贵州省凯里市第一中学高一数学下学期开学考试试题

2015-2016学年度第二学期开学检测试题
高一数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将符合题意的选项填涂到答题纸对应的位置上。

1．已知全集{}0,1,2,3,4U =，{}1,2,3A =，{}2,4B =，则()U A B =U ð
A ．{}2
B ．{}0
C ．{}2,3,4
D ．{}1,2,3,4
2．函数()sin f x x =的最小正周期是
A ．4π
B ．2π
C ．π
D ．
2
π
3．下列函数在区间()0,π上为减函数的是
A ．()2
3y x =-
B ．sin y x =
C ．cos y x =
D ．tan y x =
4．()
cos 60-o 的值等于
A ．12
-
B ．3-
C ．
12
D ．
3 5．函数()23x
f x =+ ，则(1)f -=
A ．2
B ．1
C ．
52
D ．
72
6． 已知函数(01)x
y a a a =>≠且在区间[]1,2上的最大值与最小值之和为12，则实数a 的值为
A 3
B ．2
C ．3
D ． 4
7．已知向量()()1,2,2,a b m ==-r r
，若//a b r r ，则23a b +=r r
A ．()2,4--
B ．()3,6--
C ．()4,8--
D ．()5,10--
8．已知0.3
355,5,2log 2a b c ==，则,,a b c 的大小关系为
A ．c b a <<
B ．c a b <<
C ．b a c <<
D ．b c a <<
9．将函数sin y x =的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的1
2
倍（纵坐标不变），再把所得图象上所有点向左平移
6
π
个单位，得到的图象的函数解析式是
A ．sin(2)3y x π
=+
B ．1sin()212y x π=+
C ．1sin()26y x π=+
D ．sin(2)6y x π
=+ 10．若1
sin()2
πα+=-，则sin(4)πα-的值是
A ．
12
B ．12
-
C ．32
-
D ．
3
2
11．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且1
(1),(2)()2,(3)2f f x f x f -=
+=+=则 A ．0
B ．1
C ．32
D ．52
12．若函数()()()()2,12log 1a
a a x x f x x x ⎧
--<⎪=⎨⎪≥⎩在(),-∞+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是 A ．()1,2
B ．4
(1,]3
C ．4[,2)3
D ．()0,1
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上． 13．函数lg
1y x =+的定义域是 ．
14．函数()3sin cos f x x x =+的最大值为 ．
15．在边长为4的等边ABC ∆中，若向量,a AB b BC ==r u u u r r u u u r
，则a b ⋅r r 的值等于 ．
16．如图所示，D 是ABC ∆的AB 边上的中点，则
向量CD uuu r
= （填写正确的序号）。

①12BC BA -+u u u r u u u r ，②12BC BA --u u u r u u u r ，③12BC BA -u u u r u u u r ，④12
BC BA +u u u r u u u r
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）已知集合{}{}|25,|121A x x B x m x m =-≤≤=+≤≤-，B A ⊆，求m 的取值范围。

D
C
B
A
18．（本小题满分12分）已知幂函数()f x 的图象经过点1(2,)4
． （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；
（Ⅱ）判断函数()f x 在区间(0,)+∞上的单调性，并用单调性的定义证明．
19．（本小题满分12分）已知(cos ,sin )a αα=r ，(cos ,sin )b ββ=r
，其中0αβπ<<<．
（Ⅰ） 求证：a b +r r 与a b -r
r 互相垂直；
（Ⅱ）若ka b +r r b →与a k →
-b →
的模相等，求βα-的值 (k 为非零常数) ．
20．（本小题满分12分）已知tan()24
π
α+=．
（Ⅰ）求tan α的值；
（Ⅱ）求22sin sin 21tan ααα
++的值．
21．（本小题满分12分）已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕπ=+>>< 的部分图象如图所示，
（Ⅰ）求函数的解析式； （Ⅱ）求函数的单调区间。

22．（本小题满分12分）已知函数.,2
cos 32sin R x x
x y ∈+= （Ⅰ）求该函数的周期和最大值；
（Ⅱ）该函数的图象经过怎样的平移和伸缩变换可以得到)(sin R x x y ∈=的图象．
2015-2016学年度第二学期开学检测试题
高一数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将符合题意的选项填涂到答题纸对应的位置上。

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案
B
B
C
C
D
C C
A
A
B
C
C
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上． 13． (1,)-+∞，14.2，15. 8- 16.①
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）已知集合{}{}|25,|121A x x B x m x m =-≤≤=+≤≤-，B A ⊆，求m 的取值范围。

解：{}{}|25,|121A x x B x m x m =-≤≤=+≤≤-，
若B φ=，得121,2m m m +>-<，B A ⊆符合题意。

4分
若B φ≠，要使B A ⊆则121,
12,21 5.m m m m +≤-⎧⎪
+≥-⎨⎪-≤⎩
，解得23m ≤≤。

8分
综上，m 的取值范围为3m ≤。

10分 18．（本小题满分12分）已知幂函数()f x 的图象经过点1
(2,)4
． （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；
（Ⅱ）判断函数()f x 在区间(0,)+∞上的单调性，并用单调性的定义证明． 解：（Ⅰ）.设()f x x α
=.则由()f x 的图象过点1(2,)4
得。

2分
21
224α-=
= 2α∴=-。

4分 221
()f x x x
-∴==。

6分
（Ⅱ）2
1
()f x x =
在(0,+∞）是减函数。

7分 证明：任取1212,(0,x x x x ∈+∞<）且则
122212
11()()f x f x x x -=
- 2221212122
1212()()
()()
x x x x x x x x x x -+-==。

9分 因为，1212,(0,x x x x ∈+∞<）且， 所以，2
2121120,0,()0x x x x x x +>->>
所以，12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >。

11分 所以，21
()f x x
=
在(0,+∞）是减函数。

12分 19．（本小题满分12分）已知(cos ,sin )a αα=r ，(cos ,sin )b ββ=r
，其中0αβπ<<<．
（Ⅰ） 求证：a b +r r 与a b -r
r 互相垂直；
（Ⅱ）若ka b +r r 与a kb →-r
的模相等，求βα-的值 (k 为非零常数) ．
解：（Ⅰ）因为(cos ,sin )a αα=r ，(cos ,sin )b ββ=r
，
所以，22
2222
cos sin 1,cos sin 1a b ααββ=+==+=r r 。

3分
所以，()a b +r r 22
()110a b a b -=-=-=r r r r g 。

5分
所以，()()a b a b +⊥-r r r r 。

6分
（Ⅱ）由||||ka b a kb →+=-r
r r 得
22()()ka b a kb +=-r r r r
即2
22
2(1)4(1)0k a ka b k b -++-=r r r r g 。

8分
又22
2222
cos sin 1,cos sin 1a b ααββ=+==+=r r
cos cos sin sin cos()cos()a b αβαβαββα=+=-=-r r g 。

10分
所以22(1)4cos()(1)0k k k βα-+-+-=，化简得4cos()0k βα-=， 因为，0k ≠，cos()0βα-=，。

11分 又0αβπ<<<，得0βαπ<-<， 所以，2
π
βα-=。

12分
20．（本小题满分12分）已知tan()24
π
α+=．
（Ⅰ）求tan α的值；
（Ⅱ）求22sin sin 21tan ααα
++的值．
解：（Ⅰ）因为tan
tan 4
tan(
)4
1tan
tan 4π
α
π
απ
α
++=
-⋅ ··················· 2'
1tan 211tan α
α+==-⋅ ·················· 3'
于是1
tan 3
α= ··························· 5'
(另解：tan()tan
144tan tan ()43
1tan()tan 44
ππ
απαααππα+-⎡⎤=+-==⎢⎥⎣⎦++⋅) （Ⅱ） 222sin sin 22sin 2sin cos 1tan 1tan ααααα
αα
++=++ ·············· 7'
()()
222
2sin 2sin cos 1tan sin cos ααα
ααα+=++ ····················· 9' ()()
22
2tan 2tan 1tan tan 1αααα+=++ ······················ 11' 22112()233311
5
(1)(()1)33
⨯+⨯
=
=++ ······················· 12' (另解：22sin sin 21tan ααα++22sin 2sin cos sin 1cos ααα
αα
+=+
22sin 2sin cos 2sin cos cos sin cos αααααααα+==+
222sin cos sin cos αααα=
+2
2tan 3
tan 15
αα==+) （请根据答题步骤酌情给分） 21．（本小题满分12分）已知函数()sin()(0,0,||)f x x A ωϕωϕπ=+>>< 的部分图象如图所示，
（Ⅰ）求函数的解析式； （Ⅱ）求函数的单调区间。

解：（Ⅰ）由图象可知2A =，
125212122
ππππ
ω=+=g ，所以2ω=；。

2分 所以()2sin(2)f x x ϕ=+，又图象的一个最高点为(,2)12
π-
所以2()2()12
2
k k Z π
π
ϕπ-
+=
+∈g ，解得22()3
k k Z π
ϕπ=
+∈ 又2||,3
πϕπϕ<∴=。

4分 所以2()2sin(2)3f x x π
=+。

6分 （Ⅱ） 由2222232k x k πππππ-+≤+≤+，得71212
k x k ππ
ππ-+≤≤-+。

8分 由23222232k x k πππππ+≤+≤+，得51212
k x k ππ
ππ-+≤≤+。

10分 所以，()f x 的单调增区间为7[,]()1212k k k Z ππ
ππ-+-+∈，
()f x 的单调减区间为5[,
]()1212
k k k Z ππ
ππ-++∈。

12分 22．（本小题满分12分）已知函数.,2
cos 32sin R x x
x y ∈+=
（Ⅰ）求该函数的周期和最大值；
（Ⅱ）该函数的图象经过怎样的平移和伸缩变换可以得到)(sin R x x y ∈=的图象．
解：（Ⅰ）sin
3cos 2sin()2223
x x x y π
=+=+。

3分 所以，函数的周期2412
T π
π==，函数的最大值为max 2y =。

6分。

（Ⅱ）该函数的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的1
2
倍（纵坐标不变），再把所得图象上所
有点向右平移3
π
个单位，可以得到)(sin R x x y ∈=的图象。

或将该函数的图象上所有的点向右平移2
3
π
个单位，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来
的1
2
倍（纵坐标不变），可以得到)
(
sin R
x
x
y∈
=的图象。

12分。