现代分析测试技术习题

现代分析测试技术习题
一道“材料现代分析方法”习题的详解提示
由左演生主编的《材料现代分析方法》中有一道习题（1-9）：已知某点阵|a|=3Å，|b|=2Å，gamma=60°，c//a×b,试用图解法求r110*与r210*。

这道题看似简单，要做好，尤其是思路清晰地做出来有较大难度。

下面给大家提供一种解题思路，希望有助于相关内容的学习。

第一，从已知条件中能读出多少内容：
1 从|a|=3Å，|b|=2Å，gamma=60°，c//a×b可以看出：这个点阵是一个简单单斜点阵；a、b俩基矢间的夹角为60°；c轴垂直于a、b俩基矢所在平面；|c|没给出。

2 所求倒易矢为r110*与r210*。

第二，理清思路：
根据倒易矢与相应正点阵晶面之间的关系可知，所求倒易矢的方向分别为正点阵中（110）和（210）晶面的法向，倒易矢模长分别为晶面间距d110和d210的倒数。

如果用a、b所在平面的二维坐标系表述该三维点阵，则c轴模长可以不须知，（110）和（210）晶面变成两组平行直线，平行直线间距分别就是d110和d210。

因此，只要根据条件画出（110）和（210）晶面，就可求出r110*与r210*。

第三，作图中应注意的两个问题：
1 任意坐标系中各条坐标轴的基准长度与单位长度的关系要理清。

我们以a 作为X轴的基矢，以b作为Y轴的基矢，则X轴的单位长度为3Å，Y轴的单位长度为2Å。

2 由于要求用图解法求解，因此作图要准、测量也要准。

具体体现在作图的比例要适当，图太小测量误差大；图太大作图纸面装不下也不行；两条坐标轴的基准长度要统一，否则前功尽弃。

作图后应将作图比例标出来，如：1Å：1cm。

第四，本题还牵涉到两个表述方式问题：
1 r110*与r210*是矢量。

其模长|r110*|与|r210*|分别是d110和d210的倒数，作图只能量出d110和d210，|r110*|与|r210*|需要计算。

2 r110*与r210*的方向必须标明，或者用晶向指数，或者用与X轴之间的夹角，或者用文字说明与所画晶面的关系。

参考图见附图。

晶体的倒易点阵
【目的】在倒易点阵的教学中不局限在“传道”和“授业”层面告诉学生倒易点阵“是什么”和“怎样用”。

更重要的是在“解惑”的层面上引导学生思考、回答“为什么如此”的问题。

在对倒易点阵理论的来龙去脉的追寻过程中，使学生认识倒易点阵的物理本质及其理论形成的必然性和逻辑性。

在教学过程中与学生一起体验和欣赏、探索发现和创造的过程。

从而，在专业基础课教学中做到既传授知识又能开阔思路、激发兴趣、启发灵感，培养学生的创新思维。

【意义】
倒易点阵的理论在衍射理论和量子力学（晶格振动、晶格热传导、能带理论中的近自由电子近似模型）中占据重要的地位。

对固体物理、材料物理、材料学等专业的学生来说，倒易点阵理论是重要的专业基础课。

【定义】
（1）“所谓倒易点阵，指的是在量纲为(L)−1的倒易空间内的另外一个点阵，它与正空间内某一特定的点阵相对应”；2
（2）“倒易点阵是在晶体点阵的基础上按照一定对应关系建立起来的空间几何图形，是晶体点阵的另一种表达形式”。

3
（3）倒易点阵的数学形式大都定义为：34
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⨯=⨯=⨯=)(1)(1)
(1213132321a a V b a a V b a a V b
(1) 式中321,,b b b 为倒易点阵原胞的基矢，321,,a a a 为晶体
原胞的基矢，V 为原胞的体积。

【性质与应用】
（1）倒易矢量321b l b k b h G
hkl ++=垂直于晶面
(hkl )；
（2）(hkl )界面族的面间距为1/|G hkl |；
（3）利用倒易点阵推导衍射的劳厄(Laue)衍射方程；
（4）衍射条件的厄瓦尔德(Ewald)图解法；等等。

【问题】
为什么在描述晶体周期性结构时要引入倒易点阵的概念？
为什么采用式(1)来定义倒易点阵？
（通过这些问题的讨论来认识倒易点阵的物理本质，以及倒易点阵理论在晶体学、量子力学等学科体系中出现的必然性和逻辑性，达到“解惑”的目的。

使学生不仅学到知识，而且还学到科学思想。

在教学过程中做到教师与学生一起欣赏科学的美感，从而培养学生的科学思辨能力并激发其创造性思维。

）
1）、晶体的微观周期性结构：
332211a n a n a n T ++=。

2）、电磁波（或)(2t r k i Ae
νπψ-⋅= ）的周期性：332211b m b m b m k ++=）。

3）、电磁波和晶体间相互作用：
表达式：)(2T r k i e +⋅π来表示；
定义：当k 具有T 的对称性时，则称k 为T 的
倒易点阵；
推论：k 具有T 的对称性 ♑ 衍射条件 ♑
),,(321a a a f b j =
4）、k 具有T 的对称性 ♑
r k i T r k i e e ⋅+⋅=ππ2)(2 ♑ i T k =⋅ （i
为整数）♑式(1)
以上所讨论的整体思路如图1所示，
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⨯=⨯=⨯=V a a b V a a b V a a b 213132321
倒 易 k 与T 具有相同周期性 数学表示 i T k =⋅
定 义 周期性结电磁波 晶 体 数学表示
名 称
图1、倒易点阵理论形成的逻辑性的示意图
∑==31i i i a m T
∑==31j j j b n k 正交归一❾ 交互 作用 倒 易 k 与T 具有相同周期性 数学表示 i T k =⋅
定 义 周期性结电磁波 晶 体 数学表示 名 称 图1、倒易点阵理论形成的逻辑性的示意图
∑==31i i i a m T ∑==31j j j b n k 正交归一❾ 交互 作用 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⨯=⨯=⨯=V a a b V a a b V a a b 213132321。