相似三角形易出题、易错题(附参考答案)

相似三角形易出、易错题
一．解答题（共30小题）
1．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC．
2．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G．
（1）求证：△CDF∽△BGF；
（2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长．
3．如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC．
求证：△ABC∽△FDE．
4．如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，试说明：△ABF∽△EAD．
5．已知：如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点．
（1）求证：①BE=CD；②△AMN是等腰三角形；
（2）在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立；
（3）在（2）的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P．求证：△PBD∽△AMN．
6．如图，在4×3的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．
（1）填空：∠ABC=_________°，BC=_________；
（2）判断△ABC与△DEC是否相似，并证明你的结论．
7．如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s 的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：
（1）经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？
（2）是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．
8．如图，在△ABC中，AB=AC=a，M为底边BC上的任意一点，过点M分别作AB、AC的平行线交AC于P，交AB于Q．
（1）求四边形AQMP的周长；
（2）写出图中的两对相似三角形（不需证明）；
（3）M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形并证明你的结论．
9．已知：P是正方形ABCD的边BC上的点，且BP=3PC，M是CD的中点，试说明：△ADM∽△MCP．
10．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，AB=BC=8，CD=10．
（1）求梯形ABCD的面积S；
（2）动点P从点B出发，以1cm/s的速度，沿B⇒A⇒D⇒C方向，向点C运动；动点Q从点C出发，以1cm/s的速度，沿C⇒D⇒A方向，向点A运动，过点Q作QE⊥BC于点E．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为t秒．问：
①当点P在B⇒A上运动时，是否存在这样的t，使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；
②在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、A、D为顶点的三角形与△CQE相似？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由；
③在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．
11．已知矩形ABCD，长BC=12cm，宽AB=8cm，P、Q分别是AB、BC上运动的两点．若P自点A出发，以1cm/s的速度沿AB方向运动，同时，Q自点B出发以2cm/s的速度沿BC方向运动，问经过几秒，以P、B、Q为顶点的三角形与△BDC相似？
12．如图，在△ABC中，AB=10cm，BC=20cm，点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，问经过几秒钟，△PBQ与△ABC相似．
13．如图，∠ACB=∠ADC=90°，AC=，AD=2．问当AB的长为多少时，这两个直角三角形相似．
14．如图在△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，点Q从B出发，沿BC方向以2cm/s的速度移动，点P从C出发，沿CA方向以1cm/s的速度移动．若Q、P分别同时从B、C出发，试探究经过多少秒后，以点C、P、Q为顶点的三角形与△CBA相似？
15．如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3，试在腰AB上确定点P的位置，使得以P，A，D为顶点的三角形与以P，B，C为顶点的三角形相似．
16．如图，在矩形ABCD中，AB=15cm，BC=10cm，点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间，那么当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似．
17．如图，路灯（P点）距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部（O点）20米的A点，沿OA 所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？
18．阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度（这棵树底部可以到达，顶部不易到达），他们带了以下测量工具：皮尺，标杆，一副三角尺，小平面镜．请你在他们提供的测量工具中选出所需工具，设计一种测量方案．
（1）所需的测量工具是：_________；
（2）请在下图中画出测量示意图；
（3）设树高AB的长度为x，请用所测数据（用小写字母表示）求出x．
19．问题背景在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量．下面是他们通过测量得到的一些信息：
甲组：如图1，测得一根直立于平地，长为80cm的竹竿的影长为60cm．
乙组：如图2，测得学校旗杆的影长为900cm．
丙组：如图3，测得校园景灯（灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计）的高度为200cm，影长为156cm．任务要求：
（1）请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度；
（2）如图3，设太阳光线NH与⊙O相切于点M．请根据甲、丙两组得到的信息，求景灯灯罩的半径．（友情提示：如图3，景灯的影长等于线段NG的影长；需要时可采用等式1562+2082=2602）
20．阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下2.7m宽的亮区（如图所示），已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高BC．
21．如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1，S2，S3表示，则不难证明S1=S2+S3．
（1）如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表示，那么S1，S2，S3之间有什么关系；（不必证明）
（2）如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1，S2，S3之间的关系并加以证明；
（3）若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用S1，S2，S3表示，为使S1，S2，S3之间仍具有与（2）相同的关系，所作三角形应满足什么条件证明你的结论；
（4）类比（1），（2），（3）的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论．
22．已知：如图，△ABC∽△ADE，AB=15，AC=9，BD=5．求AE．
23．已知：如图Rt△ABC∽Rt△BDC，若AB=3，AC=4．
（1）求BD、CD的长；
（2）过B作BE⊥DC于E，求BE的长．
24．（1）已知，且3x+4z﹣2y=40，求x，y，z的值；
（2）已知：两相似三角形对应高的比为3：10，且这两个三角形的周长差为560cm，求它们的周长．
参考答案与试题解析
一．解答题（共30小题）
1．解答：证明：∵DE∥BC，
∴DE∥FC，∴∠AED=∠C．
6．如图，在4×3的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．（1）填空：∠ABC=135°°，BC=；
（2）判断△ABC与△DEC是否相似，并证明你的结论．
解答：解：（1）∠ABC=135°，BC=；
（2）相似；
∵BC=，EC==；
∴，；
∴；
又∠ABC=∠CED=135°，
∴△ABC∽△DEC．
解：（1）设经过x秒后，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的，
则有：（6﹣2x）x=×3×6，即x2﹣3x+2=0，（2分）
解方程，得x1=1，x2=2，（3分）
经检验，可知x1=1，x2=2符合题意，
所以经过1秒或2秒后，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的．（4分）
（2）假设经过t秒时，以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似，
由矩形ABCD，可得∠CDA=∠MAN=90°，
因此有或（5分）
即①，或②（6分）
解①，得t=；解②，得t=（7分）
经检验，t=或t=都符合题意，
所以动点M，N同时出发后，经过秒或秒时，以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似．（8 解：（1）∵AB∥MP，QM∥AC，
∴四边形AQMP的周长=AQ+AP+QM+MP=AQ+QB+AP+PC=AB+AC=2a．
（2）∵PM∥AB，
∴△PCM∽△ACB，
∵QM∥AC，
∴△BMQ∽△BCA；
（3）当点M中BC的中点时，四边形APMQ是菱形，
∵点M是BC的中点，AB∥MP，QM∥AC，
∴QM，PM是三角形ABC的中位线．
∵AB=AC，
∴QM=PM=AB=AC．
又由（1）知四边形APMQ是平行四边形，
∴平行四边形APMQ是菱形．
证明：∵正方形ABCD，M为CD中点，
∴CM=MD=AD．
∵BP=3PC，
∴PC=BC=AD=CM．
∴．
∵∠PCM=∠ADM=90°，
∴△MCP∽△ADM．
．解解：（1）过D作DH∥AB交BC于H点，
∵AD∥BH，DH∥AB，
∴四边形ABHD是平行四边形．
∴DH=AB=8；BH=AD=2．
∴CH=8﹣2=6．
∵CD=10，
∴DH2+CH2=CD2∴∠DHC=90°．
∠B=∠DHC=90°．
∴梯形ABCD是直角梯形．
∴S ABCD=（AD+BC）AB=×（2+8）×8=40．
（2）①∵BP=CQ=t，
∴AP=8﹣t，DQ=10﹣t，
∵AP+AD+DQ=PB+BC+CQ，
∴8﹣t+2+10﹣t=t+8+t．
∴t=3＜8．
∴当t=3秒时，PQ将梯形ABCD周长平分．
②第一种情况：0＜t≤8若△PAD∽△QEC则∠ADP=∠C
∴tan∠ADP=tan∠C==
∴=，∴t=
若△PAD∽△CEQ则∠APD=∠C
∴tan∠APD=tan∠C==，∴=
∴t=
第二种情况：8＜t≤10，P、A、D三点不能组成三角形；
第三种情况：10＜t≤12△ADP为钝角三角形与Rt△CQE不相似；
∴t=或t=时，△PAD与△CQE相似．
③第一种情况：当0≤t≤8时．过Q点作QE⊥BC，QH⊥AB，垂足为E、H．
∵AP=8﹣t，AD=2，
∴PD==．
∵CE=t，QE=t，
∴QH=BE=8﹣t，BH=QE=t．
∴PH=t﹣t=t．
∴PQ==，DQ=10﹣t．
Ⅰ：DQ=DP，10﹣t=，
解得t=8秒．
Ⅱ：DQ=PQ，10﹣t=，
化简得：3t2﹣52t+180=0
解得：t=，t=＞8（不合题意舍去）
∴t=
第二种情况：8≤t≤10时．DP=DQ=10﹣t．
∴当8≤t＜10时，以DQ为腰的等腰△DPQ恒成立．
第三种情况：10＜t≤12时．DP=DQ=t﹣10．
∴当10＜t≤12时，以DQ为腰的等腰△DPQ恒成立．
综上所述，t=或8≤t＜10或10＜t≤12时，以DQ为腰的等腰△DPQ成
立．
．解解：设经x秒后，△PBQ∽△BCD，
由于∠PBQ=∠BCD=90°，
（1）当∠1=∠2时，有：，
即；
（2）当∠1=∠3时，有：，即，∴经过秒或2秒，△PBQ∽△BCD．
．解解：设经过秒后t秒后，△PBQ与△ABC相似，则有AP=2t，BQ=4t，BP=10﹣2t，当△PBQ∽△ABC时，有BP：AB=BQ：BC，
即（10﹣2t）：10=4t：20，
解得t=2.5（s）（6分）
当△QBP∽△ABC时，有BQ：AB=BP：BC，即4t：10=（10﹣2t）：20，
解得t=1．
所以，经过2.5s或1s时，△PBQ与△ABC相似（10分）．
解法二：设ts后，△PBQ与△ABC相似，则有，AP=2t，BQ=4t，BP=10﹣2t
分两种情况：
（1）当BP与AB对应时，有=，即=，解得t=2.5s
（2）当BP与BC对应时，有=，即=，解得t=1s
所以经过1s或2.5s时，以P、B、Q三点为顶点的三角形与△ABC相似．
．解解：∵AC=，AD=2，
∴CD==．要使这两个直角三角形相似，有两种情况：
（1）当Rt△ABC∽Rt△ACD时，有=，∴AB==3；
（2）当Rt△ACB∽Rt△CDA时，有=，∴AB==3．
故当AB的长为3或3时，这两个直角三角形相似．
．解解：设经过x秒后，两三角形相似，则CQ=（8﹣2x）cm，CP=xcm，（1分）∵∠C=∠C=90°，
∴当或时，两三角形相似．（3分）
（1）当时，，∴x=；（4分）
（2）当时，，∴x=．（5分）
所以，经过秒或秒后，两三角形相似．（6分）
．解解：（1）若点A，P，D分别与点B，C，P对应，即△APD∽△BCP，∴=，
∴=，
∴AP2﹣7AP+6=0，
∴AP=1或AP=6，
检测：当AP=1时，由BC=3，AD=2，BP=6，
∴=，
又∵∠A=∠B=90°，∴△APD∽△BCP．
当AP=6时，由BC=3，AD=2，BP=1，
又∵∠A=∠B=90°，
∴△APD∽△BCP．
（2）若点A，P，D分别与点B，P，C对应，即△APD∽△BPC．
∴=，∴=，∴AP=．
检验：当AP=时，由BP=，AD=2，BC=3，
∴=，
又∵∠A=∠B=90°，∴△APD∽△BPC．
因此，点P的位置有三处，即在线段AB距离点A的1、、6处．
．解解：以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似，
①当△ABC∽△PAQ时，
，
所以，
解得：t=6；
②当△ABC∽△QAP时，
，
所以，
解得：t=；
③当△AQP∽△BAC时，
=，即=，
所以t=；
④当△AQP∽△BCA时，
=，即=，
所以t=30（舍去）．
故当t=6或t=时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似．．解解：∵∠MAC=∠MOP=90°，
∠AMC=∠OMP，
∴△MAC∽△MOP．
∴，
即，
解得，MA=5米；
同理，由△NBD∽△NOP，可求得NB=1.5米，
∴小明的身影变短了5﹣1.5=3.5米．
．解解：（1）皮尺，标杆；
∴，
∴，
∴．（7分）
．解解：（1）由题意可知：∠BAC=∠EDF=90°，∠BCA=∠EFD．∴△ABC∽△DEF．
∴，即，（2分）
∴DE=1200（cm）．
所以，学校旗杆的高度是12m．（3分）
（2）解法一：
与①类似得：，即，
∴GN=208．（4分）
在Rt△NGH中，根据勾股定理得：NH2=1562+2082=2602，
∴NH=260．（5分）
设⊙O的半径为rcm，连接OM，
∵NH切⊙O于M，∴OM⊥NH．（6分）
则∠OMN=∠HGN=90°，
又∵∠ONM=∠HNG，
∴△OMN∽△HGN，
∴（7分），
又ON=OK+KN=OK+（GN﹣GK）=r+8，
∴，
解得：r=12．
∴景灯灯罩的半径是12cm．（8分）
解法二：
与①类似得：，
即，
∴GN=208．（4分）
设⊙O的半径为rcm，连接OM，
∵NH切⊙O于M，
∴OM⊥NH．（5分）
则∠OMN=∠HGN=90°，
又∵∠ONM=∠HNG，∴△OMN∽△HGN．∴，
即，（6分）
∴MN=r，
又∵ON=OK+KN=OK+（GN﹣GK）=r+8．（7分）
在Rt△OMN中，根据勾股定理得：
r2+（r）2=（r+8）2即r2﹣9r﹣36=0，
解得：r1=12，r2=﹣3（不合题意，舍去），
∴景灯灯罩的半径是12cm．（8分）
（解解：∵AE∥BD，
∴△ECA∽△DCB，
∴．
∵EC=8.7m，ED=2.7m，
∴CD=6m．
∵AB=1.8m，
∴AC=BC+1.8m，
∴，
∴BC=4，即窗口底边离地面的高为4m．
．解解：设直角三角形ABC的三边BC、CA、AB的长分别为a、b、c，则c2=a2+b2（1）S1=S2+S3；
（2）S1=S2+S3．证明如下：
显然，S1=，S2=，S3=
∴S2+S3==S1；
（3）当所作的三个三角形相似时，S1=S2+S3．证明如下：
∵所作三个三角形相似
∴
∴=1
∴S1=S2+S3；
（4）分别以直角三角形ABC三边为一边向外作相似图形，其面积分别用S1、S2、S3表示，则S1=S2+S3．
解：（1）Rt△ABC中，根据勾股定理得：
BC==5，
∵Rt△ABC∽Rt△BDC，
∴==，==，
∴BD=，CD=；
（2）在Rt△BDC中，
S△BDC=BE•CD=BD•BC，
∴BE===3．
．解
解：（1）设=k，那么x=2k，y=3k，z=5k，由于3x+4z﹣2y=40，
∴6k+20k﹣6k=40，
∴k=2，
∴x=4，y=6，z=10．
（2）设一个三角形周长为Ccm，
则另一个三角形周长为（C+560）cm，
则，
∴C=240，C+560=800，
即它们的周长分别为240cm，800cm．。