2018_19学年高中数学第1章常用逻辑用语疑难规律方法学案苏教版

第1章常用逻辑用语

1 怎样解逻辑用语问题

1.利用集合理清关系

充分(必要)条件是高中学段的一个重要概念，并且是理解上的一个难点.要解决这个难点，将抽象的概念用直观、形象的图形表示出来，看得见、想得通，才是最好的方法.下面通过使用集合模型对充要条件的外延与内涵作了直观形象的解释，实践证明效果较好.集合模型解释如下：

①A是B的充分条件，即A⊆B.(如图1)

②A是B的必要条件，即B⊆A.(如图2)

③A是B的充要条件，即A＝B.(如图3)

④A是B的既不充分又不必要条件，即A∩B＝∅或A，B既有公共元素也有非公共元素.(如图4)

或

图4

例1 设集合A，B是全集U的两个子集，则A B是(∁U A)∪B＝U的______________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)

解析当A B时，如图1所示，则(∁U A)∪B＝U成立；当A＝B时，如图2所示，则(∁U A)∪B ＝(∁U B)∪B＝U成立，即当(∁U A)∪B＝U成立时，可有A⊆B.

故A B是(∁U A)∪B＝U的充分不必要条件.

答案充分不必要

2.抓住量词，对症下药

全称命题与存在性命题是两类特殊的命题，这两类命题的否定又是这部分内容中的重要概念，解决有关此类命题的题目时一定要抓住决定命题性质的量词，理解其相应的含义，从而对症下药. 例2 (1)已知命题p：“任意x∈[1,2]，x2－a≥0”与命题q：“存在x∈R，x2＋2ax＋2＋a ＝0”都是真命题，则实数a的取值范围为______________.

(2)已知命题p ：“存在x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”与命题q ：“存在x ∈R ，x 2

＋2ax ＋2＋a ＝0”都是真命题，则实数a 的取值范围为____________. 解析 (1)将命题p 转化为“当x ∈[1,2]时， (x 2

－a )min ≥0”，即1－a ≥0， 即a ≤1.

由命题q 知，方程有解，即Δ＝(2a )2

－4×(2＋a )≥0， 解得a ≤－1或a ≥2.综上所述，a ≤－1.

(2)命题p 转化为“当x ∈[1,2]时，(x 2－a )max ≥0”， 即4－a ≥0，即a ≤4. 命题q ：a ≤－1或a ≥2. 综上所述，a ≤－1或2≤a ≤4.

答案 (1)(－∞，－1] (2)(－∞，－1]∪[2,4]

点评 认真比较两题就会发现，两题形似而神异，所谓失之毫厘，谬之千里，需要我们抓住这类问题的本质——量词，有的放矢. 3.挖掘等价转化思想，提高解题速度

在四种命题的关系、充要条件、简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词中，时时刻刻渗透着等价转化思想，例如互为逆否命题的两个命题(原命题与逆否命题或逆命题与否命题)一定同真或同假，它们就是等价的；但原命题与逆命题不等价，即原命题为真，其逆命题不一定为真. 例3 设p ：⎩⎪⎨⎪

⎧

3x ＋4y －12>0，2x －y －8≤0，

x －2y ＋6≥0，

q ：x 2＋y 2≤r 2 (r >0)，若q 是綈p 的充分不必要条件，求

r 的取值范围.

分析 “q 是綈p 的充分不必要条件”等价于“p 是綈q 的充分不必要条件”.设p ，q 对应的集合分别为A ，B ，则可由A ∁R B 出发解题.

解 设p ，q 对应的集合分别为A ，B ，将本题背景放到直角坐标系中，则点集A 表示平面区域，点集∁R B 表示到原点距离大于r 的点的集合，即圆x 2

＋y 2

＝r 2

外的点的集合. ∵A ∁R B 表示区域A 内的点到原点的最近距离大于r ， ∴直线3x ＋4y －12＝0上的点到原点的最近距离大于等于r . ∵原点O 到直线3x ＋4y －12＝0的距离为

d ＝

|－12|32

＋4

2

＝125

， ∴r 的取值范围为0<r ≤12

5

.

点评 若直接解的话，q 是綈p 的充分不必要条件即为

x 2＋y 2≤r 2 (r >0)在p ：⎩⎪⎨⎪

⎧

3x ＋4y －12>0，2x －y －8≤0，

x －2y ＋6≥0

所对应的区域的外部，也是可以解决的.但以上

解法将“q 是綈p 的充分不必要条件”等价转化为“p 是綈q 的充分不必要条件”，更好地体现了等价转化思想.

2 辨析“命题的否定”与“否命题”

一、知识梳理 1.定义

2.真假关系表

原命题、命题的否定与否命题的真假关系表：

3.常用正面叙述词语及它的否定

二、典例剖析

例1 写出下列各命题的否定形式及否命题：

(1)面积相等的三角形是全等三角形；

(2)若xy＝0，则x＝0或y＝0；

(3)若x，y都是奇数，则x＋y是奇数.

分析分清结论和条件，命题的否定只否定结论，而否命题既否定条件，又否定结论.

解(1)命题的否定：面积相等的三角形不是全等三角形；

否命题：面积不相等的三角形不是全等三角形.

(2)命题的否定：若xy＝0，则x≠0且y≠0；

否命题：若xy≠0，则x≠0且y≠0.

(3)命题的否定：若x，y都是奇数，则x＋y不是奇数；

否命题：若x，y不都是奇数，则x＋y不是奇数.

点评首先掌握“命题的否定”和“否命题”的区别和联系，把握关键词的否定，然后分清命题的条件和结论即可.

例2 写出下列命题的否命题与命题的否定，并判断原命题、否命题和命题的否定的真假：

(1)若x2<4，则－2<x<2；

(2)若m>0且n>0，则m＋n>0.

分析依据定义分别写出否命题与命题的否定.根据不等式及方程的性质逐个判断其真假. 解(1)否命题：“若x2≥4，则x≥2或x≤－2”；

命题的否定：“若x2<4，则x≥2或x≤－2”.

通过解不等式可以知道，原命题为真，否命题为真，命题的否定为假.

(2)否命题：“若m≤0或n≤0，则m＋n≤0”；

命题的否定：“若m>0且n>0，则m＋n≤0”.

由不等式的性质可以知道，原命题为真，否命题为假，命题的否定为假.