人教版七年级数学上册《计算重难题型》专题训练-附带答案

人教版七年级数学上册《计算重难题型》专题训练-附带答案
一．易错计算强化
1．计算：
（1）(1
3
−52+16)×(−36)；
（2）(−1)2022×3−23+(−1
4
)2÷|−1
25
|．
试题分析：（1）根据乘法分配律计算即可；
（2）先算乘方再算乘除法最后算加减法即可．
答案详解：解：（1）(1
3
−52+16)×(−36)
=13×（﹣36）−52×（﹣36）+16×（﹣36）＝﹣12+90+（﹣6）
＝72；
（2）(−1)2022×3−23+(−1
4
)2÷|−1
25
|
＝1×3﹣8+1
16
÷132
＝1×3﹣8+1
16
×32
＝3﹣8+2
＝﹣3．2．计算：
（1）−14−(−2)3×1
4
−16×(12−14+38)．
（2）−22−2×[(−3)2−3÷1
2 ]．
试题分析：（1）先算乘方再算乘法最后算加减法即可；
（2）先算乘方和括号内的式子然后计算括号外的乘法最后算减法即可．
答案详解：解：（1）−14−(−2)3×1
4
−16×(12−14+38)
＝﹣14﹣（﹣8）×1
4
−16×12+16×14−16×38
＝﹣14+2﹣8+4﹣6＝﹣22；
（2）−22−2×[(−3)2−3÷1 2 ]
＝﹣4﹣2×（9﹣3×2）
＝﹣4﹣2×（9﹣6）
＝﹣4﹣2×3
＝﹣4﹣6
＝﹣10．
3．计算：
（1）﹣32÷（﹣3）2+3×（﹣2）+|﹣4|；
（2）[50−(7
9
−1112+16)×(−6)2]÷(−7)2．
试题分析：（1）先算乘方再算乘除法最后算加减法即可；
（2）先算乘方再根据乘法分配律计算括号内的式子最后算括号外的除法．答案详解：解：（1）﹣32÷（﹣3）2+3×（﹣2）+|﹣4|
＝﹣9÷9+3×（﹣2）+4
＝﹣1+（﹣6）+4
＝﹣3；
（2）[50−(79−1112+1
6
)×(−6)2]÷(−7)2 ＝[50﹣（7
9−
1112
+1
6
）×36]÷49
＝（50−79×36+11
12×36−1
6×36）÷49 ＝（50﹣28+33﹣6）÷49 ＝49÷49 ＝1．
4．计算：（1）（−1
2）﹣（﹣31
4
）+（+23
4
）﹣（+51
2
）；
（2）﹣8+12﹣（﹣16）﹣|﹣23|； （3）42×（−2
3）﹣（−3
4）÷（﹣0•25）； （4）（13
4−
78−
7
12
）÷（−7
8）+（−83
）；
试题分析：按照有理数混合运算的顺序 先乘方后乘除最后算加减 有括号的先算括号里面的 计算过程中注意正负符号的变化．
答案详解：解：（1）原式＝（−12）+134+114−22
4 ＝（−1
2）+24
＝0；
（2）原式＝（﹣8）+12+16﹣23 ＝﹣3；
（3）原式＝（﹣28）﹣3 ＝﹣31； （4）原式＝（4224
−
2124
−
1424
）×（−87）−83
＝（−13）−83
＝﹣3． 5．计算下列各题：
①−14÷(−5)2×(−5
3)+|0.8−1|
②−52−[(−2)3+(1−0.8×3
4)÷(−22)×(−2)]．
试题分析：①原式第一项被除数表示1四次幂的相反数除数表示两个﹣5的乘积再利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算最后一项利用绝对值的代数意义化简计算即可得到结果；
②原式第一项表示5平方的相反数中括号中第一项表示三个﹣2的乘积第二项算计算括号中的运算再利用乘法法则计算即可得到结果．
答案详解：解：①原式＝﹣1÷25×（−5
3）+0.2＝﹣1×
1
25
×（−53）+0.2=115+15=415；
②原式＝﹣25﹣[﹣8+（1−3
5）÷（﹣4）×（﹣2）]＝﹣25﹣（﹣8+
2
5
×14×2）＝﹣25+8−15=−17.2．
二．二进制与十进制的转化
6．我们常用的数是十进制数计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和1）它们两者之间可以互相换算如将（101）2（1011）2换算成十进制数为：
（101）2＝1×22+0×21+1＝4+0+1＝5；（1011）2＝1×23+0×22+1×21+1＝11；
两个二进制数可以相加减相加减时将对应数位上的数相加减．与十进制中的“逢十进一”、“退一还十”相类似应用“逢二进一”、“退一还二”的运算法则如：（101）2+（11）2＝（1000）2；（110）2﹣（11）2＝（11）2用竖式运算如右侧所示．
（1）按此方式将二进制（1001）2换算成十进制数的结果是9．
（2）计算：（10101）2+（111）2＝（11100）2（结果仍用二进制数表示）；（110010）2﹣（1111）2＝35（结果用十进制数表示）．
试题分析：（1）根据例子可知：若二进制的数有n位那么换成十进制等于每一个数位上的数乘以2的（n﹣1）方再相加即可；
（2）关于二进制之间的运算利用“逢二进一”、“退一还二”的运算法则计算即可．
答案详解：解：（1）（1001）2＝1×23+0×22+0×21+1＝9；
（2）（10101）2+（111）2＝（11100）2；
（110010）2﹣（1111）2＝（100011）2＝1×25+1×21+1＝35．
所以答案是：9；（11100）2；35．
7．我们常用的数是十进制数计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和1）它们两者之间可以互相换算如将（101）2（1011）2换算成十进制数应为：（101）2＝1×22+0×21+1×20＝4+0+1＝5；（1011）2＝1×23+0×22+1×21+1×20＝8+0+2+1＝11．
按此方式将二进制（1001）2换算成十进制数和将十进制数13转化为二进制的结果分别为（）A．9 （1101）2B．9 （1110）2C．17 （1101）2D．17 （1110）2
试题分析：首先理解十进制的含义然后结合有理数运算法则计算出结果然后根据题意把13化成按2的整数次幂降幂排列即可求得二进制数．
答案详解：解：（1001）2＝1×23+0×22+0×21+1×20＝9．
13＝8+4+1＝1×23+1×22+0×21+1×20＝（1101）2
所以选：A．
8．计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和1）是逢2进1的计数制二进制数与常用的十进制数之间可以互相换算如将（10）2（1011）2换算成十进制数应为：（10）2＝1×21+0×20＝2 （1011）2＝1×23+0×22+1×21+1×20＝11．按此方式则（101）2+（1101）2＝18．试题分析：仿照所给的方式进行求解即可．
答案详解：解：（101）2+（1101）2
＝1×22+0×21+1×20+1×23+1×22+0×21+1×20
＝4+0+1+8+4+0+1
＝18．
所以答案是：18．
三．数值转化机
9．按如图所示的程序运算：当输入的数据为﹣1时则输出的数据是（）
A．2B．4C．6D．8
试题分析：把x＝﹣1代入程序中计算判断结果与0的大小即可确定出输出结果．
答案详解：解：把x＝﹣1代入程序中得：（﹣1）2×2﹣4＝2﹣4＝﹣2＜0
把x＝﹣2代入程序中得：（﹣2）2×2﹣4＝8﹣4＝4＞0
则输出的数据为4．
所以选：B．
10．下图是计算机计算程序若开始输入x＝﹣2 则最后输出的结果是﹣17．
试题分析：把﹣2按照如图中的程序计算后若＜﹣5则结束若不是则把此时的结果再进行计算直到结果＜﹣5为止．
答案详解：解：根据题意可知（﹣2）×4﹣（﹣3）＝﹣8+3＝﹣5
所以再把﹣5代入计算：（﹣5）×4﹣（﹣3）＝﹣20+3＝﹣17＜﹣5
即﹣17为最后结果．
故本题答案为：﹣17
11．按照如图所示的操作步骤若输入值为﹣3 则输出的值为55．
试题分析：把﹣3代入操作步骤中计算即可确定出输出结果．
答案详解：解：把﹣3代入得：（﹣3）2＝9＜10
则有（9+2）×5＝55．
所以答案是：55．
四．类比推理--规律类的钥匙
12．观察下列各式：
1 1×2+
1
2×3
=（
1
1
−
1
2
）+（
1
2
−
1
3
）＝1−
1
3
=23．
1 1×2+
1
2×3
+
1
3×4
=（
1
1
−
1
2
）+（
1
2
−
1
3
）+（
1
3
−
1
4
）＝1−
1
4
=34．
…
（1）试求1
1×2+
1
2×3
+
1
3×4
+
1
4×5
的值．
（2）试计算1
1×2+
1
2×3
+
1
3×4
+⋯+
1
n×(n+1)
（n为正整数）的值．
试题分析：（1）根据已知等式得到拆项规律原式变形后计算即可得到结果；（2）原式利用拆项法变形计算即可得到结果．
答案详解：解：（1）原式＝1−1
2
+12−13+14−15=1−15=45；
（2）原式＝1−1
2
+12−13+..+1n−1n+1=1−1n+1=n n+1．
13．阅读下面的文字完成后面的问题．
我们知道
1
1×2
=1−
1
2
1
2×3
=
1
2
−
1
3
1
3×4
=
1
3
−
1
4
那么
1
4×5
=
1
4
−
1
5
1
2005×2006
=
1 2005−
1 2006
．
（1）用含有n的式子表示你发现的规律1
n
−
1
n+1
；
（2）依上述方法将计算：
1 1×3+
1
3×5
+
1
5×7
+⋯+
1
2003×2005
=
1002
2005
（3）如果n k均为正整数那么1
n(n+k)=
1
k
⋅(
1
n
−
1
n+k
)．
试题分析：观察发现每一个等式的左边都是一个分数其中分子是1 分母是连续的两个正整数之积并且如果是第n个等式分母中的第一个因数就是n第二个因数是n+1；等式的右边是两个分数的差这两个分数的分子都是1 分母是连续的两个正整数并且是第n个等式被减数的分母就是n减数的分母是n+1．然后把n＝4 n＝2005代入即可得出第5个等式；
（1）先将（1）中发现的第n个等式的规律
1
n(n+1)
=
1
n
−
1
n+1
代入再计算即可；
（2）先类比（1）的规律得出
1
n(n+2)
=
1
2
（
1
n
−
1
n+1
）再计算即可．
（3）根据（2）的规律即可得出结论．
答案详解：解：∵第一个式子：1
1×2
=1−12；
第二个式子：1
2×3=
1
2
−
1
3
；
第三个式字：1
3×4
=
13
−1
4
… ∴
14×5
=
14
−15
12005×2006=
12005
−
12006
．
所以答案是：14
−15
12005
−
12006
；
（1）由以上得出的规律可知 第n 个等式的规律 1n(n+1)
=
1n
−
1
n+1
；
（2）原式=1
2（1−1
3+1
3−1
4⋯+1
2003−1
2005） =1
2（1−12005） =10022005
（3）由（2）可知n k 均为正整数
1k
⋅(1n
−
1n+k
)．
14．类比推理是一种重要的推理方法 根据两种事物在某些特征上相似 得出它们在其他特征上也可能相似的结论．阅读感知：在异分母的分数的加减法中 往往先化作同分母 然后分子相加减 例如：1
2−
13
=
32×3
−
23×2
=
3−26
=16
我们将上述计算过程倒过来 得到16
=
12×3=12
−1
3
这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地 对于
1
4×6
可以用裂项的方法变形为：
14×6
=
12(14
−
16
)．类比上述方法 解决以下问题．
【类比探究】（1）猜想并写出：1n×(n+1)
=
1n −1n+1
； 【理解运用】（2）类比裂项的方法 计算：1
1×2
+
12×3+13×4+⋯+
1
99×100
；
【迁移应用】（3）探究并计算：
1
−1×3
+
1−3×5
+
1
−5×7
+
1−7×9
+⋯+
1
−2021×2023
．
试题分析：（1）根据题目中的例子 可以写出相应的猜想； （2）根据式子的特点 采用裂项抵消法可以解答本题； （3）将题目中的式子变形 然后裂项抵消即可解答本题． 答案详解：解：（1）
1n×(n+1)
=
1n
−
1
n+1
所以答案是：1n
−
1
n+1
；
（2）由（1）易得：(1−12
)+(12
−13
)+(13
−14
)+⋯+(199−1100
) =1−1
2+1
2−1
3+1
3−1
4+⋯+1
99−1
100 =1−
1100 =99
100； （3）
1−1×3
+
1−3×5
+
1−5×7+1−7×9+...+
1−2021×2023
=−12×（
2
1×3+
2
3×5+25×7+
27×9+⋯+
2
2021×2023
）
=−12×（1−1
3+1
3−15+1
5−1
7+1
7−1
9+⋯+1
2021−1
2023） =−12×（1−1
2023） =−12
×2022
2023
=−
1011
2023
． 15．“转化”是一种解决问题的常用策略 有时画图可以帮助我们找到转化的方法．例如借助图① 可以把算式1+3+5+7+9+11转化为62＝36．请你观察图② 可以把算式1
2
+
14
+
18
+
116
+
132
+
164
+
1128
转化为
127128
．
试题分析：根据图形观察发现 把正方形看作单位“1” 即算式可以转化成1−1
128 再求出答案即可．
答案详解：解：1
2+
14
+
18
+
116
+
132
+
164
+
1128
＝1−1
128
=
127
128
所以答案是：127128
．
16．观察下列等式：
第1个等式：a 1=1
1×2=1−1
2； 第2个等式：a 2=1
2×3=1
2−1
3； 第3个等式：a 3=1
3×4=1
3−1
4； 第4个等式：a 4=
14×5=14−15⋯ 请解答下列问题：
（1）按以上规律写出：第n 个等式a n ＝ 1n(n+1)
=
1n
−
1
n+1
（n 为正整数）；
（2）求a 1+a 2+a 3+a 4+…+a 100的值； （3）探究计算：
11×4
+
14×7
+
17×10
+⋯+
12020×2023
．
试题分析：（1）对所给的等式进行分析 不难总结出其规律； （2）利用所给的规律进行求解即可；
（3）仿照所给的等式 对各项进行拆项进行 再运算即可． 答案详解：解：（1）∵第1个等式：a 1=1
1×2=1−1
2； 第2个等式：a 2=1
2×3=1
2−1
3； 第3个等式：a 3=1
3×4=1
3−1
4； 第4个等式：a 4=1
4×5=1
4−1
5； …
∴第n 个等式：a n =1
n(n+1)=1
n −1
n+1 所以答案是：
1n(n+1)
=
1n
−
1
n+1
；
（2）a 1+a 2+a 3+a 4+…+a 100
=11×2+12×3+13×4+14×5+⋯+1
100×101 ＝1−12+12−13+13−14+14−15+⋯+1100−1
101
＝1−
1101 =100101
； （3）
11×4+14×7+17×10+⋯+12020×2023 =13×（1−14+14−17+17−110+⋯+12020−12023
） =13×(1−12023)
=13×20222023
=6742023．
五．阅读类--化归思想
17．阅读下列材料：计算5÷（13−14+112）
解法一：原式＝5÷13−5÷14+5÷
112 ＝5×3﹣5×4+5×12
＝55
解法二：原式＝5÷（
412−312+112） ＝5÷16
＝5×6
＝30
解法三：原式的倒数＝（13−14+112）÷5
＝（13
−14+112）×15 =13×15−14×15+112×15
=130
∴原式＝30
（1）上述的三种解法中有错误的解法 你认为解法 一 是错误的
（2）通过上述解题过程 请你根据解法三计算（−142）÷（16−314−23+37）
试题分析：（1）根据运算律即可判断；
（2）类比解法三计算可得．
答案详解：解：（1）由于除法没有分配律
所以解法一是错误的
所以答案是：一；
（2）原式的倒数＝（16−314−23+37）÷（−142） ＝（16−314−23+37）×（﹣42） =16×（﹣42）−314×（﹣42）−23×（﹣42）+37
×（﹣42） ＝﹣7+9+28﹣18
＝12
∴原式=112．
18．先阅读下面材料 再完成任务：
【材料】
下列等式：4−35=4×35+1 7−34=7×34+1 … 具有a ﹣b ＝ab +1的结构特征 我们把满足这一特征的一对有理数称为“共生有理数对” 记作（a b ）．例如：（4 35）、（7 34）都是“共生有理数对”．
【任务】
（1）在两个数对（﹣2 1）、（2 13）中 “共生有理数对”是 （2 13） ； （2）请再写出一对“共生有理数对” （−12 ﹣3） ；（要求：不与题目中已有的“共生有理数对”重复）
（3）若（x ﹣2）是“共生有理数对” 求x 的值；
（4）若（m n ）是“共生有理数对” 判断（﹣n ﹣m ） 是 “共生有理数对”．（填“是”或“不是”）
试题分析：（1）读懂题意 根据新定义判断即可；
（2）随意给出一个数 设另一个数为x 代入新定义 求出另一个数即可；
（3）根据新定义列等式求出x的值；
（4）第一对是“共生有理数对”列等式通过等式判断第二对数是否符合新定义．答案详解：解：（1）（﹣2 1）
∵（﹣2）﹣1＝﹣3 （﹣2）×1+1＝﹣1 ﹣3＝﹣1
∴（﹣2 1）不是“共生有理数对”；
（2 1 3）
∵2−1
3
=532×13+1=53
5
3
=
5
3
∴（2 1
3
）是“共生有理数对”；
所以答案是：（2 1
3）；
（2）设一对“共生有理数对”为（x﹣3）∴x﹣（﹣3）＝﹣3x+1
∴x=−1 2
∴这一对“共生有理数对”为（−1
2﹣3）
所以答案是：（−1
2﹣3）；
（3）∵（x﹣2）是“共生有理数对”∴x﹣（﹣2）＝﹣2x+1
∴x=−1 3；
（4）∵（m n）是“共生有理数对”
∴m﹣n＝mn+1
∴﹣n﹣（﹣m）＝（﹣n）（﹣m）+1
∴（﹣n﹣m）是“共生有理数对”
所以答案是：是．
19．阅读材料解决下列问题：
【阅读材料】求n个相同因数a的积的运算叫做乘方记为a n．若10n＝m（n＞0 m≠1 m＞0）则n叫做以10为底m的对数记作：lgm＝n．如：104＝10000 此时4叫做以10为底10000的对数记作：lg10000＝lg104＝4 （规定lg10＝1）．
【解决问题】
（1）计算：lg100＝2；lg1000＝3；lg100000＝5；lg1020＝20；
（2）计算：lg10+lg100+lg1000+⋅⋅⋅+lg1010；
【拓展应用】
（3）由（1）知：lg100+lg1000与lg100000之间的数量关系为：lg100+lg1000＝lg100000；
猜想：lga+lgb＝lgab（a＞0 b＞0）．
试题分析：（1）应用题目所给的计算方法进行计算即可得出答案；
（2）应用题目所给的计算方法和有理数乘方法则进行计算即可得出答案；
（3）应用题目所给的计算方法进行计算即可得出答案．
答案详解：解：（1）根据题意可得
lg100＝2；lg1000＝3；lg100000＝5；lg1020＝20；
所以答案是：2 3 5 20；
（2）lg10+lg100+lg1000+⋅⋅⋅+lg1010
＝1+2+3+……+10
＝55；
（3）∵lg100+lg1000＝2+3＝5
lg100000＝5
∴lg100+lg1000＝lg100000；
所以答案是：lg100+lg1000＝lg100000；
lga+lgb＝lgab．
所以答案是：lgab．
20．阅读下列各式：（a•b）2＝a2b2（a•b）3＝a3b3（a•b）4＝a4b4…
回答下列三个问题：
（1）验证：（2×1
2）
100＝12100×（
1
2
）100＝1；
（2）通过上述验证归纳得出：（a•b）n＝a n b n；（abc）n＝a n b n c n．（3）请应用上述性质计算：（﹣0.125）2017×22016×42015．
试题分析：（1）先算括号内的乘法再算乘方；先乘方再算乘法；
②根据有理数乘方的定义求出即可；
③根据同底数幂的乘法计算再根据积的乘方计算即可得出答案．
答案详解：解：（1）（2×1
2）
100＝1 2100×（
1
2
）100＝1；
②（a•b）n＝a n b n（abc）n＝a n b n c n
③原式＝（﹣0.125）2015×22015×42015×[（﹣0.125）×（﹣0.125）×2]
＝（﹣0.125×2×4）2015×1 32
＝（﹣1）2015×1 32
＝﹣1×1 32
=−132．
所以答案是：1 1；a n b n a n b n c n．。