数学建模答案3

数学建模答案3

⼀、解释下列词语，并举例说明(每⼩题满分5分，共15分)

1．模型

模型指为了某种特定⽬的将原型的某⼀部分信息简化、压缩、提炼⽽构造成的原型替代物。如地图、苯分⼦图。

2．数学模型

由数字、字母或其他数学符号组成的，描述现实对象（原型）数量规律的数学结构。具体地说，数学模型也可以描述为：对于现实世界的⼀个特定对象，为了⼀个特定的⽬的，根据特有的内在规律，做出⼀些简化假设后，运⽤适当的数学⼯具，得到的⼀个数学结构陈伟数学模型。如概率的功利化定义。

3．抽象模型

抽象模型是指通过⼈们对模型的反复观察、理解、认识，从获取到的信息中抽出共同的、本质性的特征，舍弃其⾮本质的特征来建⽴⼀个合理的模型。

⼆、简答题（每⼩题满分8分，共24分）

1．模型的分类

按照模型替代原型的⽅式，模型可以简单分为形象模型和抽象模型两类。形象模型：直观模型、物理模型、分⼦结构模型等；抽象模型：思维模型、符号模型、数学模型等。

2．数学建模的基本步骤

（1）建模准备：确⽴建模课题的过程；

（2）建模假设：根据建模的⽬的对原型进⾏抽象、简化。有⽬的性原则、简明性原则、真实性原则和全⾯性原则；

（3）构造模型：在建模假设的基础上，进⼀步分析建模假设的各条款，选择恰当的数学⼯具和构造模型的⽅法对其进⾏表征，构造出根据已知条件和数据，分析模型的特征和模型的结构特点，设计或选择求解模型的数学刻划实际问题的数学模型；

（4）模型求解：构造数学模型之后，找出解决问题的⽅法和算法，并借助计算机完成对模型的求解；

（5）模型分析：根据建模的⽬的要求，对模型求解的数字结果，或进⾏稳定性分析，或进⾏系统参数的灵敏度分析，或进⾏误差分析等；

（6）模型检验：模型分析符合要求后，还必须回到客观实际中去对模型进⾏检验，看它是否符合客观实际；

（7）模型应⽤：模型应⽤是数学建模的宗旨，将其应⽤于分析、研究和解决实际问题，充分发挥数学模型在⽣产和科研中的特殊作⽤。

3．数学模型的作⽤

数学模型的根本作⽤在于它将客观原型化繁为简、化难为易，便于⼈们采⽤定量的⽅法去分析和解决实际问题。正因为如此，数学模型在科学发展、科学预见、科学预测、科学管理、科学决策、驾控市场经济乃⾄个⼈⾼效⼯作和⽣活等众多⽅⾯发挥着特殊的重要作⽤。数学不仅是⼈们认识世界的有⼒⼯具，⽽且对于⼈的素质培养，⽆论是在⾃然科学，还是社会科学中都随时发⽣着作⽤，使其

终⽣受益。特别是，当代计算机科学的发展和⼴泛应⽤，使得数学模型的⽅法如虎添翼，加速了数学向各个学科的渗透，产⽣了众多的边缘学科。数学模型还物化于各种⾼新科技之中，从家⽤电器到天⽓预报，从通信到⼴播电视，从核电站到卫星，从新材料到⽣物⼯程，⾼科技的⾼精度、⾼速度、⾼安全、⾼质量、⾼效率等特点⽆⼀不是通过数学模型和数学⽅法并借助计算机的计算、控制来实现的。

三、解答题（满分20分）

A 题 (9n, 9n+8)

⼩童⽗亲要到美国访问，授⼈之托希望多带点东西。中国民航的《国际旅游须知》中有关“计件免费⾏李额”中规定“适应于中美、中加国际航线上的⾏李运输……。经济和旅游折扣票价，免费交运的⾏李件数为两件，每件箱体三边之和不得超过62英⼨，但两件之和不得超过107英⼨，每件的最⼤重量不得超过32公⽄。”试问这两件箱⼦的长、宽、⾼各为多少可达最⼤体积？请你到市场上看⼀看，商店出售的⾏李箱的尺⼨与你的计算结果是否接近？为什么？

解：x1 , y1 , z1分别表⽰第⼀个箱⼦的长、宽、⾼，x2 , y2 , z2分别表⽰表⽰第⼀个箱⼦的长、宽、⾼. 于是建⽴数学模型为

MaxV = x1 y1 z1+ x2 y2 z2

x1+ y1+ z1≤ 62,

max{x1 , y1 , z1} + max{x2 , y2 , z2 } ≤ 107,

x1≥ 0, y1≥ 0, z1≥ 0, x2≥ 0, y2≥ 0, z2≥ 0.

1= y1= z2= x2= y2 = z2 =64时,体积最⼤.

四、综合题（21分）

L. 跑步中的数学问题(7n+2, 7n+6, 7n+4)

跑步是基本活动技能，是⼈体快速移动的⼀种动作姿势。跑步和⾛路的主要区别在于两腿在交替落地过程中有⼀个腾空阶段。跑步是最简便⽽易见实效的体育健⾝内容。近⼆三⼗年来，跑步已成为国内外千百万⼈参加的群众健⾝运动，是深受⼴⼤群众所欢迎的健⾝项⽬。⼈们普遍认为跑步是最好的健⾝⽅法。每个正常⼈都经历过跑步，有⼈会疲惫不堪。我们的问题是：怎样跑不能使我们消耗的能量尽可能的少？

1.论⽂题⽬

《关于跑步能量消耗的数学模型》

2.论⽂摘要

跑步时⼈体快速移动的⼀种动作姿势，是基本的活动技能。现在跑步已经被公认为是最好的健⾝⽅法，原因是它能全⾯的提⾼⾝体的协调性，增加体质，增加肺活量，但是跑步过程中也伴随着能量的消耗，研究其消耗能量的多少，可以帮助我们给清楚地认识跑步的作⽤，并且让我们达到科学训练的⽬的。

3. 关键词

⾝体速度能量消耗

4. 论⽂正⽂

问题提出

跑步过程中能量的消耗与哪些因素有关，如何计算跑步过程中的能量消耗。问题分析

⼈体⾃⾝有重量，⽽且在跑动过程中，伴随步伐的交替，⼈的重⼼会上下浮动，⽽且双腿的向前交替运动皆存在做功过程，由功能关系可知此时存在能量的消耗。所以我们可以通过做功的⾓度换⾓度去求跑步过程中的能量损耗。模型假设、模型设计

（1）跑步所花费的时间分成两部分:第⼀部分为两条腿同时离开地⾯的时间；第⼆部分为⼀条腿或两条腿同时落地的时间。

根据经验不妨设

b a h d = （2）假设跑步是匀速的，速度为v 。跑步所消耗的能量为

()mg

d h W f += （m 为⾝体的质量） 2'21v m W s = （m ′为腿部的质量）于是，跑步时所消耗的能量总和为

()2'2

1v m mg d h W W W s f ++=+= (3) ⽤ L 表⽰⼈的⾝⾼,不妨设 m 、m ′与 L 3 成正⽐， a 与 L 成正⽐，即

L C a L C m L C m 33231,',===

模型的解法与结果

重⼼离开 B 上升到最⾼点所需要的时间

v