九年级数学圆心角_弧_弦_弦心距的关系课件人教版

求证∠AOB=∠BOC=∠AOC.
A
证明： ∵ AB=AC． ∴ AB=AC． 又∠ACB=60°， ∴ △ABC是等边三角形.
B O
·
C
∴ AB=BC=CA.
∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
例2：如图，在⊙O中，弦AB所对的劣弧为圆的
1 3
，圆的半径为4cm，求AB的长
O
A C
B
A
知识延伸
B
A P C D O M
（1） 变式1：如图（2），∠P的两边与⊙O交与 A、B、C、D，AB=CD 求证：点O在∠BPD的平分线上
A P
B
O C D
（2）
变式2：如图（3），P为⊙O上一点，PO平分∠APB， 求证：PA=PB A
P O (3) B 变式3：如图（4），当P在⊙O内时，PO平分∠BPD，在⊙中还 存在相等的弦吗？ B C P A D O
5.如图，AB是⊙O的直径， ⌒ = ⌒ = ⌒ , ∠COD=35°， BC CD DE 求∠AOE的度数．
解： E D C
⌒
= ⌒ = ⌒ BC CD DE
BOC=COD=DOE=35
A
O
·
AOE 180 3 35

B

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∵把圆心角等分成360份,则每一份的圆心 角是1º .同时整个圆也被分成了360份.
（4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？ 为什么？ OE OF , E B 证明： OE AB, OF CD A 1 1 AE AB, CF CD O 2 2 D 又 AB＝CD AE＝CF F 又 OA＝OC Rt AOE Rt COF C OE OF .
如图，AC与BD为⊙O的两条互 相垂直的直径. ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 求证：AB=BC=CD=DA; AB=BC=CD=DA. 证明: ∵AC与BD为⊙O的两条互相垂直的直径, ∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOA=90º ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ∴ AB=BC=CD=DA AB=BC=CD=DA(圆心角定理)
O
D
C
点此继续
练习1
如图，已知AB、CD为 ⊙O的两条弦， AD=BC ，求证AB＝CD.
C B O D A
练习2
已知：AB是⊙O的直径，M.N是AO.BO的 中点。CM⊥AB,DN⊥AB,分别与圆交于 C.D点。 求证：AC=BD Ｄ Ａ Ｍ
O
·
Ｎ
Ｂ
Ｃ
例2：已知如图（1）⊙O中，AB、CD为⊙O的弦， ∠1= ∠2，求证：AB=CD B C
∴ 与A’B’ 重合，AB与A′B′重合． AB ∴
AB=A’B’
AB A ' B '.
三、圆心角与弧、弦的关系定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦相等。
在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角 相等 相等 _____， 所对的弦________；
同圆或等圆中， 两个圆心角、两 在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角 条弧、两条弦中 有一组量相等， 相等 相等 ______，所对的弧_________． 它们所对应的其 余各组量也相等．
一、概念
圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.
A O· B
O
弦心距：圆心到弦的距离。
A D B
1、判别下列各图中的角是不是圆心角，
并说明理由。
①
②
③
④
二、 探究
如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A’OB’的位置， 你能发现哪些等量关系？为什么？
A′ B B′ B′
A′ B
O
·
A
O
·
A
根据旋转的性质，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位 置时， ∠AOB＝∠A′OB′，射线 OA与OA′重合，OB与OB′重 合．而同圆的半径相等，OA=OA′，OB=OB′，∴点 A与 A′重 合，B与B′重合．
·
下面的说法正确吗?为什么? 如图,因为 AOB AOB 根据圆心角、弧、 弦的关系定理可知：
AB AB
A
A
⌒
⌒
O
B
B
练习1
1.下列命题中真命题是（ ） A。相等的弦所对的圆心角相等。 B、圆心角相等，所对的弧相等。 C、在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等。 D、长度相等的弧所对的圆心角相等。
2、在⊙O中， AB = AＣ ，∠B=70°，则∠A= ＿＿＿
Ｂ ３、如图：AB为⊙O的直径， = CD = DE ， BC ∠COD=35°， 则∠AOE=＿＿＿＿度。 A E D C
Ａ
Ｏ
Ｃ
o
B
4.如图：已知OA.OB是⊙O中的两条半径，
且OA⊥OB,D是弧AB上的一点，AD的延长 线交OB延长线于C。已知∠C=250，求圆心 角∠DOB的度数， Ａ Ｄ Ｏ Ｂ Ｃ
练习
如图，AB、CD是⊙O的两条弦．
AOB COD AB CD （1）如果AB=CD，那么___________，_________________．
（2）如果
AOB COD AB=CD AB CD ，那么____________，_____________．
AB=CD （3）如果∠AOB=∠COD，那么_____________，_________． AB CD
则每一份这样的弧叫做1º 的弧. 这样,1º 的圆心角对着1º 的弧, 1º 的弧对着1º 的圆心角.
n°弧
n°
1°
1°弧
n º 的圆心角对着nº 的弧,
n º 的弧对着nº 的圆心角.
性质:弧的度数和它所对圆心角的度数相等.
小结
四、例题选讲
例1 如图, 在⊙O中， AB AC ，∠ACB=60°，
变式练习1： 如图（1），已知弦AB=CD， 求证： ∠1= ∠2
A
2 1
O
D
（1） 变式练习2：如图（2）， ⊙O中，弦AB=CD， 求证：BD=AC A D
变式练习3：如图（2）， ⊙O中，弦BD=AC， 猜测∠A与∠D的数量关系。
O B （２） C
例3：已知：如图（1），已知点O在∠BPD的角平分线PM 上，且⊙O与角的两边交于A、B、C、D， 求证：AB=CD B
（４）
思考
如图，⊙O在△ABC三边上截得的弦长相 等，∠A=70°， A 则∠BOC=＿＿＿度。
O
B
C
解：过O作OM⊥AB，ON⊥AC，OP⊥BC， 垂足分别为M，N，P ∵∠A=70°，∠B+∠C=180°-∠A=110° ∵⊙O在△ABC三边上截得的 弦长相等， ∴OM=ON=OP， ∴O是∠B，∠C平分线的交点 ∴∠BOC=180°-12（∠B+∠C） =180°-12×110°=125°．