运筹学习题解答(chap8 动态规划)

第八章 动态规划
一、用逆序法求解下列问题
1、P237, 8.1 有600万元资金用于三个工厂的更新改造，投资数以百万元为单位取整数，已知工厂II 的投资不超过300万元，工厂I 和III 的投资均不少于100万元，又不超过400万元，已知各工厂投资更新改造后，每年可增加的效益如下表，试用动态规划方法确定投资分配方案，使预期效益为最大。

(单位：万元)
解：该问题可分为3个阶段，分别为分配资金给Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个厂。

设k 为阶段变量，第k 个阶段给第k 个厂分配设备；
k S 是第k 个阶段的状态变量，表示可分配给第k 个厂到第3个厂的设备数；
k x 是第k 个阶段的决策变量，表示分配给第k 个厂的设备数；
状态转移方程：k k k x S S -=+1，并且41=S 。

指标函数：)](),([max )(11+++=k k k k k x k k S f x s r S f k
0)(44=S f
下面按照逆序解法求解。

第三阶段：500400,300,200,1003，
=S 万，33x S =, 第二阶段：500,400,300,2002=S 万。

223x S S -=
第1阶段：6001=S 万。

112x S S -=
按照与计算相反的顺序可推知有一个最优解：
3001=*X ，2002=*
X ，1003=*X ，最大利润为25万。

2、P237, 8.2 如图，要铺设一条从A 到E 的输油管线，箭线旁数字为各点间相应距离（km ）一个运筹学小组正研究讨论线路选择，使得总距离为最短。

甲提出用求最短距离的Dijkstra 算法求解；乙认为这个问题也可用动态规划方法求解，但丙丁认为从A 到E 经B1、D1的线路，与经B2、C1、D2的线路阶段数不等，故动态规划行不通；丙提出建立整数规划模型求解，甲乙对此持怀疑的态度；丁设想用破圈法或避圈法找出图中最小部分树，树图中A-E 的唯一链即为A 至E 铺设管道的最佳选择，对此甲和乙不同意。

因此除对甲的意见一致外，其余均有分歧。

请说明乙丙丁的方法是否可行，并说明依据。

3、P238, 8.3 某公司根据市场调查，今后四个时期的产品需求量如下表所示。

据此公司确定每个时期的生产数量，以满足上述要求。

已知每件生产费用C （万元）同生产数量x 的关系：
⎪⎩
⎪
⎨⎧>≤<=∞+=6600,53,
0x x x x C
又若生产出来的产品当期卖不出去，其库存费用每件每期0.5万元。

设在第一时期初及第四
时期末均无库存，试决定在满足市场需求条件下，使该公司生产加库存总费用最小的方案。

解：该问题可分为4个阶段，分别为四个时期的生产阶段，设k 为阶段变量，
k=1,2,3,4。

；
k S 是第k 个阶段的状态变量，表示第k 个阶段到第4个阶段的需求量；
k x 是第k 个阶段的决策变量，表示第k 个阶段的产量；
状态转移方程：k k k x S S -=+1，并且41=S 。

指标函数：)](),([max )(11+++=k k k k k x k k S f x s r S f k
0)(44=S f
下面按照逆序解法求解。

第三阶段：500400,300,200,1003，
=S 万，33x S =,
4、P238,8.4 某项工程有3个设计方案。

据现有条件，这些方案不能按期完成的概率分别为0.40,0.60,0.80，即三个方案均完不成的概率为
，为使这三个方案
中至少完成一个的概率尽可能大，决定追加2万元投资。

当使用追加投资后，上述方案完不追加投资（万元） 各方案完不成的概率 1 2 3 0 0.40 0.60 0.80 1 0.20 0.40 0.50 2
0.15
0.20
0.30
解：设给第k 个方案分配资金为第k 个阶段；
k S 是第k 个阶段的状态变量，表示可分配给第k 个到第3个阶段的投资额；
k x 是第k 个阶段的决策变量，表示分配给第k 个阶段的投资额；
状态转移方程：k k k x S S -=+1，并且21=S 。

阶段指标函数：)(1k k x P -，示第k 阶段投资k x 后，本方案完成的概率； 过程指标函数：)1)((1,1,n k k k n k V x P V +--= 优化方程：k-3阶段至少有一个完成的最大概率
)]()()(1[max )(11+++-=k k k k k k x k k S f x P x P S f k
0)(44=S f
下面按照逆序解法求解。

第三阶段：2,1,
03=S 万，, X 3
S 3
)(1)(3333x P S f -=至少完成一个概率 )(33S f *
3X
0 1 2 0
0.2
0.2 0
第二阶段：2,1,
02=S 万。

223x S S -=
第1阶段：21=S 万。

112x S S -=
按照与计算相反的顺序可推知有一个最优解：
11=*X ，02=*X ，13=*X ，最大完成概率为0.94。