正弦定理和余弦定理教案

正弦定理和余弦定理教案
会昌中学 兰鹏
第一课时 正弦定理 (一) 课题引入
如图1．1-1，固定∆ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。

A 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。

能否
用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B (图1.1-1) (二) 探索新知
在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。

如图1.1-2，在Rt ∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角
三角函数中正弦函数的定义，有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1c
C c
==,
A
则
sin sin sin a
b
c
c A
B
C
=
=
= b c 从而在直角三角形ABC 中，
sin sin sin a
b
c
A
B
C
=
=
C a B
(图1.1-2)
思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ （让学生进行讨论、分析）
可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：
如图1.1-3，当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则sin sin a
b
A
B
=
， C
同理可得sin sin c
b
C B =
， b a 从而
sin sin a
b
A
B
=
sin c
C
=
A D B
(图1.1-3)
让学生思考：是否可以用其它方法证明这一等式？ 证明二：（等积法）在任意斜△ABC 当中 S △ABC =A bc B ac C ab sin 2
1sin 21sin 21== 两边同除以abc 2
1
即得：A a sin =B b sin =C
c
sin 证明三：（外接圆法）
a b
O
B C
如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ
∴
R CD D a
A a 2sin sin === (R 为外接圆的半径) 同理
B b sin =2R ，C
c
sin ＝2R 由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。

证明四：（向量法） 过A 作单位向量j 垂直于AC →
由 AC →
+ CB →
= AB →
两边同乘以单位向量j 得 j •(AC →
+CB →
)=j •AB →
则j •AC →
+j •CB →
=j •AB →
∴|j |•|AC →
|cos90︒+|j |•|CB →
|cos(90︒-C)=|j |•| AB →
|cos(90︒-A) ∴A c C a sin sin = ∴
A a sin =C
c
sin 同理，若过C 作j 垂直于CB →
得： C c sin =B b sin ∴A a sin =B b sin =C
c
sin 从而
sin sin a
b
A
B
=
sin c
C
=
类似可推出，当∆ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。

（让学生课后自己推导）
从上面的研究过程，可得以下定理
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
sin sin a
b
A
B
=
sin c
C
=
(三) 理解定理
(1) 正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =；
(2）
sin sin a
b
A
B
=
sin c
C
=
等价于
sin sin a
b
A
B
=
，
sin sin c
b
C
B
=
，
sin a
A
=
sin c
C
从而知正弦定理的基本作用为：
①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b A
a B
=
； ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如
sin sin a A B b
=。

一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。

(四) 例题剖析
例1．在∆ABC 中，已知032.0=A ，081.8=B ，42.9=a cm ，解三角形。

(课本p3，例1)
解：根据三角形内角和定理，
0180()=-+C A B
000180(32.081.8)=-+
066.2=；
根据正弦定理，
00
sin 42.9sin81.880.1()sin sin32.0==≈a B b cm A ； 根据正弦定理，
sin 42.9sin66.274.1().sin sin32.0==≈a C c cm A
例2．在∆ABC 中，已知20=a cm ，28=b cm ，040=A ，解三角形（角度精确到
01，边长精确到1cm ）。

(课本p4，例4)
解：根据正弦定理，
0sin 28sin40sin 0.8999.20
==≈b A B a
因为00＜B ＜0180，所以064≈B ，或0116.≈B (1) 当064≈B 时，
00000180()180(4064)76=-+≈-+=C A B ，
sin 20sin7630().sin sin40==≈a C c cm A (2) 当0116≈B 时，
00000180()180(40116)24=-+≈-+=C A B ，
sin 20sin2413().sin sin40==≈a C c cm A 评述：例1，例2都使用正弦定理来解三角形，在解三角形过程中都使用三角形内角和定理，可见，三角形内角和定理在解三角形中的重要应用。

应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。

(五) 课堂练习
第5页练习第1(1)、2(1)题。

(六) 课时小结(让学生归纳总结)
(1) 定理的表示形式：
sin sin a
b
A
B
=
sin c
C
=
=
()0sin sin sin a b c
k k A B C
++=>++；
或sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =(0)k >
(2) 正弦定理的应用范围：
①已知两角和任一边，求其它两边及一角； ②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。

第二课时 余弦定理
(一) 课题引入
如图1.1-4，在∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, C
已知a,b 和∠C ，求边c 。

b a
A c B
(图1.1-4)
(二) 探索新知
联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？ 用正弦定理试求，发现因A 、B 均未知，所以较难求边c 。

由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。

如图1．1-5，设CB a →
=，CA b →
=，AB c →
=，那么c=a-b ，
2||c =c ∙c=(a-b)
∙(a-b) A
=a
∙a + b ∙b -2a ∙b b c
从而 2222cos c a b ab C =+- C a B 同理可证 2222cos a b c bc A =+- (图1．1-5)
2222cos b a c ac B =+-
于是得到以下定理
余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。

即
2222cos a b c bc A =+-
2222cos b a c ac B =+- 2222cos c a b ab C =+-
让学生思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？
（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：
222
cos 2+-=
b c a A bc 222
cos 2+-=
a c
b B a
c 222
cos 2+-=
b a
c C ba
(三) 理解定理
从而知余弦定理及其推论的基本作用为：
①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边； ②已知三角形的三条边就可以求出其它角。

让学生思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？
（由学生总结）若∆ABC 中，C=090，则cos 0=C ，这时222=+c a b 由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。

(四) 例题剖析
例1 在△ABC 中，已知B =60 c m ，C =34 c m ，A =41°，解三角形(角度精确到1°，边长精确到1 c m ）。

(课本P7 例3)
解：根据余弦定理，
a 2=
b 2+
c 2-2bccosA =602+342-2·60·34cos41° ≈3 600+1 156-4 080×0.754 7 ≈1 676.82，
所以，a ≈41 c
由正弦定理得
sin C =
41
41sin 34sin ︒⨯=a A c ≈41656
.034⨯≈0.544 0.
因为C 不是三角形中最大的边，所以C 是锐角.利用算器可得
B=180°-(A+C)=180°-(41°+33°)
例2 在∆ABC 中，已知134.6=a cm ，87.8=b cm ，161.7=c cm ，解三角形。

解：由余弦定理的推论得：
cos 222
2+-=b c a A bc
222
87.8161.7134.6287.8161.7+-=
⨯⨯ 0.5543,≈
05620'≈A ；
cos 222
2+-=c a b B ca
222
134.6161.787.82134.6161.7+-=
⨯⨯
0.8398,≈ 03253'≈B ；
0000180()180(56203253)
''=-+≈-+C A B =09047'.
评述：例1和例2是对余弦定理及其推论的运用，加深对定理及其推论的理解和运用。

在利用余弦定理解三角形时，也要注意判断有两解的情况。

(五) 课堂练习
第8页练习第1(1)、2(1)题。

[补充练习]在∆ABC 中，若222a b c bc =++，求角A （答案：A=1200） (六) 课时小结(让学生归纳总结)
(1) 余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；
(2) 余弦定理的应用范围： ① 已知三边求三角；
② 已知两边及它们的夹角，求第三边。