2020年重庆市中考数学试卷(A卷)及答案 (解析版)

2020年重庆市中考数学试卷（A卷）
一、选择题（共12个小题）.
1．（4分）下列各数中，最小的数是()
A．3-B．0C．1D．2
2．（4分）下列图形是轴对称图形的是()
A．B．
C．D．
3．（4分）在今年举行的第127届“广交会”上，有近26000家厂家进行“云端销售”．其中数据26000用科学记数法表示为()
A．3
⨯D．5
0.2610
⨯
2.610
⨯C．4
⨯B．3
2610
2.610
4．（4分）把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第②个图案中有3个黑色三角形，第③个图案中有6个黑色三角形，⋯，按此规律排列下去，则第⑤个图案中黑色三角形的个数为()
A．10B．15C．18D．21
5．（4分）如图，AB是O的切线，A为切点，连接OA，OB，若20
∠=︒，则AOB
∠的
B
度数为()
A．40︒B．50︒C．60︒D．70︒
6．（4分）下列计算中，正确的是()
A ．235+=
B ．2222+=
C ．236⨯=
D ．2323-=
7．（4分）解一元一次方程11(1)123
x x +=-时，去分母正确的是( ) A ．3(1)12x x +=- B ．2(1)13x x +=- C ．2(1)63x x +=- D ．3(1)62x x +=-
8．（4分）如图，在平面直角坐标系中，ABC ∆的顶点坐标分别是(1,2)A ，(1,1)B ，(3,1)C ，以原点为位似中心，在原点的同侧画DEF ∆，使DEF ∆与ABC ∆成位似图形，且相似比为2:1，则线段DF 的长度为( )
A ．5
B ．2
C ．4
D ．25
9．（4分）如图，在距某居民楼AB 楼底B 点左侧水平距离60m 的C 点处有一个山坡，山坡CD 的坡度（或坡比）1:0.75i =，山坡坡底C 点到坡顶D 点的距离45CD m =，在坡顶D 点处测得居民楼楼顶A 点的仰角为28︒，居民楼AB 与山坡CD 的剖面在同一平面内，则居民楼AB 的高度约为（参考数据：sin 280.47︒≈，cos 280.88︒≈，tan 280.53)(︒≈ )
A ．76.9m
B ．82.1m
C ．94.8m
D ．112.6m
10．（4分）若关于x 的一元一次不等式组313,2x x x a
-⎧+⎪⎨⎪⎩的解集为x a ；且关于y 的分式方
程34122
y a y y y --+=--有正整数解，则所有满足条件的整数a 的值之积是( ) A ．7 B ．14- C ．28 D ．56-
11．（4分）如图，三角形纸片ABC ，点D 是BC 边上一点，连接AD ，把ABD ∆沿着AD 翻折，得到AED ∆，DE 与AC 交于点G ，连接BE 交AD 于点F ．若DG GE =，3AF =，2BF =，
ADG ∆的面积为2，则点F 到BC 的距离为( )
A ．55
B ．255
C ．455
D ．433
12．（4分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的对角线AC 的中点与坐标原点重合，点E 是x 轴上一点，连接AE ．若AD 平分OAE ∠，反比例函数(0,0)k y k x x
=>>的图象经过AE 上的两点A ，F ，且AF EF =，ABE ∆的面积为18，则k 的值为( )
A ．6
B ．12
C ．18
D ．24
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 13．（4分）计算：0(1)|2|π-+-= ．
14．（4分）一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍，则这个多边形的边数是 ．
15．（4分）现有四张正面分别标有数字1-，1，2，3的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗均匀，随机抽取一张，记下数字后放回，背面朝上洗均匀，再随机抽取一张记下数宇，前后两次抽取的数字分别记为m ，n ．则点(,)P m n 在第二象限的概率为 ．
16．（4分）如图，在边长为2的正方形ABCD 中，对角线AC 的中点为O ，分别以点A ，C 为圆心，以AO 的长为半径画弧，分别与正方形的边相交，则图中的阴影部分的面积为 ．（结果保留)π
17．（4分）A ，B 两地相距240km ，甲货车从A 地以40/km h 的速度匀速前往B 地，到达B 地后停止．在甲出发的同时，乙货车从B 地沿同一公路匀速前往A 地，到达A 地后停止．两车之间的路程()y km 与甲货车出发时间()x h 之间的函数关系如图中的折线CD DE EF --所示．其中点C 的坐标是(0,240)，点D 的坐标是(2.4,0)，则点E 的坐标是 ．
18．（4分）火锅是重庆的一张名片，深受广大市民的喜爱．重庆某火锅店采取堂食、外卖、店外摆摊（简称摆摊）三种方式经营，6月份该火锅店堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额之比为3:5:2．随着促进消费政策的出台，该火锅店老板预计7月份总营业额会增加，其中摆摊增加的营业额占总增加的营业额的25，则摆摊的营业额将达到7月份总营业额的720，为使堂食、外卖7月份的营业额之比为8:5，则7月份外卖还需增加的营业额与7月份总营业额之比是 ．
三、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19．（10分）计算：
（1）2()(2)x y x x y ++-；
（2）229(1)369
m m m m m --÷+++． 20．（10分）为了解学生掌握垃圾分类知识的情况，增强学生环保意识．某学校举行了“垃圾分类人人有责”的知识测试活动，现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的测试成绩（满分10分，6分及6分以上为合格）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
七年级20名学生的测试成绩为：7，8，7，9，7，6，5，9，10，9，8，5，8，7，6，7，9，7，10，6．
八年级20名学生的测试成绩条形统计图如图：
七、八年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数、8分及以上人数所占百分比如下表所示：
年级平均数众数中位数8分及以上人数所占百分比
七年级7.5a745%
八年级7.58b c
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述表中的a，b，c的值；
（2）根据上述数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握垃极分类知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该校七、八年级共1200名学生参加了此次测试活动，估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数是多少？
21．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，分别过点A，C 作AE BD
⊥，CF BD
∠．
⊥，垂足分别为E，F．AC平分DAE
（1）若50
AOE
∠的度数；
∠=︒，求ACB
（2）求证：AE CF
=．
22．（10分）在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合
图象研究函数性质的过程．以下是我们研究函数261x y x =
+性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题． （1）请把下表补充完整，并在图中补全该函数图象；
x ⋯ 5- 4- 3- 2- 1- 0 1 2 3 4 5 ⋯
261x y x =+ ⋯ 1513- 2417-
125- 3- 0
3 125 2417 1513
⋯
（2）根据函数图象，判断下列关于该函数性质的说法是否正确，正确的在答题卡上相应的括号内打“√”，错误的在答题卡上相应的括号内打“⨯”；
①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y 轴．
②该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值．当1x =时，函数取得最大值3；当1x =-时，函数取得最小值3-．
③当1x <-或1x >时，y 随x 的增大而减小；当11x -<<时，y 随x 的增大而增大．
（3）已知函数21y x =-的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式26211
x x x >-+的解集（保留1位小数，误差不超过0.2)．
23．（10分）在整数的除法运算中，只有能整除与不能整除两种情况，当不能整除时，就会产生余数，现在我们利用整数的除法运算来研究一种数-- “差一数”．
定义：对于一个自然数，如果这个数除以5余数为4，且除以3余数为2，则称这个数为“差一数”．
例如：14524÷=⋯，14342÷=⋯，所以14是“差一数”；
19534÷=⋯，但19361÷=⋯，所以19不是“差一数”
．
（1）判断49和74是否为“差一数”？请说明理由；
（2）求大于300且小于400的所有“差一数”．
24．（10分）“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”．为优选品种，提高产量，某农业科技小组对A ，B 两个小麦品种进行种植对比实验研究．去年A ，B 两个品种各种植了10亩．收获后A ，B 两个品种的售价均为2.4元/kg ，且B 的平均亩产量比A 的平均亩产量高100kg ，A ，B 两个品种全部售出后总收入为21600元．
（1）请求出A ，B 两个品种去年平均亩产量分别是多少？
（2）今年，科技小组加大了小麦种植的科研力度，在A ，B 种植亩数不变的情况下，预计A ，B 两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加%a 和2%a ．由于B 品种深受市场的欢迎，预计每千克价格将在去年的基础上上涨%a ，而A 品种的售价不变．A ，B 两个品种全部售出后总收入将在去年的基础上增加20%9
a ．求a 的值． 25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线2y x bx c =++与直线AB 相交于A ，B 两点，其中(3,4)A --，(0,1)B -．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P 为直线AB 下方抛物线上的任意一点，连接PA ，PB ，求PAB ∆面积的最大值；
（3）将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线21111(0)y a x b x c a =++≠，平移后的抛物线与原抛物线相交于点C ，点D 为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点E ，使以点B ，C ，D ，E 为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．
四、解答题：（本大题1个小题，共8分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
26．（8分）如图，在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 是BC 边上一动点，连接AD ，
把AD绕点A逆时针旋转90︒，得到AE，连接CE，DE．点F是DE的中点，连接CF．
（1）求证：
2
2
CF AD
=；
（2）如图2所示，在点D运动的过程中，当2
BD CD
=时，分别延长CF，BA，相交于点G，猜想AG与BC存在的数量关系，并证明你猜想的结论；
（3）在点D运动的过程中，在线段AD上存在一点P，使PA PB PC
++的值最小．当PA PB PC
++的值取得最小值时，AP的长为m，请直接用含m的式子表示CE的长．
2020年重庆市中考数学试卷（A卷）
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1．（4分）下列各数中，最小的数是()
A．3-B．0C．1D．2
解：3012
-<<<，
∴这四个数中最小的数是3-．
故选：A．
2．（4分）下列图形是轴对称图形的是()
A．B．
C．D．
解：B、C、D都不是轴对称图形，A是轴对称图形，
故选：A．
3．（4分）在今年举行的第127届“广交会”上，有近26000家厂家进行“云端销售”．其中数据26000用科学记数法表示为()
A．3
⨯D．5
⨯
2.610
0.2610
⨯C．4
2610
⨯B．3
2.610
解：4
=⨯，
26000 2.610
故选：C．
4．（4分）把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第②个图案中有3个黑色三角形，第③个图案中有6个黑色三角形，⋯，按此规律排列下去，则第⑤个图案中黑色三角形的个数为()
A．10B．15C．18D．21
解：第①个图案中黑色三角形的个数为1，
第②个图案中黑色三角形的个数312
=+，
第③个图案中黑色三角形的个数6123
=++，
⋯⋯
++++=，
∴第⑤个图案中黑色三角形的个数为1234515
故选：B．
5．（4分）如图，AB是O的切线，A为切点，连接OA，OB，若20
∠的
∠=︒，则AOB
B
度数为()
A．40︒B．50︒C．60︒D．70︒
解：AB是O的切线，A为切点，
∴∠=︒，
A
90
∠=︒，
B
20
∴∠=︒-︒=︒，
902070
AOB
故选：D．
6．（4分）下列计算中，正确的是()
A235
=
=D．2323
+=C236
+=B．222
解：A23
B．22不是同类二次根式，不能合并，此选项计算错误；
=⨯=，此选项计算正确；
C23236
D．23与2-不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；
故选：C ．
7．（4分）解一元一次方程11(1)123
x x +=-时，去分母正确的是( ) A ．3(1)12x x +=- B ．2(1)13x x +=- C ．2(1)63x x +=- D ．3(1)62x x +=- 解：方程两边都乘以6，得：3(1)62x x +=-，
故选：D ．
8．（4分）如图，在平面直角坐标系中，ABC ∆的顶点坐标分别是(1,2)A ，(1,1)B ，(3,1)C ，以原点为位似中心，在原点的同侧画DEF ∆，使DEF ∆与ABC ∆成位似图形，且相似比为2:1，则线段DF 的长度为( )
A 5
B ．2
C ．4
D ．25解：以原点为位似中心，在原点的同侧画DEF ∆，使DEF ∆与ABC ∆成位似图形，且相似比为2:1，
而(1,2)A ，(3,1)C ，
(2,4)D ∴，(6,2)F ，
22(26)(42)5DF ∴=-+-=
故选：D ．
9．（4分）如图，在距某居民楼AB 楼底B 点左侧水平距离60m 的C 点处有一个山坡，山坡CD 的坡度（或坡比）1:0.75i =，山坡坡底C 点到坡顶D 点的距离45CD m =，在坡顶D 点处测得居民楼楼顶A 点的仰角为28︒，居民楼AB 与山坡CD 的剖面在同一平面内，则居民楼AB 的高度约为（参考数据：sin 280.47︒≈，cos 280.88︒≈，tan 280.53)(︒≈ )
A．76.9m B．82.1m C．94.8m D．112.6m 解：如图，由题意得，28
ADF
∠=︒，45
CD=，60
BC=，
在Rt DEC
∆中，
山坡CD的坡度1:0.75
i=，
∴
14
0.753 DE
EC
==，
设4
DE x
=，则3
EC x
=，由勾股定理可得5
CD x
=，又45
CD=，即545
x=，
9
x
∴=，
327
EC x
∴==，436
DE x FB
===，
602787
BE BC EC DF
∴=+=+==，
在Rt ADF
∆中，
tan280.538746.11
AF DF
=︒⨯≈⨯≈，
46.113682.1
AB AF FB
∴=+=+≈，
故选：B．
10．（4分）若关于x的一元一次不等式组
31
3,
2
x
x
x a
-
⎧
+
⎪
⎨
⎪⎩
的解集为x a；且关于y的分式方
程
34
1
22
y a y
y y
--
+=
--
有正整数解，则所有满足条件的整数a的值之积是() A．7B．14
-C．28D．56
-
解：不等式组整理得：
7
x
x a
⎧
⎨
⎩
，
由解集为x a ，得到7a ，
分式方程去分母得：342y a y y -+-=-，即32y a -=， 解得：23
a y +=， 由y 为正整数解，且2y ≠得到1a =，7 177⨯=，
故选：A ．
11．（4分）如图，三角形纸片ABC ，点D 是BC 边上一点，连接AD ，把ABD ∆沿着AD 翻折，得到AED ∆，DE 与AC 交于点G ，连接BE 交AD 于点F ．若DG GE =，3AF =，2BF =，ADG ∆的面积为2，则点F 到BC 的距离为( )
A 55
B 255
C 455
D 433
解：DG GE =，
2ADG AEG S S ∆∆∴==，
4ADE S ∆∴=，
由翻折可知，ADB ADE ∆≅∆，BE AD ⊥，
4ABD ADE S S ∆∆∴==，90BFD ∠=︒， ∴
1()42AF DF BF +=， ∴1(3)242
DF +=， 1DF ∴=，
2222125DB BF DF ∴=+=+=
设点F 到BD 的距离为h ，则有
1122
BD h BF DF =， 255h ∴=， 故选：B ．
12．（4分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的对角线AC 的中点与坐标原点重合，点E 是x 轴上一点，连接AE ．若AD 平分OAE ∠，反比例函数(0,0)k y k x x
=>>的图象经过AE 上的两点A ，F ，且AF EF =，ABE ∆的面积为18，则k 的值为( )
A ．6
B ．12
C ．18
D ．24
解：如图，连接BD ，OF ，过点A 作AN OE ⊥于N ，过点F 作FM OE ⊥于M ．
//AN FM ，AF FE =，
MN ME ∴=，
12
FM AN ∴=， A ，F 在反比例函数的图象上，
2AON FOM k S S ∆∆∴==， ∴1122ON AN OM FM =， 12
ON OM ∴=， ON MN EM ∴==，
13
ME OE ∴=， 13
FME FOE S S ∆∆∴=，
AD 平分OAE ∠，
OAD EAD ∴∠=∠，
四边形ABCD 是矩形，
OA OD ∴=，
OAD ODA DAE ∴∠=∠=∠，
//AE BD ∴，
ABE AOE S S ∆∆∴=，
18AOE S ∆∴=，
AF EF =，
192
EOF AOE S S ∆∆∴==， 133
FME EOF S S ∆∆∴==， 9362
FOM FOE FME k S S S ∆∆∆∴=-=-==
， 12k ∴=． 故选：B ．
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
13．（4分）计算：0(1)|2|π-+-= 3 ．
解：0(1)|2|123π-+-=+=，
故答案为：3．
14．（4分）一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍，则这个多边形的边数是 6 ． 解：设这个多边形的边数为n ，依题意，得：
(2)1802360n -︒=⨯︒，
解得6n =．
故答案为：6．
15．（4分）现有四张正面分别标有数字1-，1，2，3的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗均匀，随机抽取一张，记下数字后放回，背面朝上洗均匀，再随机抽取一张记下数宇，前后两次抽取的数字分别记为m ，n ．则点(,)P m n 在第二象限的概
率为 316
． 解：画树状图为：
共有16种等可能的结果数，其中点(,)P m n 在第二象限的结果数为3，
所以点(,)P m n 在第二象限的概率316
=
． 故答案为316． 16．（4分）如图，在边长为2的正方形ABCD 中，对角线AC 的中点为O ，分别以点A ，C 为圆心，以AO 的长为半径画弧，分别与正方形的边相交，则图中的阴影部分的面积为
4π- ．
（结果保留)π
解：四边形ABCD 为正方形，
2AB BC ∴==，90DAB DCB ∠=∠=︒，
由勾股定理得，2222AC AB BC =+=，
2OA OC ∴==，
∴图中的阴影部分的面积2
2
90(2)224360ππ⨯=-=-， 故答案为：4π-．
17．（4分）A ，B 两地相距240km ，甲货车从A 地以40/km h 的速度匀速前往B 地，到达B 地后停止．在甲出发的同时，乙货车从B 地沿同一公路匀速前往A 地，到达A 地后停止．两车之间的路程()y km 与甲货车出发时间()x h 之间的函数关系如图中的折线CD DE EF --所示．其中点C 的坐标是(0,240)，点D 的坐标是(2.4,0)，则点E 的坐标是
(4,160) ．
解：根据题意可得，乙货车的速度为：240 2.44060(40/)km h ÷-=，
∴乙货车从B 地到A 地所用时间为：240604÷=（小时）
， 当乙货车到底A 地时，甲货车行驶的路程为：404160⨯=（千米），
∴点E 的坐标是(4,160)．
故答案为：(4,160)．
18．（4分）火锅是重庆的一张名片，深受广大市民的喜爱．重庆某火锅店采取堂食、外卖、店外摆摊（简称摆摊）三种方式经营，6月份该火锅店堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额之比为3:5:2．随着促进消费政策的出台，该火锅店老板预计7月份总营业额会增加，其中摆摊增加的营业额占总增加的营业额的25，则摆摊的营业额将达到7月份总营业额的720，为使堂食、外卖7月份的营业额之比为8:5，则7月份外卖还需增加的营业额与7月份总营业额之比是 1:8 ．
解：设6月份堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额为3a ，5a ，2a ，设7月份总的增加营业额为5x ，摆摊增加的营业额为2x ，7月份总营业额20b ，摆摊7月份的营业额为7b ，堂食7月份的营业额为8b ，外卖7月份的营业额为5b ，
由题意可得：72220105b a x b a x -=⎧⎨-=⎩
， 解得：63x a x
b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
， 7∴月份外卖还需增加的营业额与7月份总营业额之比(55):201:8b a b =-=，
故答案为：1:8．
三、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19．（10分）计算：
（1）2()(2)x y x x y ++-；
（2）229(1)369
m m m m m --÷+++． 解：（1）2()(2)x y x x y ++-，
22222x xy y x xy =+++-，
222x y =+；
（2）229(1)369
m m m m m --÷+++， 2
3(3)()33(3)(3)
m m m m m m m ++=-⨯+++-， 3333m m m +=
⨯+-， 33
m =-． 20．（10分）为了解学生掌握垃圾分类知识的情况，增强学生环保意识．某学校举行了“垃圾分类人人有责”的知识测试活动，现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的测试成绩（满分10分，6分及6分以上为合格）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． 七年级20名学生的测试成绩为：7，8，7，9，7，6，5，9，10，9，8，5，8，7，6，7，9，7，10，6．
八年级20名学生的测试成绩条形统计图如图：
七、八年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数、8分及以上人数所占百分比如下表所示：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述表中的a ，b ，c 的值；
（2）根据上述数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握垃极分类知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该校七、八年级共1200名学生参加了此次测试活动，估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数是多少？
解：（1）七年级20名学生的测试成绩为：7，8，7，9，7，6，5，9，10，9，8，5，8，7，6，7，9，7，10，6，
7a ∴=，
由条形统计图可得，(78)27.5b =+÷=，
(523)20100%50%c =++÷⨯=，
即7a =，7.5b =，50%c =；
（2）八年级学生掌握垃极分类知识较好，理由：八年级的8分及以上人数所占百分比大于七年级，故八年级学生掌握垃极分类知识较好；
（3）从调查的数据看，七年级2人的成绩不合格，八年级2人的成绩不合格， ∴参加此次测试活动成绩合格的学生有(202)(202)120010802020
-+-⨯=+（人)， 即参加此次测试活动成绩合格的学生有1080人．
21．（10分）如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，分别过点A ，C 作AE BD ⊥，CF BD ⊥，垂足分别为E ，F ．AC 平分DAE ∠．
（1）若50AOE ∠=︒，求ACB ∠的度数；
（2）求证：AE CF =．
【解答】（1）解：
AE BD ⊥，
90AEO ∴∠=︒，
50AOE ∠=︒，
40EAO ∴∠=︒，
CA 平分DAE ∠，
40DAC EAO ∴∠=∠=︒，
四边形ABCD 是平行四边形，
//AD BC ∴，
40ACB DAC ∠=∠=︒，
（2）证明：四边形ABCD 是平行四边形，
OA OC ∴=，
AE BD ⊥，CF BD ⊥，
90AEO CFO ∴∠=∠=︒，
AOE COF ∠=∠，
()AEO CFO AAS ∴∆≅∆，
AE CF ∴=．
22．（10分）在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．以下是我们研究函数261x y x =
+性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．
（1）请把下表补充完整，并在图中补全该函数图象；
（2）根据函数图象，判断下列关于该函数性质的说法是否正确，正确的在答题卡上相应的括号内打“√”，错误的在答题卡上相应的括号内打“⨯”；
①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y 轴．
②该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值．当1x =时，函数取得最大值3；当1x =-时，函数取得最小值3-．
③当1x <-或1x >时，y 随x 的增大而减小；当11x -<<时，y 随x 的增大而增大．
（3）已知函数21y x =-的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式26211x x x >-+的解集（保留1位小数，误差不超过0.2)．
解：（1）补充完整下表为：
x
⋯
5- 4- 3- 2- 1-
0 1 2 3 4 5
⋯
261
x
y x =
+ ⋯ 1513
-
2417-
95
- 125-
3-
0 3 125
95 2417 1513
⋯
画出函数的图象如图：
；
（2）根据函数图象：
①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y 轴，说法错误；
②该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值．当1x =时，函数取得最大值3；当1x =-时，函数取得最小值3-，说法正确；
③当1x <-或1x >时，y 随x 的增大而减小；当11x -<<时，y 随x 的增大而增大，说法正确．
（3）由图象可知：不等式
26211
x
x x >-+的解集为1x <-或0.3 1.8-<．
23．（10分）在整数的除法运算中，只有能整除与不能整除两种情况，当不能整除时，就会产生余数，现在我们利用整数的除法运算来研究一种数--“差一数”．
定义：对于一个自然数，如果这个数除以5余数为4，且除以3余数为2，则称这个数为“差一数”．
例如：14524
÷=⋯，14342
÷=⋯，所以14是“差一数”；
19534
÷=⋯，但19361
÷=⋯，所以19不是“差一数”．
（1）判断49和74是否为“差一数”？请说明理由；
（2）求大于300且小于400的所有“差一数”．
解：（1）49594
÷=⋯，但493161
÷=⋯，所以49不是“差一数”；
745144
÷=⋯，743242
÷=⋯，所以74是“差一数”．
（2）大于300且小于400的数除以5余数为4的有304，309，314，319，324，329，334，339，344，349，354，359，364，369，374，379，384，389，394，399，
其中除以3余数为2的有314，327，344，359，374，389．
故大于300且小于400的所有“差一数”有314，327，344，359，374，389．
24．（10分）“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”．为优选品种，提高产量，某农业科技小组对A，B两个小麦品种进行种植对比实验研究．去年A，B两个品种各种植了10亩．收获后A，B两个品种的售价均为2.4元/kg，且B的平均亩产量比A的平均亩产量高100kg，A，B两个品种全部售出后总收入为21600元．
（1）请求出A，B两个品种去年平均亩产量分别是多少？
（2）今年，科技小组加大了小麦种植的科研力度，在A，B种植亩数不变的情况下，预计A，B两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加%
a和2%
a．由于B品种深受市场的欢迎，预计每千克价格将在去年的基础上上涨%
a，而A品种的售价不变．A，B两个品
种全部售出后总收入将在去年的基础上增加20
%
9
a．求a的值．
解：（1）设A、B两个品种去年平均亩产量分别是x千克和y千克；
根据题意得，
100
10 2.4()21600
y x
x y
-=
⎧
⎨
⨯+=
⎩
，
解得：
400
500
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
，
答：A、B两个品种去年平均亩产量分别是400千克和500千克；
（2）20
2.440010(1%) 2.4(1%)50010(12%)21600(1%)9
a a a a ⨯⨯+++⨯⨯+=+， 解得：0.1a =， 答：a 的值为0.1．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线2y x bx c =++与直线AB 相交于A ，B 两点，其中(3,4)A --，(0,1)B -．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P 为直线AB 下方抛物线上的任意一点，连接PA ，PB ，求PAB ∆面积的最大值； （3）将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线21111(0)y a x b x c a =++≠，平移后的抛物线与原抛物线相交于点C ，点D 为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点E ，使以点B ，C ，D ，E 为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）将点A 、B 的坐标代入抛物线表达式得4931b c c -=-=⎧⎨=-⎩，解得41b c =⎧⎨=-⎩
，
故抛物线的表达式为：241y x x =+-；
（2）设直线AB 的表达式为：y kx t =+，则431k t t -=-+⎧⎨=-⎩，解得1
1k t =⎧⎨=-⎩
，
故直线AB 的表达式为：1y x =-， 过点P 作y 轴的平行线交AB 于点H ，
设点2(,41)P x x x +-，则(,1)H x x -， PAB ∆面积221139
()(141)(03)2222
B A S PH x x x x x x x =⨯⨯-=---+⨯+=--， 30
2-
<，故S 有最大值，当32x =-时，S 的最大值为
27
8
；
（3）抛物线的表达式为：2241(2)5y x x x =+-=+-， 则平移后的抛物线表达式为：25y x =-， 联立上述两式并解得：14x y =-⎧⎨=-⎩
，故点(1,4)C --；
设点(2,)D m -、点(,)E s t ，而点B 、C 的坐标分别为(0,1)-、(1,4)--； ①当BC 为菱形的边时，
点C 向右平移1个单位向上平移3个单位得到B ，同样D （E ）向右平移1个单位向上平移3个单位得到E （D ），
即21s -+=且3m t +=①或21s --=且3m t -=②，
当点D 在E 的下方时，则BE BC =，即2222(1)13s t ++=+③， 当点D 在E 的上方时，则BD BC =，即22222(1)13m ++=+④，
联立①③并解得：1s =-，2t =或4-（舍去4)-，故点(1,3)E -； 联立②④并解得：1s =，46t =-±，故点(1,46)E -+或(1,46)--； ②当BC 为菱形的的对角线时，
则由中点公式得：12s -=-且41m t --=+⑤， 此时，BD BE =，即22222(1)(1)m s t ++=++⑥， 联立⑤⑥并解得：1s =，3t =-， 故点(1,3)E -，
综上，点E 的坐标为：(1,2)-或(1,46)-+或(1,46)--或(1,3)-．
四、解答题：（本大题1个小题，共8分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
26．（8分）如图，在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 是BC 边上一动点，连接AD ，把AD 绕点A 逆时针旋转90︒，得到AE ，连接CE ，DE ．点F 是DE 的中点，连接CF ． （1）求证：2
2
CF AD =
； （2）如图2所示，在点D 运动的过程中，当2BD CD =时，分别延长CF ，BA ，相交于点G ，猜想AG 与BC 存在的数量关系，并证明你猜想的结论；
（3）在点D 运动的过程中，在线段AD 上存在一点P ，使PA PB PC ++的值最小．当PA PB PC ++的值取得最小值时，AP 的长为m ，请直接用含m 的式子表示CE 的长．
【解答】证明：（1）
AB AC =，90BAC ∠=︒，
45ABC ACB ∴∠=∠=︒，
把AD 绕点A 逆时针旋转90︒，得到AE ， AD AE ∴=，90DAE BAC ∠=︒=∠， BAD CAE ∴∠=∠，2DE =，
又AB AC =，
()BAD CAE SAS ∴∆≅∆， 45ABD ACE ∴∠=∠=︒， 90BCE BCA ACE ∴∠=∠+∠=︒，
点F 是DE 的中点， 1222
CF DE AD ∴=
=； （2）2
6
AG BC =
， 理由如下：如图2，过点G 作GH BC ⊥于H ，
2BD CD =，
∴设CD a =，则2BD a =，3BC a =，
90BAC ∠=︒，AB AC =，
32
2
2
BC AB AC ∴==
=
， 由（1）可知：BAD CAE ∆≅∆， 2BD CE a ∴==， CF DF =， FDC FCD ∴∠=∠， tan tan FDC FCD ∴∠=∠， ∴
2CE GH
CD CH
==， 2GH CH ∴=，
GH BC ⊥，45ABC ∠=︒， 45ABC BGH ∴∠=∠=︒， BH GH ∴=，
2BG BH ∴=
3BH CH BC a +==， CH a ∴=，2BH GH a ==，
22BG a ∴=，
222226
AG BG AB a CD BC ∴=-=
==； （3）如图31-，将BPC ∆绕点B 顺时针旋转60︒得到BNM ∆，连接PN ，
BP BN ∴=，PC NM =，60PBN ∠=︒， BPN ∴∆是等边三角形， BP PN ∴=，
PA PB PC AP PN MN ∴++=++，
∴当点A ，点P ，点N ，点M 共线时，PA PB PC ++值最小，
此时，如图32-，连接MC ，
将BPC ∆绕点B 顺时针旋转60︒得到BNM ∆，
BP BN
PBN CBM
∠=︒=∠，
=，60
∴=，BC BM
∆是等边三角形，BPN
∴∆是等边三角形，CBM
=，
∴∠=∠=︒，BM CM
BPN BNP
60
=，
BM CM
=，AB AC
∴垂直平分BC，
AM
∠=︒，
BPD
⊥，60
AD BC
BD
∴=，
⊥，
BAC
∠=︒，AD BC
AB AC
=，90
∴=，
AD BD
=+，
∴PD AP
∴=，
PD
∴==，
BD
由（1）可知：CE BD
==．。