，求△PQG 的面积；
（3）证明：△
PQG 为直角三角形.
【答案】（1）22
142x y +=，轨迹是以0)、(为焦点的
椭圆；（2）40
27；（3）证明见解析.
【解析】（1）1212|||||4|MF MF F F +=>，根据椭圆定义，即可求出方程；
（2）设111(,),0,0P x kx x k >>，可得111(,),(,0)Q x kx E x --，求出QE 方程，与椭圆方程联立求出G 点坐标，再将2y x =与椭圆方程联立，求出,,P Q G 坐标，即可求解；
（2）根据（2）中G 点坐标求出PG 斜率，即可证明结论. 【详解】
（1）1212|||||4|MF MF F F +=>，
M
点轨迹就是以12(F F 为焦点的椭圆，
其方程为22
142x y +=；
（2）设111(,),0,0P x kx x k >>，则111(,),(,0)Q x kx E x --， 直线QE 方程为1()2
k
y x x =
-， 联立122()2240k y x x x y ⎧
=-⎪⎨⎪+-=⎩消去y 得，
2222211(2)280k x k x x k x +-+-=，①
设221(,),G x y x -为方程①的解，
2221111
21212222232,222
k x k x k x x x x x x k k k +-=∴=+=
+++，
323111122122
232(),(,)2222
k x k x x k x k
y x x G k k k +=-=+++， 联立22224y x x y =⎧⎨+=⎩，解得2343x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或23
43x y ⎧
=-⎪⎪⎨⎪=-
⎪⎩， 2424148
(,),(,),(,)333399
P Q G --， 1414240
()239327
PQG S ∆=⨯+=；
（3）由（2）得23111
2232(,)22k x x k x G k k +++，
31
12
122111122123222
PG
k x kx kx k k k x x k x k x k -+===-+--
+， PQ PG ∴⊥，即△PQG 为直角三角形.
【点睛】
本题考查椭圆定义求标准方程，考查直线与椭圆位置关系，考查计算求解能力，属于中档题.。