第五章 应力状态分析、强度理论、组合变形.

m
m
A
(a)
τ m W
A
(b)
3
450
x A
τ max
1
(c)
5.3 三向应力状态简介、广义虎克定律
5.3.1 三向应力的最大应力
三向应力状态：若过一点单元体上三个主应力均不为零。 称该单元体处于三向应力状态。
设三向应力状态的三个主应力为： 1、 2、 3
则： max 1
匀分布的，其值为：



N A

Pcos
A
②.在横向力Py作用下，在固定端处的弯矩最大，其值为：
Mmax PyL PLcos
W
W
W
③.危险截面的总应力为： N Mmax N PLcos
AWA W
或
： max min
1



1



1


1
σ1 E

μ σ2 E

μ σ3 E

1 E
1

( 2
3
)
同理可得： 2

1 E
σ2
μ(σ1
σ3
)
ε3

1 E
σ3
μ(σ1
σ2
)
5.4 强度理论简介
5.4.1 脆性断裂理论
1.最大拉应力理论（第一强度理论）：此理论认为最大拉 应力是引起断裂的主要因素。
第五章 应力状态分析 强度理论 组合变形
一、课时安排：4学时 二、本章的重点、难点：
1.重点：强度理论； 2.难点：三向应力状态分析； 3.掌握平面应力状态分析中主应力的求法；
三、本章授课内容：
5.1 应力状态的概念 5.2 平面应力状态分析 5.3 三向应力状态简介、广义虎克定律 5.4 强度理论简介 5.5 组合变形的强度计算
σy
t
5.2 平面应力状态分析
化简后得：
xcos2 ysin 2 2 xysin cos
( x y )sin cos xy (cos2 sin 2 )
因：cos2 1 cos2 , sin 2 1 cos2 ,
σ2
σ2
σ3
σ1
σ3
σ1
对应于主应力 1、 2、 3方向的
线
应
变
别
为
1、
2、
，
3
称
为
主
应
变
。
在
单
1
独
作
用
下
，
沿
1
方
向
的
主
应
变:


1

σ1 E
在 2 , 3单独作用下，在 1方向引起的主应变为:


1



σ2 E
,

1

σ3 E
根据叠加原理，在 1、 2、 3三个主应力作用下， 沿 1方向的主应变为：
0
设
极
值
剪
应
力
所
在
平
面外
法
线
与x轴
正
向
夹
角
为
，
1
则
：
tan21

x y 2 xy
(5 7)
由
上
式
解
出s
in2
1和c
o
s
2
，
1
代
回
（5
-
4）
式
可
得
：

max min



(x
y
2
)2


2 xy
(5 8)
5.2 平面应力状态分析
将（5 - 6）式与（5 - 8）式对比，可得如下关系：
dA
(σ xdAcos )cos (τ yxdAsinα)cos
n
(σ ydAsinα)sin 0
τxy e τα σα
αx
t 0 , ταdA(τxydAcos )cos
σx
(σ xdAcosα)sinα (τ yxdAsinα)sinα
f
a
τyx
(σ ydAsinα)cosα 0


x
y
2

(x
y
2
)2


2 xy
(5 6)
比
较
max、
min
和0的
大
小
，
便
可
确
定
1、
、
2
和
。
3
5.2 平面应力状态分析
5.2.3 极值剪应力
为确定极值剪应力，令 d 0 ,由公式（5 - 4）得：
d
d d
(x
y
)cos2
2 xysin2
A P
P
P
2
A
y
n
σ0 45
450
σ
x
A
τmax
(a)
(b)
(c)
因 x , y 0, xy 0 由（5 - 6）式得： max , min 0, 由（5 - 9）得： max 2。
例5-3：讨论圆轴扭转时的应力状态，并分析铸铁试件 受扭时的破坏现象。
1
6E
(1
2 )2
(2
3 )2
(1
3
)2
单
向
拉
伸
时
：u
0 f

2( 1
6E
)(
0
)2
(2 3 0)
5.4 强度理论简介
屈服条件为：
1 2
(1
2
)2

( 2
3
)2

(1
3
)2
0
强度条件为：
1 2
(1
3 对于塑性材料，若用第三强度理论，有：
1
3

（- ）
2



，


2
0.5
4 如用第四强度理论，有：
1
2
( 1
2 )2
( 2
3 )2
( 1
3 )2

1 2 2 4 2
5.5 组合变形的强度计算
5.5.2 拉伸（或压缩）与弯曲的组合
1.矩形截面悬臂梁，受力情况见下图
其中Px=Pcosθ ，Py=Psinθ
y
o
z
Px x
o
θ P
Py L
σ
σ
+
=
σmax
σmin
(a)
(b)
(c)
(d)
5.5 组合变形的强度计算
①.在轴向力Px单独作用下，梁在各横截面上的正应力是均
5.1 应力状态的概念
5.1.1 一点的应力状态
通过受力构件上一点的所有各个不同截面上应力的集合， 称为该点的应力状态。
P
A
P
σ
σσ
σ
A
A
m B m
Bτ
Bτ
图5-1 拉伸杆件一点的应力状态 图5-2 圆轴扭转表面一点的应力状态
5.1 应力状态的概念
5.1.2 主平面和主应力
1.定义：单元体上剪应力为零的平面称为主平面。主平 面上的正应力称为主应力。
2
)2

( 2
3
)2

(1
3
)2

适 用 于 ： 钢 、 铜 、 铝 等薄 管 。 比 第 三 强 度 理 论更 精 确 。
例5-4：按强度理论计算纯剪切应力状态下，[τ ]和[σ ]之 间的关系。
解：已知在纯剪切应力状态下， 1 ， 2 0， 3 。


N A

Mmax W
5.5 组合变形的强度计算
④.强度条件：由于危险点处为单向应力状态，所以强度
条件为：
max
,即： max

N A

Mmax W



⑤.若材料抗拉、压强度不相同，则应分别建立强度条件：
max

N A
强度条件： 1
适用于：铸铁等脆性材料。不适用于单向、三向压缩。
2.最大伸长线应变理论（第二强度理论）：此理论认为最 大伸长线应变是引起断裂的主要原因。
强度条件： 1 （ 2 3）
适用于：石料、混泥土等脆性材料压缩时的应力状态。
5.4 强度理论简介
5.4.2 塑性屈服理论
1.最大剪应力理论（第三强度理论）：此理论认为最大剪 应力是引起材料破坏的主要因素。

max

1
3
2
,其中， 0可有单向拉伸试验确定，在与轴线成450
的斜面上
0

0
2
,当 max


0 时 材 料 就 发 生 屈 服 破 坏。
强度条件： 1 3
适用于：低碳钢等的拉伸状态。此理论没有考虑中间主应力的影响
符号规定：正应力， 拉为正，压为负；剪应 力以对单元体内任一点 产生顺时针力矩为正， 反之为负。
5.2 平面应力状态分析
5.2.1 任意斜截面上的应力
任取斜截面ef，其法线n与x轴正向的夹角为α 。规定： α 角自x轴正向逆时针转到n为正。
y
σy
n
τyx
d
c
α
e
σx
x
f τxy
a
b
dA
τxy e τα σα
max

max
min
2
再比较（5 - 5）和( 5 8 ),可见：
(5 9)
tan21

1
tan2 0

ctan2 0

tan( 20


2
)
因此有：
2 1

2 0


4
这说明极值剪应力所在平面与主平面成450 角。
例5-2：分析拉伸试验时低碳钢试件出现滑移线的原因。
min 3
而最大剪应力为：
max


1
2
3

的
max
作
用
面
与
2
平
行
，
与
1、
3
作
用
面
夹
角
为450
。
5.3 三向应力状态简介、广义虎克定律
5.3.2 广义虎克定理
对三向应力状态，若材料是各向同性的且最大应力不超 过材料的比例极限。则，任意方向的线应变都可利用虎克定 理叠加而得。
解：令 x 40MPa , xy 10MPa,
y 20MPa, 600 .
代入下式得：

x
y
2
x
y
2
cos2
xy sin2
y
20MPa
10MPa


x
y
2
sin2
xy cos2
40MPa
τα 40MPa x
x 13.67MPa 20.98MPa
所以计算结果偏保守。
5.4 强度理论简介
2.形状改变比能理论（第四强度理论）：
弹性体因受力变形而储存的能量成为变形能。构件单位体 积内储存的变形能称为比能。
比能由：体积改变比能uv和形状改变比能uf组成。 此理论认为引起材料破坏的主要原因是形状改变比能uf。
三向应力状态下，弹性体的uf 为：
uf
1 对于脆性材料，若用第一强度理论，有：
1 ，
2 若用第二强度理论，有：
1 ( 2 3 ) 若取 0.27得 :1.27
0.787
0.787 0.8
2.主应力单元体：由主平面组成的单元体，称为主应力 单元体。常用它表示一点的应力状态。
σ1 (a)
σ2
σ2
σ1
σ1
σ3
(b)
(c)
图5-3 应力状态分类
5.2 平面应力状态分析
y
y
τyx
σy
σy
σx x
τyx
σx x
τxy
τxy
(a)
(b)
图5-4 二向应力状态单元体
根据剪应力互等定 理知：τ xy τ yx
1.概念：同时产生两种或两种以上的基本变性，称为组 合变性。
2.实例：见下图。
t
T
m
G
G
A
B
t
T
m
5.5 组合变形的强度计算
3.强度计算依据： 对组合变性的杆件，只要材料服从虎克定律和小变性条件。 可以认为每一种基本变性都是各自独立，互不影响的。因此可 以使用叠加原理。 4.强度条件的建立： <1>分析并简化分解杆件的受力情况，使每一组载荷只产 生一种基本变形。 <2>分别计算它们的内力、应力，然后进行叠加。 <3>再根据危险点的应力状态，建立相应的强度条件。
σx
n αx
f
a
τyx
σy
t
(a)
(b)
图5-5 斜截面上的应力
5.2 平面应力状态分析
设σ x≥σ y，其中，τ xy τ yx 取aef为研究对象。若ef的面
积为dA，则af和ae面的面积分别为：dAsinα 和dAcosα 。
由静力平衡方程：
n 0 , σαdA (τxydAcos )sin
2
2
2sin cos sin2 , 代入上式得：

x
y
2
x
y
2
cos2
xysin2

x
y
2
sin2
xy cos2
(5 1) (5 2)
(5 3) (5 4)
5.2 平面应力状态分析
例5-1：已知如图，求斜截面上的正应力和剪应力。
2
3
与剪应力强度条件比较有： 0.577 0.6
3
因此，对于脆性材料，一般规定：
（0.8 - 1.0）
而对于塑性材料，则规定为：
（0.5 0.6）
5.5 组合变形的强度计算
5.5.1 组合变性概念与实例

与（5 - 4）相比可知，极值正应力所在的平面为剪应力
( 0)为零的平面，即主平面。
tan2 0

2 xy x y
(5 5)
5.2 平面应力状态分析
有（5-5）解出sin2α 0和cos2α 0代回（5-3）式，求的最 大正应力和最小正应力为：

max min

σα
10MPa
α
20MPa
n
5.2 平面应力状态分析
5.2.2 主平面和主应力
平面应力状态中有一个主平面是已知的，另外两个主平面
可通过确定正应力极值的方法求出。