数学期望在经济决策中的应用

数学期望在经济决策中的应用
摘要
我们都知道，随着社会的发展，经济全球化的进一步深入，“经济”已经成为社会关注的热点问题，而股票，期权，投资，最佳进货量等经济学问题又与人们紧密联系，为了使人们获得最大收益，就需要我们利用专业的数学知识进行分析，决策。

而数学期望在这里发挥了重要的作用。

这篇论文主要介绍了数学期望的来源，定义，以及应用。

期望值在经济方面的大量应用，例如职位决策，风险投资，最优库存和期权定价。

这让我们更好的认识到期望的广泛应用性和重要性。

关键字：数学期望应用经济
Abstract
As we all know, with the development of society and the further economical globalization ，"Economy" has become the hot issues of social concern .The economics of stocks, options, investment, best purchase amount and so on closely contact with people. In order to enable people to gain maximum benefit we need to take advantage of the professional knowledge of mathematics to analyze, decision-making. The mathematical expectation played an important role.This thesis mainly introduces the origin, the definition, and the applications of mathematical expectation, A number of applications of the expected valued in economics such as post decision, risk investment, optimal inventory and option pricing .are given rise to a better understanding of its extensive applications and significance.
key words：Mathematical expectation ; Applications ; Economics.
目录
1．数学期望与经济决策,,,,,,,,,,,,,,,,,, 1
1.1 引言,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 1
* ■ * JI 口J J J J J J J J J J J J J J J J J J J J J J J J J * 1.2 数学期望的来源,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 1
1.3 数学期望的定义,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 2
2. 数学期望在经济决策中的应用,,,,,,,,,,,,,,, 2
2.1 决策方案问题,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 2
2.2 生产与销售利润问题,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 3
2.3 期权定价问题,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 5
3. 结果与结论,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 6
4. 收获与致谢,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 7
5. 参考文献,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 8
1 .数学期望与经济决策
1.1引言
我们知道，概率论是从数量上研究随机现象的学科，而随机变量的分布函数能够全面的描述随机变量取值的统计规律性。

而在经济决策中，利用概率统计知识可以获得合理的决策，但是要求出随机变量的分布函数并非易事，实际上对于很多实际问题，我们只需知道随机变量的某些重要特征即可，而数学期望则是随机变量的最重要的特征数，近些年来，数学期望已经在经济决策中有着广泛的应用，为决策者作出最优决策提供了重要的理论依据。

1.2数学期望的来源【1】
数学期望源于一个分赌本的问题。

17世纪中叶一位赌徒向法国数学家帕斯苦提出一个使他苦恼长久的
分赌本的问题：甲乙两位赌徒相约，用掷硬币进行赌博，谁先赢三次就得全部赌本100法郎，当甲赢了两次，乙赢了一次的饿时候，双方都不愿意再赌下去了，那么赌本应该如何分呢？
帕斯卡提出如下算法：在甲赢两次乙只赢了一次的时候•最多只需要在玩两次就可以结束这次赌博，而再玩两次可能会出现四种结果。

其中前三种结果'1，- -2，-3，只要有任意一个发生都能使甲得100
法郎，只有当4发生时•甲得0法郎，乙得100法郎。

由于这四种结果都是等可能的，故甲得100法郎的概率为3/4,乙得100法郎的概率为1/4。

从而甲应期望得到100X
（3 /4）=75法郎。

完整的说，甲应期望得到（甲有希望得到）：
3 1
100 0 75（法郎）
4 4
这就是帕斯卡的答案。

意思是：如果再进行这样的赌博多次，甲每次平均可以得到 法郎。

1.3数学期望的定义
[2]
则称
-bo
E （X 尸瓦 x P （Xi ）
i 4 为随机变量X 的数学期望。

定义2若连续型随机变量X 的密度函数为Px ,如果 □x |p(x)clx<p
,
-be
则称
E X 二 一 xp x dx
为X 的数学期望
2. 数学期望在经济决策中的应用
2.1决策方案问题
2.1.1面试方案
设想某人在求职过程中得到了两个公司的面试通知，
假定每个公司有三种不同的职
位:极好的,工资4万;好的,工资3万;一般的,工资2.5万。

估计能得到这些职位的概率 为0.2、0.3、
0.4，有0.1的可能得不到任何职位。

由于每家公司都要求在面试时表态 接受或拒绝所提供职位，
那么，应遵循什么策略应答呢？
极端的情况是很好处理的，如提供极好的职位或没工作，当然不用做决定了。

对于 其他情况，我们的方案是，采取期望受益最大的原则。

先考虑现在进行的是最后一次面试，工资的期望值为
：E1=4 X 0.2+3 X 0.3+2.5 X
0.4+0 X 0.1=2.7 万。

那么在进行第一次面试时，我们可以认为，如果接受一般的值位，期望工资为
2.5
万，但若放弃(可到下一家公司碰运气)，期望工资为2.7万，因此可选择只接受极好的 和好的职位。

这一策略下工资总的期望值为 4X 0.2+3 X 0.3+2.7 X 0.5=3.05万。

如果此人接到了三份这样的面试通知，又应如何决策呢？
75
X 的分布列为 p （M ）= P （ X = x ）, i =1，2，
,n ，
如果
-bo
Z Xi P （Xi ）＜-Hc i
定义1若离散型随机变量
最后一次面试，工资的期望值仍为2.7万。

第二次面试的期望值可由下列数据求知：极好的职位，工资4万;好的，工资3万；一般的，工资2.5万;没工作（接受第三次面试），2.7 万。

期望值为:E2=4X 0.2+3 X 0.3+2.5 X 0.4+2.7 X 0.1=3.05 万。

这样，对于三次面试应采取的行动是：第一次只接受极好的职位，否则进行第二次面试；第二次面试可接受极好的和好的职位，否则进行第三次面试；第三次面试则接受任何可能提供的职位。

这一策略下工资总的期望值为4X 0.2+3.05 X 0.8=3.24万。

故此
在求职时收到多份面试通知时，应用期望受益最大的原则不仅提高就业机会，同时可提高工资的期望值
2.1.2投资方案
某投资者有10万元，现有两种投资方案：一是购买股票，二是存入银行获取利息。

买股票的收益主要取决于经济形势，假设可分三种状态：形势好！形势中等！形势不好（即经济衰退）。

若形势好可获利40000元；若形势中等可获利10000元；若形势不好要损失20000元。

如果是存入银行，假设年利率为8%,即可得利息8000元。

又设经济形势好，中等，不好的概率分别为30%，50%和20%。

试问该投资者应选择哪一种投资方案？
分析：购买股票的收益与经济形势有关，存入银行的收益与经济形势无关。

因此，要确定选择哪一种方案，就必须通过计算这两种投资方案对应的收益期望值E来进行判断。

从上表可以初步看出，如果购买股票在经济形势好和经济形势中等的情况下是合算的, 但如果经济形势不好，则采取存人银行的方案比较好。

下面通过计算加以分析。

如果购买股票，其收益的期望值：
E仁4000 0.3 1000 0.5 -2000 0.2=13000 （元）
如果存入银行，其收益的期望值：
E2-8000 0.3 8000 0.5 8000 0.2=8000 （元）
因此，购买股票的收益比存入银行的收益大，按期望收益最大原则，应选择购买股票。

按风险决策中的期望收益最大准则选择方案，这种方法有风险存在[3]O
2.2生产和销售利润问题
在经济活动中，不论是厂家的生产还是商家的销售，总是追求利润的最大化，供大于求或供不应求都不利于获得最大利润。

但供应量和需求量又不是预先知道的。

理性的厂家或商家往往根据过去的数据（概率），用数学期望结合微积分的有关知识，制定最佳的生产或销售策略。

2.2 . 1.最佳进货量的决策
设市场对某商品的需求量X （单位：吨）是服从[2,4]上的均匀分布的随机变量，每销售一吨商品可赚3万元，但销售不出去每吨浪费1万元，问应组织多少货源才能取得最大收益？解：设进货量为a吨收益为丫万元，则
X的概率密度为
1
,2乞x乞4
f (x)=二2
[0,其他
_ . , 1_a 4 T
E Y (a )]= Jq Y(a)f (x)dx = —| £(4x - a Jdx + [ 3adx 2 •—i
2 2 2
= —a ' 7a —4 = - a —3.5 ' 3.5 —4，
所以应组织3.5顿货源，才能取得最大收益
2.2 . 2利润最大化
1）. J.R.Ryland计算机公司正在考虑一项厂房扩建计划，以生产一种新的计算机产品
公司总裁必须决定扩建项目是中型还是大型的，但又无法确定对新产品的需求量。

需求
量的预测可能为低，中，或高，对应的概率估计为0.20,0.50，和0.30.令x代表以千
美元计的年度利润，公司规划者已经做出了中型和大型扩建项目的利润预测。

计算两种扩建方案利润的数学期望，哪个方案对数学期望利润最大化的目标更优? 解：分析题目可知扩建项目是中型时利润期望为：(
当扩建项目为大型时利润期望：
E2=0 0.2 100 0.5 300 0.3 =140 (千美元)
比较结果我们知道选择扩建大型项目更合算。

⑸
2). 一商店销售某种商品，每周进货量X与顾客对该种商品的需求量丫是相互独立的随机变量，且都服从区间10,20 1上的均匀分布，商店每售出一单位可得利润1000元，若需求量超过了进货量，商店可以从其他商店调剂供应，这时每单位商品利润500元，试计算此商店经销该种商品每周所得利润的期望值。

1 1
,10 空X Z20 , 10空y ^20
解：f x x = 10 « y = 10
[0, 其他[0, 其他
设Z表示商店每周所得的利润(图示见附录)则
”1000Y , YEX
Z
1000X +500(Y -X ) = 500(X +Y ), Y〉X
由X与Y相互独立，所以X,Y的联合密度函数为
1
,10 ^x 空20 10 空y 空20
®(x,y )=」100‘'
、0, 其他
故
E(Z)二 1000y ・dxdy
500 x y — dxdy
D 1 100
D ； 100
x 20 y
10 ydy 5 dy x y dx
20
1
2
20 3 2 =1O io 2
x -100 d x 5 io -y
2.2 . 3最优库存
一商场某种食品的进价为65元/千克，零售价为70元/千克，若卖不出去，则削价 20%处理,如供应短缺,有关部门每千克罚款10元。

已知客户对该食品的需求量Z 服从 [20000, 80000 ] 上的均匀分布,求该商场在春节期间对该食品的最优库存策略。

解：设库存量为y ,则20000乞y < 80000，库存量为y 时所得利润为
5y T0「y , y _
_80000
5 -9 y -
,20000 乞 < y
期望利润为
_
_
1
- y
80000
T
E g (匚) --------- if (14© —9y)d 匚 + j (15y —10匚)d ©
--60000 ] 20000
J y 7 _l
1 2 10
12y 1380000 y-3.48 10
60000
令
0,可得当y=57500,即库存量为57500千克时期望利润最大，且最大
dy
利润为81250.⑹
2.3期权定价问题
假设上市公司A 的股票价格现在是每股$200,为了激励你为A 公司工作，你也许会 被给予在一年后以$200的价格买入一定数量的股票的权力，如果你认为明年的股票会上 涨的话，这个权力就很有价值，为简化起见，假设一年后的股价X 是个离散型随机变量， 只能取两个值（以美元计）：260或180.设X=260的概率为P,你想计算股票期权的价值， 因为或许你想预测卖掉它们的可能性，或许你想比较
A 公司和其他公司的出价，令丫是 一年后到期的一股股票的期权的价值，因为若股价
X<200,则每人愿意花$200去买这只
股票，当X=180时的期权价值为0,若X=260,则可以以每股200美元再立刻以260美 元卖出，取得每股60的收益。

（为简化起见，忽略股利和买卖股票的交易成本。

）则Y=h
（X ）,其中
20
o rl —
=20000 =3
5 1500 ： 14166.67 元
-10y -50
ro,x=i8o
h x 二
'‘〔60,x=260
假设投资者同年可以获得4%勺无风险收益，（设4%包含复利）如果没有其他投资方式，期权的合理成本即一年里E（Y）的现值，这个值等于c,满足E（ Y）=1.04c，即一年后的收益应该等于投资者不买此期权获得的价值，很容易可得E（Y）：
E（Y）= （1 -p） 60 p =60p
所以，买一股股票的期权的合理价格应为c=60p/1.04=57.69p
确定p需要一种金融业的标准方法，假设X （一年后股票价格）的均值的现值等于当前股价，即买一股股票然后一年后卖出的期望等于把股票成本无风险投资一年所得（此例中乘以1.04）E （x）=200x1.04 又E（X）=260p+180（ 1-p），p=0.35⑺
3. 结果与结论
在日常生活和经济活动中，无论单位或个人都应该具有合理的决策能力，如个人的
采购、求职、投资，企业的生产或经营方案等，经常需要对事物的进展情况作出经济
决策，以便用最有利的方式采取行动。

由于受随机因素的影响，使得决策带有风险性。

因此，人们常把数学期望作为决策参考的重要依据。

实践证明，当经济决策问题较为复杂时，决策者在保持自身判断的条件下处理大量信息的能力将减弱，在这种情况下，经济决策的分析方法可为决策者提供强有力的科学工具，以帮助决策者做出决策。

数
学期望在经济决策方面的运用会进一步的发展，以期获得最大的经济效益
4. 参考文献
茆诗松，程依明，濮晓龙著《概率论与数理统计教程》高等教育出版社2004 年
[3]张丽娅..卢志辉.数学期望在物流管理中的应用-中国市场2009
[4]谢兴武李宏伟著《概率统计释难解疑》科学出版社2007年2月
David R.An ders on Denn is J.Swee nty Thomas A Williams《Statistics for BusinessandEconomics》商务与经济统计王峰卿前锋译（第八版）中信出版社2003年9月
⑹贺慧，李慧敏数学期望及其在经济决策中的应用2010（09）112
[7] MorrisH.DeGroot Mark J.Schervish 〈Probability and statistics > 概率统计（第三版）
叶中行，王蓉华，徐晓岭译人民邮电出版社2007年3月。