凸函数的共轭函数的几何解释

一
（ （
， ｚ ， ） ） 一（ －２ ， ｚ ， 一 ），
得 到凸锥 ｃ ｌ Ｋ ．
Ｖ 锥 ｃ ｌ Ｋ 被 超平 面 ：一 １ （ 即： 一１ ） 切割 ， 得 到 凸集 Ｃ ２ ．
Ⅵ 由Ｃ ２ 作 为 函数 （ ） 的上 图 ， 得到 厂 （ ） 的共 轭 函数 （ ） ． ， （ ） 及其共 轭 函数 （ ） 的关 系也 可 以用下 式表 示．
Ｃ ｚ 一 ｛（ １ ， ｚ ， ）∈ Ｒ Ｉ ≥ ｆ （ ｚ ）） ．
（ ２ ）
（ ３ ）
生 成的锥 ． 则下 列结论 成 立． ｃ ｌ Ｋ。 一 ｛（ ， ｚ ， ）Ｉ（ 一 ， ｚ ， 一 ）∈ Ｋ。 ） ． （ ４ ）
证明 略， 见文 献 ［ － ３ ３ ．
但 是对给 定 的一 个 凸 函数 ， 通 常情 况 下并不 容易 直 观 的想 象 到 它 的共 轭 函数 的 图像． 如果 能பைடு நூலகம்对 凸
共 轭 函数的 图像有一 个直 观 的 了解 ， 就 能更 好地理 解 这个 函数 的一些 性质 ， 譬 如 ：函数 的凸性 ， 函数 的
极 值 性质等 ， 尤其是 有 助于 理解 凸 函数及 其共轭 函数 之 间 的关 系． 笔 者基 于对 凸 函数及 其共 轭 函数 概
１ ３
根据定 义 ， 锥 Ｋ 的极锥 为 ： Ｋ。 一 ｛（ ｚ １ ， ２ ） ｌ ｚ ２ ≤ 一ｌ １ Ｊ｝ ． 定义 ３ 任给非 空 凸集 Ｃ， 则 由凸集 Ｃ生 成 的凸锥 记作 ｃ ｏ ｎ ｅ Ｃ， 定义 为
ｃ ｏ ｎ ｅ Ｃ一 ｛ ≥ ０ ｌ ， ｚ∈ Ｃ） ．
因此我们在同一个坐标系下给出了凸函数的回收锥它们的极小值之间的关结束语给出了凸函数的共轭函数的几何解释该几何解释有助于我们对共轭函数概念的理解加深对凸函数及其共轭函数之间关系的理解辽宁师范大学学报自然科学版第36convexfunctionitsconjugatefunctionconjugateconvexmathematicalprogrammingjenagerman
在凸 函数 及 凸优 化 中 ， 凸函数 和 凸 函数 的共 轭 函数 以及 他们 之 间 的关 系理论 是一个 非常 重要 的 内
容， 对 他们 的详细介 绍 可参见 文 献［ １ — ３ ］ ． 共 轭 函数 被 广 泛地 应 用 到科 学 研究 与应 用 领 域 ， 如金 融优 化 问题 ， 网络优 化问题 ， 分 布式优 化 等领 域 中［ ．
若 ＝０ ，
【 ＋ｏ 。
从 定义 １ ， 可 以得 到
收稿 日期 ： ２ ０ １ ２ — １ １ — ２ ２
若Ｘ ＜０ ．
基金项 目： 国家 自然 科 学 基 金 项 目（ １ １ １ ７ １ ０ ４ ９ ） ； 山东 科 技 大学 春 营 计 划 资助 （ ２ ０ ０ ８ ＡＺ Ｚ ０ ４ ９ ） 作者 简 介 ： 董玉 林 （ １ ９ ６ ８ 一） ， 男， 山东济宁人 ， 山东 科 技 大 学 副 教 授 ， 博士； 夏尊铨 （ １ ９ ３ ７ 一） ， 男， 辽宁大连人 ， 大连理工大学教授 ， 博 士生 导 师 ．
厂 （ ） 一ｓ ｕ ｐ｛ （ ， Ｘ ＞ 一 （ ） ） ．
∈Ｒ
例１ 考 虑凸 函数 （ ｚ ） 一ｅ ， ｘ∈Ｒ， 根据 定义 １ ， ， （ ｚ ） 的共 轭 函数 （ ｚ ） 为
ｆ ｚ。 ｌ ｏ ｇ ｘ 一Ｘ。 若 Ｘ ＞０ ，
，。 （ ｚ ）一 ０
ｆ（ ｘ １ ＝ｅ
一
ｆ＊ （ ｃ － １ ）
一 一 — ｌ Ｉ ｃ ）
／
一
－
，
Ｉ
２
图 １ 凸 函数 ｌ 厂 （ ｚ） 及 其 共 轭 函数 ＿ 厂 （ ｚ ） 之 间 的 关 系 Ｆ ｉ ｇ ． １ Ｔｈ ｅ ｒ ｅ ｌ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ ｃ ｏ ｎ ｖ ｅ ｘ ｆ ｕ ｎ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ＿ 厂 （ ｚ）ａ ｎ ｄ ｉ ｔ ｓ ｃ ｏ ｎ ｊ ｕ ｇ ａ ｔ ｅ［ ｕ ｎ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ｆ （ ｚ ）
一
个 函数 的 图像 对理 解该 函数 的性 质 非常重 要． 基 于 凸分析 中凸函数及其 共轭 函数 的概
念及 性质 ， 给 出 了共 轭 函数 的几何 解释． 这 种 解释 有 助 于对 共 轭 函数 的概 念及 其 性 质 的
理解． 关键词 ： 共 轭 函数 ； 凸函数 ； 凸优 化 中 图分类号 ： ０２ ２ １ 文献 标 志码 ： Ａ
－ 厂 （ ）一 Ｃ１ 一 Ｋ — Ｋ。 一ｃ ｌ Ｋ 一 Ｃ ２ 一 厂 （ ） ．
图 ２给 出了凸 函数 厂 （ ｚ ） 及 其共 轭 函数 厂 （ ） 之 间关 系 的一 个 示 例． 注 意到 ９ ５ － １ 的 实质 就 是 把 。 及 所代表 的 坐标轴互 换 位置 ， 并 且 这 两个 坐标 轴 的负 向改 成相 反 的 正方 向． 因此 我 们 在 同一 个 坐 标系 下给 出了 凸函数 厂 （ ｚ ） 及其 共轭 函数 厂 （ ） 的 图像． 图 ２同时 给出 了凸 函数 ， （ ｚ ） 的 回收锥 及其 共 轭 函 数 厂 （ ｚ ） 的 回收 锥 ， 它们 的极小 值 之 间 的关 系， 如ｉ ｎ ｆ 厂 （ ）一 一ｆ （ ０ ） 等．
１ １
—
ｌ ｏ ｇ ２ ３ ＋ ， 则 ｆ （ ２ ３ ）
１
一 ｚ ｌ ｏ ｇ ｘ 一 ． 例 如令ｚ 一 亡， 则以 ｅ 为 斜率的 直 线和－ 厂 （ ） 相 切于 点（ 一１ ， 亡） ， 且该 直线的 截 距为
ｏ １ ０
詈， 所以ｆ （ ÷ ） 一 一 ｛； 若ｚ 一 ０ ， 以０ 为 斜率 的 直 线， 若 在函 数． 厂 （ ． 一 ｒ ） 的 图 像 下 方 且 具 有 最 大 的 截
第３ ６卷 第 １ 期
２ ０ １ ３年 ３月
辽 宁 师 范 大 学 学报 （ 自然 科 学版 ）
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｌ ｉ ａ ｏ ｎ ｉ ｎ ｇ Ｎｏ ｒ ｍａ ｌ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ（ Ｎａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ Ｅ ｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ）
下面我 们给 出能刻 画 凸函数 及其共 轭 函数 关 系 的一 个 定理 ．
定理 １ 嘲 若 厂 ： Ｒ” 一 Ｒ是定 义在 Ｒ 上 的正 常闭 凸 函数 ， ， ： Ｒ 一Ｒ是 厂（ ） 的共轭 函数 ， Ｋ 是 由
凸集
Ｃ ＝｛（ １ ， Ｘ， ）∈Ｒ ｌ ≥ （ ） ） 生 成 的锥 ． 而 Ｋ 是 由凸集
１ ２
辽 宁 师 范 大 学 学报 （ 自然科 学 版 ）
第３ ６卷
＿ ／ （ ２ ３ ） 一ｓ ｕ ｐ｛ ＜ ３ ７ ， ） …． ／ （ ） ｝ 一
』∈ Ｒ
ｉ ｎ ｆ｛ ｌ ≥ （ ， ＞ 一 ‘ ｆ （ ２ ３ ） ， Ｖ３ ２ ∈Ｒ ｝ 一
∈ Ｒ
： 及 其性质 的研究 ， 给 出 了凸 函数 的共 轭 函数 的几何解 释 ．
１ 共 轭 函数 的几 何 解 释
对 给定 的凸 函数 ，（ ） ， 给 出该 函数 的共轭 函数 ， （ ｚ ） 的几何 解释 ． 首先 给 出相关 的一 些基 本概 念． 定义 １ 若 ： Ｒ” 一Ｒ 是定 义在 Ｒ” 上 的 凸函数 ， 则， （ ｚ ） 的共 轭 函数 ， ： —Ｒ 定 义为
ｉ ｎ ｆ｛ ｌ （ ） ≥ ＜ ２， ３ ＞ －ｔ ｚ ， Ｖ ∈Ｒ ）
∈ Ｒ
（ １ ）
根据 式 （ １ ） ， 可 以给 出 凸 函数 的共 轭 函数 的其 中一 种几 何 解释 ． 共 轭 函数 ＿ 厂 （ ２ ３ ）在 点
３ ２ ● Ｏ
处 函数
｛ ； ｔ Ｃ １ Ｉ ≥ ０ ， ∈Ｃ 。 ） ＝ ｛ （ ， ｚ， ）∈ Ｒ 。 Ｉ ≥ ０ ， ≥ 厂 （ ｚ ） ） ． Ⅲ 由极锥 的定义 ２ ， 得 到锥 Ｋ 的极 锥 Ｋ。 ．
Ⅳ 再根据 映射 （ ５ ） 的逆映 射 ＿ 。 ： Ｋ。 － － ￣ ｃ ｌ Ｋ ， 即：
Ｖｏ ｌ Ｉ ３ ６ ＮＯ ． １
Ｍａ ｒ 。 ２Ｏｌ ３
文章编号 ： １ ０ ０ ０ — １ ７ ３ ５ （ ２ ０ １ ３ ） Ｏ ｌ 一 ０ ０ １ ｉ － ０ ４
ｄ ｏ ｉ ： １ ０ ． １ １ ６ ７ ９ ／ １ ｓ ｘ ｂ １ ｋ ２ Ｏ １ ３ Ｏ １ Ｏ ０ ｌ ｌ
３ ． 大连理工大学 数学科学学院 ， 辽 宁 大 连 １ １ ６ ０ ２ ４ ）
摘 要 ： 在 凸分析 和 凸优 化 中 ， 凸函数 的共轭 函数是 一个 非 常重 要的概念． 给定 一个 凸函
数， 要求 出该 函数 的共轭 函数 ， 并对 共轭 函数 的图像 有 一个 直观 清晰 的 了解并 不容 易． 而
凸函 数的共轭函数的几何解释
董 玉林 ， 邵 福 波。 ， 夏 尊铨。
（ １ ． 山东 科 技 大 学 信 息 科 学 与 工 程 学 院 ， 山东 青岛 ２ ６ ６ ５ １ ０ ；２ ． 青 岛 滨 海 学 院 信 息 工 程学 院 ， 山东 青 岛 ２ ６ ６ ５ ５ ５ ；
Ｋ。 一 ｛－ ｚ Ｉ Ｖ ∈Ｋ ， （ － ｚ， ｚ ＞≤ ０ ） ．
例 ２ 考 虑二维 欧 氏空 间 Ｒ ：中的 凸锥
Ｋ一 ｛（ ｚ １ ， ２ ）ｌ ｚ ２ ≥ ｌ ｚ １ Ｉ ， １ ∈Ｒ， ２ ∈Ｒ｝ ，
第 １期
董 玉林 等 ： 凸 函数 的 共轭 函 数 的 几 何 解 释
虽然 图 １能反 映 出凸函数 厂 （ ） 及 其 共 轭数 （ ｚ ） 的一 些 关 系 ， 但是 不 能直 观 地看 到 共 轭 函 数
厂 （ ｚ ） 的图像． 下面 给 出凸 函数及 其共 轭 函数 的另 外一 种 几何 解 释 ， 通过 该 几何 图 示 ， 可 以 同 时看 到 凸 函数 ＿ 厂 （ ｚ ） 及其共 轭 函数 ／ （ ２ ３ ） 的 图像． 在给 出几 何 图示之 前 ， 需要 先 给 出一些 相关 基 本 概念 及 其 性 质． 定 义 ２ 任 给非 空 凸锥 Ｋ ， 则 锥 Ｋ 的极 锥定 义为
距， 必为 一０ ， 即 轴 ， 该 截距 为 ０ ， 即 ＿ 厂 （ ｚ ） 一ｅ 相交 ， 即不存 在 以 （ ０ ） 一０ ；若 ＜ ０ ， 则以 为 斜 率 的任何 直 线 ， 必 与 函数 为斜 率 的直 线在 ＿ 厂 （ ） 一ｅ 的下方 ， 则定 义 ． 厂 （ － ｚ ） 一 ＋。 。 ．
● ２ ３
值 的负数 （ 即一． 厂 （ ２ ３ ） ） 可 以理解 为包 含 函数 ． 厂 （ ｚ ） 上 图 的某些 超平 面 的截 距 的 卜 确 界． 图 ｌ以凸 函数 ｆ （ ２ ３ ）一ｅ ， ｚ∈Ｒ 为例 ， 给 出 了详细 的解 释． 图 １ 首 先给 出 了 ｆ （ ２ ３ ） 的图像 ， 其 中， 把 方， 且 以
（ ５ ）
因此给定 凸 函数 厂 （ ｚ ） ， 可 以 由下列 步骤 得到 （ ｚ ） 的共 轭 函数 厂 （ ｚ ） 的图像 ．
Ｉ 根据 式 （ ２ ） ， 得 到 凸集 Ｃ ． Ⅱ 根 据定 义 ３ ， 由凸集 Ｃ 生 成 凸锥 Ｋ， 即：
Ｋ— ｃ ｏｎ ｅ Ｃ１ 一
给 定 凸函数 ，， 定 理 １刻 画 了锥 Ｋ， 锥 Ｋ 及 极锥 Ｋ。 之 间的关 系． 锥 Ｋ 与锥 Ｋ。 之 间 的关 系可 由 下 面 的映射得 到 ：
：ｃ ｌ Ｋ 一 Ｋ 。 ，
其 中
ｊ ５ （ （ ， ， ） ）一 （ －， ｕ ， Ｘ ， 一 ） ．
一
理解为空间 Ｒ 中直 线 的斜 率 ， 考 虑 函数 （ ｚ ） 图像 下
为 斜 率 的所 有 直 线 ， 则 一ｆ （ ３ ２ ） 就 是 这 些 直 线 的 截 距 的上 确 界 ． 根 据 图示 可 以看 出 ， 以
Ｌ 厂 （ ） 为截距 的直线 ， 必 定是 函数 ／ （ ｚ ） 一ｅ 的图像 的一 条切 线 ． 若 ＞０ ， 通过 计算 得 ｆ （ ２ ３ ） 的以 ３ ７ 为斜 率 的切 线方 程 为 —