初三数学上册课本第一讲

证明(二)
_______年_____月______ 日
1、你能证明它吗？
(1)三角形全等的性质及判定
全等三角形的对应边_______ ，对应角也________. 判定： _____________________________________. (2)等腰三角形的判定、性质及推论
性质：等腰三角形的两个底角相等(等边对等角)
判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形(等角对等边)
推论:三线合一是指： ____________________________________________. (3)等边三角形的性质及判定定理
性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于 60 度；等边三角形 的三条边都满足 “三线合一”的性质； 等边三角形是轴对称图形， 有 3 条对称轴。

判定定理：有一个角是 60 度的等腰三角形是等边三角形。

或者三个角都相等的 三角形是等边三角形。

(4)含 30 度的直角三角形的边的性质
定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30 度，那么它所对的直角边等于斜 边的一半。

2、直角三角形
(1)勾股定理及其逆定理
定理： _____________________________________________________________ 。

逆定理： ___________________________________________________________ 。

(2)命题包括已知和结论两部分；逆命题是将倒是的已知和结论交换；正确的 逆命题就是逆定理。

(3)直角三角形全等的判定定理
定理： ________________________________________ (HL) 3、线段的垂直平分线
(1)线段垂直平分线的性质及判定
性质： __________________________________________________ 。

判定： __________________________________________________ 。

(2)三角形三边的垂直平分线的性质
三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。

所在学校
第几单元/ 课
1，熟练掌握一些性质，定理，定义。

2，会运用性质，定理解题。

学生姓名
出题时间
主要目标
所在年级班别
备课标题
(3)如何用尺规作图法作线段的垂直平分线
分别以线段的两个端点 A 、B 为圆心， 以大于 AB 的一半长为半径作弧，两弧交 于点 M 、N ；作直线 MN ，则直线 MN 就是线段 AB 的垂直平分线。

4、角平分线
(1)角平分线的性质及判定定理
性质:___________________________________________________________ 。

， 判定： __________________________________________________________ 。

(2)三角形三条角平分线的性质定理
性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。

(3)如何用尺规作图法作出角平分线
一、填空题：
1、如果等腰三角形的一个底角是 80°，那么顶角是度。

2、命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是 。

3、在△ABC 中， 边 AB 、BC 、AC 的垂直平分线相交于 P ， 则 PA 、PB 、PC 的大小关 系是。

4、三角形三边长为 6 、8、 10，则这个三角形的面积是 ；直角三角形 的两边分别为
5、 12，则另一边的长为 。

5、 已知线段 AB 的垂直平分线是 l ， P 是 l 上的一点， 如果 PA ＝7， ∠A＝60o ， 那 么 PB ＝ ，∠B ＝ ，△PAB 是 三角形。

y
B(0,4)
l
P
A D
x A(2,0)
第 5 题图 第 6 题图 第 7 题图
6、如图， 已知点 A(2,0)，B(0,4)，△AOB 与△BOC，则点 C 的坐标是 。

7、如图，点 F 、C 在线段 BE 上，且∠1=∠2， BC=EF ，若要使△ABC ≌△DEF，则 还须补充一个条件。

(只要填一个) 8、直角三角形两条直角边的平方和等于 。

9、 已知： 如图， P 、Q 是△ABC 边 BC 上两点， 且 BP ＝PQ ＝QC ＝AP ＝AQ ， ∠A PQ ＝ °， ∠B A
＝°，∠BAC ＝
°。

10 、用反证法证明命题“在一个三角形中， 至少有 一个内角不 小于 60o ”，假设为 B P Q C 。

二、选择题：
11、下列判断正确的是 ( )
A 、有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等
C O
A B
B
F
E
2
1
B 、有两边对应相等，且有一角为 30°的两个等腰三角形全等
C 、有一边对应相等的两个直角三角形全等
D 、有两角和一边对应相等的两个三角形全等
12、等腰三角形的一边为 4，另一边为 9，则这个三角形的周长为( ) A 、 17 B 、22 C 、 13 D 、 17 或 22
13、△ABC 中，点 O 为∠ABC 和∠ACB 角平分线交点， 则∠BOC 与∠A 的关系是( ) A 、∠BOC =2∠A B 、∠BOC =180o - 2
∠A
C 、∠BOC =90o + ∠A
D 、∠BOC=900+
2
∠A
14 、如图， 在△ABC 中， ∠A＝50°， AB ＝AC ， AB 的垂直平 分线 DE 交AC 于 D ，则∠DBC 的度数是 ( ) A 、 15° B、20° C 、30° D 、25°
15、如图，小明从 A 地沿北偏东 30°方向走 100m ，到 B 地
再从 B 地向西走 200m 到 C 地，这时小明离 A 地 ( ) C B A 、150m B 、100 3 m C 、100m D 、50 3 北 m
三、操作题： A 东 16 、如图已知∠AOB 内有两点， M 、N 求作一点 P ， 使点 P 在
∠AOB 两边距离相等，且到点 M 、N 的距离也相等，保留作图痕迹并完A 成填空。

解： (1)连结 ；
作 (2)作∠AOB 的 与 CD 交于点 所以点 垂直平分线 CD 。

OE ，
就是要找的点。

O ● N B
17、如图(1)是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为 a
和 b ，斜边长为 c 。

图(2)是以 c 为直角边的等腰直角三角形。

请你开动脑筋， 将它们拼成一个能证明勾股定理的图形 (3)
M 1 1 ●
四、解答题：
18 、证明定理：等腰三角形的两个底角相等。

(画出图形、写出已知、求证并证明)
19 、如图，在△AFD 和△BEC 中，点 A、E、F、C 在同一直线上，有下面四个论断：
(1) AD=CB； (2)AE=CF；(3) ∠B= ∠D；(4)AD∥BC。

请用其中三个作为条件，余下一个作为结论，编一道数学问题，并写出解答
过程。

条件为：结论为：证明：A D
E
F
B C
20、等腰三角形的底边长为 20，有一个内角为30°，求底边上的高。

21、如图，在ΔABC 中， AC=BC，∠C=90º， AD 是ΔABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为 E，
(1)已知 CD=4cm，求 AC 的长； (2)求证： AB=AC+CD。

A
C D E
B
一、填空题：
1、命题“互余的两个角一定是锐角”是____命题(填“真”或“假” ) 。

2 、命题：“相等的角是对顶角”的题设是________， 结论是____。

3、 “等腰三角形的底角相等”的逆命题是________________。

4 、用反证法证明：“直角三角形的两个锐角互余”时， 应先假设______。

5、在△ABC 中， a ＝3， b ＝4， c ＝5，则∠C ＝____。

6、等腰三角形的两边长分别是 3cm 和 7cm ，则其周长为____。

7、如图，已知 AD ∥BC ，∠1＝∠2，且∠1＝50°，则∠B ＝____。

8、在 □ ABCD 中，∠A ＋∠C ＝200°，则∠B ＝____。

9、矩形的面积为 48cm 2 ，其中一边长为 6cm ，则对角线长为____。

10、梯形中位线长 10，一对角线把它分成 2 ∶ 3，则梯形较长的底边为
_
_
_
_。

11、如图，已知 AB ∥CD ，则∠α＝____。

12、如图，已知∠1＝∠2，若再加一个条件就能使结论“ AB ·DE ＝
FE ·BC ”成立，则这个条件可以是________。

)1 ) 2 二、选择题： (每题 4 分，共 24 分) C
1、若 ∠1 和 ∠2 是同旁内角，是 ∠1＝30°，则 ∠2 为( )
A 、30°
B 、 150°
2、下列命题中，是其命题的有(
A 、两锐角之和是锐角 C 、钝角大于它的补角 3、下列判断正确的是( )
C 、30°或 150°
D 、无法确定 ) A 120(°B B 、钝角减去锐角得锐角 α(
E D 、锐角小于它的余角 C (25° D A 、对角线相等的四边形是矩形 B 、四边都相等的四边形是正方形 C 、对角线互相垂直的四边形是菱形 D 、对角线互相平分的四边形是平行四 A F
1( (2
C D
4、 直角三角形中， 两条直角边长分别是 5 和 12，则斜边上的中线长是 ( )
A 、26
B 、6.5
C 、8.5
D 、 13
5、一个菱形的两条对角线长分别是 6cm 、8cm ，则它的面积是( )
A 、48cm 2
B 、38cm 2
C 、24cm 2
D 、 12cm 2
6、等腰梯形的两条对角线互相垂直，中位线长为 8cm ，则它的高为( )
A 、4cm
B 、8 2 cm
C 、4 2 cm
D 、8cm 三、解答题：
1、已知： AB ∥CD ， ∠A ＝∠1，∠C ＝100°，求：∠2 的度数。

D C
E )1 2)
F A B
2 、如图， 已知： EF 平分∠BEG， GF 平分∠EGD， 且 EF⊥FG 求证： AB∥CD。

E
F
C D
G
A B
边形 A D
B
B
E
3、已知： AB ∥CD ， BF ∥ED ，是 AE ＝CF ，求证：△ABF ≌△CDE 。

4、求证：在一个三角形中，至多有两个内角大于 60°。

5、已知： □ ABCD 中， AE⊥BC 于 E ， CF⊥AD 于 F ，求证： AF ＝CE 。

A F
E C
6、在矩形 ABCD 中， F 是 DC 边上一点，且 AB ＝AF ， BE ⊥AF 于 E 。

求证： BE ＝AD 。

F
D C
E
└
A B
四、 如图， DE 是 □ ABCD 的∠ADC 的平分线， EF∥AD， 交 DC 于 F ， 求证： 四边形 AEFD 是菱形。

F
A
E B
五、已知等腰梯形 ABCD 中， AD ∥BC ，
① 若 AD ＝5， BC ＝11，梯形的高是 4，求梯形的周长。

② 若 AD ＝3， BC ＝7， BD ＝5 2，求证： AC⊥BD。

┘
┌
D C
D
B
六、已知：□ ABCD 中， E 是对角线 AC 上一点。

①在AC 上找出一点F，当满足条件____时，△ABE≌△CDF
② 请加以证明。

小测：
一填空题(每小题 3 分，共 18 分)：
1．在△ABC 中，∠A －∠ C ＝25 °，∠ B －∠A ＝10 °，则∠ B ＝；
2．如果三角形有两边的长分别为 5a， 3a，则第三边 x 必须满足的条件是；
3．等腰三角形一边等于 5，另一边等于 8，则周长是；
4．在△ABC 中，已知 AB＝AC， AD 是中线，∠B＝70°， BC＝15cm，则∠BAC＝，
∠DAC＝， BD＝ cm；
5．在△ABC 中，∠BAC＝90°，AD⊥BC 于 D，AB＝3，AC＝4，则 AD＝；6．在等腰△ABC 中， AB＝AC， BC＝5cm，作 AB 的垂直平分线交另一腰 AC 于 D，连结 BD，如果△BCD 的周长是 17cm，则△ABC 的腰长为 . 二判断题(每小题 3 分，共 18 分)：
1．已知线段 a，b，c，且 a＋b＞c，则以 a、b、c 三边可以组成三角形 ( ) 2．面积相等的两个三角形一定全等 ( ) 3．有两边对应相等的两个直角三角形全等 ( ) 4．有两边和其中一边上的高对应相等的两上三角形全等 ( ) 5．当等腰三角形的一个底角等于60°时，这个等腰三角形是等边三角形( )
6．一腰和底边对应相等的两个等腰三角形全等 ( ) 三选择题(每小题 4 分，共 16 分)：
1．已知△ABC 中，∠A ＝n°，角平分线 BE、CF 相交于 O，则∠BOC 的度数应为( )
1 1 1
(A) 90°－n ° (B) 90°＋n ° (C) 180°－n° (B) 180°－n °
2 2 2
2.下列两个三角形中，一定全等的是 ( )
(A)有一个角是40°，腰相等的两个等腰三角形 (B)两个等边三角形
(C)有一个角是100°，底相等的两个等腰三角形
(D)有一条边相等，有一个内角相等的两个等腰三角形
3．一个等腰三角形底边的长为 5 cm，一腰上的中线把其周长分成的两部分的差为 3 cm，则腰长为 ( )
(A) 2 cm (B) 8 cm (C) 2 cm 或 8 cm (D) 10 cm 4．已知：如图，在△ABC 中， AB＝AC， BC＝BD， AD＝DE＝EB，则∠A 的度数是( )
(A) 30° (B) 36° (C) 45° (D) 54°
已知：如图，AD 是△ABD 和△ACD 的公共边.求证：∠BDC ＝∠BAC ＋∠B ＋∠C.
A
B D
C
五 (本题 10 分)
已知 D 是 Rt△ABC 斜边 AC 的中点， DE⊥AC 交 BC 于E，且∠EAB ∶∠BAC＝
2 ∶5，求∠ACB 的度数.
六 (本题 10 分)
已知：如图，AB＝AC，CE⊥AB 于 E，BD⊥AC 于D，求证： BD＝CE.
已知：如图，在等边三角形 ABC 的 AC 边上取中点 D， BC 的延长线上取一点 E，使 CE ＝ CD．求证： BD ＝ DE．
八 (本题 10 分)
已知：如图，在等边三角形 ABC 中， D、E 分别为 BC、AC 上的点，且 AE＝CD，连结 AD 、BE 交于点 P，作BQ⊥AD，垂足为 Q．求证： BP＝2PQ.。