高二数学最新教案-第2章极限(第2018课时)函数的连续性

课 题：2.5函数的连续性
教学目的：
1.理解掌握函数在一点连续须满足的三个条件的基础上，会判断函数在一点是否连续.
2.要会说明函数在一点不连续的理由.
3.要了解并掌握函数在开区间或闭区间连续的定义.
4.要了解闭区间上连续函数的性质，即最大值最小值定理
教学重点：函数在一点连续必须满足三个条件．
教学难点： 借助几何图象得出最大值最小值定理．
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
内容分析：
本节教学知识点有函数在一点连续满足的三个条件，函数在一点连续概念，函数在开区间和闭区间连续的定义，函数在闭区间上有最大、最小值的定义，最大最小值定理 函数的连续性是建立在极限概念基础上的，又为以后微积分的学习做铺垫，它是承上启下的.函数在一点连续必须满足三个条件，这是要学生重点掌握的内容.函数在区间连续的定义也是建立在一点连续的基础上的.借助函数的几何图象得到闭区间上连续函数的一个性质，即最大值最小值定理. 函数在一点连续必须满足三个条件，缺一不可.如何得出这三个条件，可以借助函数图象，让学生观察、总结出来.同样借助几何图象得出最大值最小值定理.
在学生已掌握极限概念的基础上，并通过分析函数图象，让学生主动地总结出函数在一点连续的三个条件及概念.以及通过区间是由点组成的，进行概念的顺应，得出函数在区间上连续的概念.让学生主动地学习.
教学过程：
一、复习引入：
1.000
lim ()lim ()lim ()x x x x x x f x a f x f x a -+→→→=⇔== 其中0lim ()x x f x a -→=表示当x 从左侧趋近于0x 时的左极限，0
lim ()x x f x a +→=表示当x 从右侧趋近于0x 时的右极限
2. 我们前面学习了数列极限和函数极限、数列可以看成是一种特殊的函数，不同的是函数的定义域往往是连续的.而数列的定义域是自然数集，是一个一个离散的点.而在我们日常生活中，也会碰到这种情况.比如温度计的水银柱高度会随着温度的改变而连续地上升或下降，这是一种连续变化的情况；再比如邮寄信件的邮费，随邮件质量的增加而作阶梯式的增加(打个比方：20克以内是
8毛钱邮票，21克~30克是1元，31克~40克是1.2元)等等.这就要求我们去研究函数的连续与不连续问题
二、讲解新课：
1.观察图像 如果我们给出一个函数的图象，从直观上看，一个函数在一点x =x 0处连续，就是说图象在点x =x 0处是不中断的.下面我们一起来看一下几张函数图象，并观察一下，它们在x =x 0处的连续情况，以及极限情况.
分析图，第一，看函数在x 0是否连续.第二，在x 0是否有极限，若有与f (x 0)的值关系如何：
图(1)，函数在x 0连续，在x 0处有极限，并且极限就等于f (x 0).
图(2)，函数在x 0不连续，在x 0处有极限，但极限不等于f (x 0)，因为函数在x 0处没有定义.
图(3)，函数在x 0不连续，在x 0处没有极限.
图(4)，函数在x 0处不连续，在x 0处有极限，但极限不等于f (x 0)的值.
函数在点x =x 0处要有定义，是根据图(2)得到的，根据图(3)，函数在x =x 0处要有极限，根据图(4)，函数在x =x 0处的极限要等于函数在x =x 0处的函数值即f (x 0). 函数在一点连续必须满足刚才的三个条件.
.函数f (x )在点x =x 0处连续必须满足下面三个条件.
(1)函数f (x )在点x =x 0处有定义；
(2)0
lim x x →f (x )存在； (3)0
lim x x →f (x )=f (x 0)，即函数f (x )在点x 0处的极限值等于这一点的函数值. 如果上述三个条件中有一个条件不满足，就说函数f (x )在点x 0处不连续.那根据这三个条件，我们就可以给出函数在一点连续的定义．
2. 函数在一点连续的定义: 如果函数f (x )在点x =x 0处有定义，0
lim x x →f (x )存在，且0
lim x x →f (x )=f (x 0)，那么函数f (x )在点x =x 0处连续. 由第三个条件，0lim x x →f (x )=f (x 0)就可以知道0
lim x x →f (x )是存在的，所以我们下定义时可以再简洁一点. 函数f (x )在点x 0处连续的定义.
如果函数y =f (x )在点x =x 0处及其附近有定义，并且0
lim x x →f (x )=f (x 0)，就说函数f (x )在点x 0处连续.
那怎么根据在一点连续的定义来定义在一个开区间(a ，b )内连续的定义． 区间是由点构成的，只要函数f (x )在开区间内的每一个点都连续，那么它在开区间内也就连续了.
3.函数f (x )在(a ，b )内连续的定义：
如果函数f (x )在某一开区间(a ，b )内每一点处连续，就说函数f (x )在开区间(a ，b )内连续，或f (x )是开区间(a ，b )内的连续函数.
f (x )在开区间(a ，b )内的每一点以及在a 、b 两点都连续，现在函数f (x )的定义域是［a ，b ］，若在a 点连续，则f (x )在a 点的极限存在并且等于f (a )，即在a 点的左、右极限都存在，且都等于f (a )， f (x )在(a ，b )内的每一点处连续，在a 点处右极限存在等于f (a )，在b 点处左极限存在等于f (b ).
4.函数f (x )在［a ，b ］上连续的定义：
如果f (x )在开区间(a ，b )内连续，在左端点x =a 处有+→a
x lim f (x )=f (a )，在右端点x =b 处有-→b
x lim f (x )=f (b ),就说函数f (x )在闭区间［a ，b ］上连续,或f (x )是闭区间［a ，b ］上的连续函数.
如果函数f (x )在闭区间［a ，b ］上是连续函数，那它的图象肯定是一条连续曲线.
我们来看这张图，它是连续的，在a 、b 两点的值都是取到，所以它一定有一个最高点和一个最低点，假设在x 1这点最高；那么它的函数值最大，就是说［a ，b ］区间上的各个点的值都不大于x 1处的值，用数学语言表示就是f (x 1)≥f (x )，x ∈［a ，b ］，同理，设x 2是最低点，f (x 2)≤f (x )，x ∈［a ，b ］.
5.最大值
f (x )是闭区间［a ，b ］上的连续函数，如果对于任意x ∈［a ，b ］，
f (x 1)≥f (x )，那么f (x )在点x 1处有最大值f (x 1).
6.最小值
f (x )是闭区间［a ，b ］上的连续函数，如果对于任意x ∈［a ，b ］，f (x 2)≤f (x )，那么f (x )在点x 2处有最小值f (x 2).
由图我们可以知道，函数f (x )在［a ，b
］上连续，则一定有最大最小值，这
是闭区间上连续函数的一个性质.最大，最小值可以在(a ，b )内的点取到，也可以在a ，b 两个端点上取到.
7.最大值最小值定理
如果f (x )是闭区间［a ，b ］上的连续函数，那么f (x )在闭区间［a ，b ］上有最大值和最小值
我们现在已经学习了函数在一点连续的定义，和需要满足的三个条件，下面看两个例子，看在给定点处是否连续，都要说明理由的 三、讲解范例：
例1 讨论下列函数在给定点处的连续性.
(1)f (x )=x
1，点x =0. (2)g (x )=sin x ，点x =0. 分析：我们如果要很直观地看在给定点是否连续，画图方法最方便．
我们已经画出了两个函数的图象了.从图中，我们可以直接看出在x =0处函数连续的情况，
函数f (x )=x 1在点x =0处不连续，因为函数f (x )=x
1在点x =0处没有定义. 函数g (x )=sin x 在点x =0处连续，因为函数g (x )=sin x ，在x =0及附近都有定义，0lim →x sin x 存在且0
lim →x sin x =0而sin0=0. 解：(1)∵函数f (x )=x
1在点x =0处没有定义 ∴它在点x =0处不连续. 解：(2)∵0
lim →n sin x =0=sin0，∴函数g (x )=sin x 在点x =0处是连续的. 点评：写g (x )=sin x 在点x =0处连续只要把第三个条件写一下就可以，因为它已经包含前两个条件了，我们已经知道函数在一点连续的定义了． 例2 求f (x )=x x ∈［－1，1］的最大值和最小值．
解：最大值 f (1)=1；最小值 f (－1)=－1．
四、课堂练习：
1．下面我们直接从图中，观察函数x =a 处是否连续，并说出理由.
（1）（2）（3）（4）（1）连续.因为函数在点x=a处有定义，极限存在，并且极限值等于在
a点的函数值.(如图(1))
(2)不连续.因为函数在x=a处的极限值不等于在x=a处的函数值.(如图(2))
(3)连续.因为函数在点x=a处，有定义，有极限，极限值等于函数值.(如图(3))
(4)不连续.因为函数在x=a处没有极限.(如图(4))
(5)不连续.因为函数在x=a处没有定义.(如图(5))
2.利用下列函数的图象，说明函数在给定点处是否连续.
(1)f(x)=
2
1
x
，点x=0
解：∵f(x)在x=0处没有定义. ∴f(x)在x=0处不连续.
(2)f(x)=|x|.点x=0
解：∵
lim
→
x
f(x)=0=f(0),∴f(x)在x=0处连续.
3.已知函数
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
≤
<
+
-
≤
<
-
-
≤
≤
-
-
=
5.3
2
6
4
2
1
|
|
1
4
)5
(
3
1
)
(
2x
x
x
x
x
x
x
x
f
(1)求f(x)的定义域；(2)作出f(x)的图形；(3)判断f(x)是否处处连续.
解：(1)f(x)的定义域是［－4，3.5］.
(2)f(x)的图象如图所示
.
(3)由f(x)的图象可知，在定义域［－4，3.5］上，f(x)在点x=－1处不连续，因为f(x)在x=－1处没有极限
.
点评：分段函数的定义域是其各段定义域的并集，易知基本初等函数在其定义域内都是连续的，因此分段函数在其各段内也是连续的，重点应判断各段的交界处是否连续，对这些点应用连续的定义判断，凡其图象在某点处断开，则函数在该点处不连续.
4.利用函数的连续性求下列极限.
(1)10lim →x (lg 2
x +3lg x +4)；(2)x x
x e e +-→11lim 0，(3)11lim 31--→x x x 初等函数(比如x α
;α常数，指数函数、对数函数、正弦函数等等)在其定义域里每一点处的极限值等于该点的函数值，因为初等函数在其定义域内是连续的，这样就可以求初等函数的极限了.(1)(2)可以用此法求解，(3)中，由于在x =1处不连续，所以不能直接用0lim x x →f (x )=f (x 0)来求极限，可以设法约去分子、分母的公因式，再求极限.
解：(1)由于lg 2x +3lg x +4在x =10处连续.因此10
lim →x (1g 2x +3lg x +4)=lg 210+3lg10+4=8. (2)由于x x e e +-11在x =0处连续，因此01
1111111lim 000=+-=+-=+-→e e e e x x x ． (3)由于1
13
--x x 在x =1处不连续. 因此1lim →x 1
1lim )1)(1()1)(1(lim 116626166266613+++=++-+-=--→→x x x x x x x x x x x x (x =1点为此函数的连续点)
3211111666
=+++= 五、小结 ：这节课主要学习了函数在一点连续的定义，以及必须满足的三个条件：①函数f (x )在点x =x 0处有定义.②0lim x x →f (x )存在.③0
lim x x →f (x )=f (x 0).还有函数在开区间，闭区间上连续的定义.以及闭区间上连续函数有最大值.最小值的定义和最大值最小值定理
六、课后作业：
1.
七、板书设计（略） 八、课后记：。