山东省枣庄市2019届高三上学期期末考试数学(文)试题(解析版)

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2019届高三期末考试文科数学
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知是虚数单位，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意化简可得答案.
【详解】因为
故选D
【点睛】本题考查了复数的化简，牢记是关键，属于基础题.
2.已知集合，，，，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
直接由并集的运算得出结果即可.
【详解】因为集合，，，
所以
故选B
【点睛】本题考查了集合的并集的运算，属于基础题.
3.双曲线的渐近线方程为（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意易知，双曲线的a和b，再利用双曲线的渐近线方程得出结果.
【详解】由题意双曲线可得
双曲线的渐近线方程为
故选A
【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程，属于基础题.
4.函数的减区间为（）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】
先利用降次公式化简，然后利用余弦函数的单调性求得减区间.
【详解】，，解得，即减区间为，故选B. 【点睛】本小题主要考查三角函数降次公式，考查余弦函数的单调区间的求法，属于中档题.
5.已知，，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
将指数式化为对数值，写出的表达式，代入，化简后求得的值.
【详解】由于，，，故，所以. 【点睛】本小题主要考查指数式和对数式互化，考查对数的运算，考查方程的思想，属于中档题.
6.若点为圆的弦的中点，则弦所在直线的方程为（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意，求出圆的标准方程，再求出圆心与点p确定直线的斜率为，再利用垂径定理求得弦AB直线斜率，再用点斜式求出方程.
【详解】圆的标准方程为
又因为点为圆的弦AB的中点，
圆心与点P确定直线的斜率为
故弦AB所在直线的斜率为2
所以直线AB的直线方程：y-1=2（x-1）
即2x-y-1=0
【点睛】本题主要考查了直线与圆的综合知识，对于直线和圆的相关知识点的熟练运用是解题的关键.属于较易题.
7.有如下命题：①函数，，中有两个在上是减函数；②函数有两个零点；③
若，则其中真命题的个数为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用幂函数的单调性判断①的真假，利用图像判断②的真假，利用对数的单调性判断③的真假.由此判断出真命题的个数.
【详解】根据幂函数的性质可知，，在上是减函数，在上是增函数，故①为真命
题.令，，画出的图像如下图所示，由图可知，两个函数有个交点，故
有两个零点，即②为真命题.由得，而为定义域上的减函数，故，故③是真命题.综上所述，真命题的个数为个，故选D.
【点睛】本小题主要考查幂函数的单调性，考查函数零
点个数的判断方法，考查对数不等式的解法以及对数函数的单调性.对于幂函数，要熟悉时，个函数的图像与性质.可以将函数的零点问题，转化为两个函数图像的交点个数问题来求解.对数函数的单调性是由底数来决定.
8.某几何体的三视图如图所示，该几何体表面上的点与点在正视图与侧视图上的对应点分别为，，则在该几何体表面上，从点到点的路径中，最短路径的长度为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
画出几何体的图形，然后PQ的路径有正面和右面以及正面和上面两种路径，分别计算出结果，得出答案. 【详解】由题，几何体如图所示
（1）前面和右面组成一面
此时PQ=
（2）前面和上面再一个平面
此时PQ=
故选C
【点睛】本题考查了几何体的三视图以及相关的计算，解题的关键是PQ的路径有两种情况，属于较易题. 9.将函数图象上所有的点向左平行移动个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来
的倍（纵坐标不变），则所得图象对应的函数解析式为（）
A. B.
C. D.
【答案】A
将图象上所有的点向左平行移动个单位长度得，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍得，再利用诱导公式得出结果.
【详解】先将函数图象上所有的点向左平行移动个单位长度得
再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）得
故选A
【点睛】本题考查了正弦函数的图像变化和诱导公式，正确的掌握图像的平移变化和伸缩变化是解题的关键.
10.设是公差不为零的等差数列，若，则前项的和为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，是公差不为零的等差数列，若化简得出，再利用求和公式，代入得出结果.
【详解】因为是公差不为零的等差数列，
得
整理的
因为，故
前6项和
故选B
【点睛】本题考查了等差数列的性质和求和公式，属于基础题.
11.设，都是不等于的正数，则“”是“”的（）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
【分析】
先由题意，讨论当a、b都大于1，再利用换底公式得出，再讨论当a、b都大于0小于1时得出，得出结果.
【详解】若，
当a、b都大于1，
此时
得出
当a、b都大于0小于1时，
此时
得出
所以综上可得“”是“”的充分不必要条件
故选A
【点睛】本题考查了对数函数的性质和充要条件，要分情况讨论，属于中档题.
12.已知函数的定义域为，且，的图象关于直线对称．若当时，，则使得成立的的取值范围是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据图像的对称性得到图像的对称性也即函数为偶函数，构造函数，为偶函数，结合已知条件可知函数的单调性，由此求得不等式的解集.
【详解】由于函数图像关于对称，故的图像关于轴对称，也即函数为偶函数.构造函数，依题意当时，，故函数在上递增，而，即函数为偶函数，所以
函数在上单调递减.由于，，根据单调性和对称性有或
，故选B.
【点睛】本小题主要考查函数的图像变换，考查函数的对称性以及奇偶性，考查利用导数解不等式，属于中档题.
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13.抛物线上的点到其焦点的距离是_______.
【答案】2
【解析】
【分析】
将点的坐标代入抛物线方程，求得的值，然后利用抛物线的定义求得点到焦点的距离.
【详解】将点代入抛物线的方程得，解得，故点的坐标为.由于，根据抛物线的定义有点到焦点的距离为.
【点睛】本小题主要考查抛物线上一点坐标的求法，考查抛物线的定义，属于基础题.
14.已知实数满足，，，则的最小值为_________.
【答案】
【解析】
【分析】
画出可行域，向上平移基准直线到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最小值.
【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点处取得最小值为.
【点睛】本小题主要
考查线性规划的知识，考查线性目标函数的最小值的求法，属于基础题.
15.在中，，，若，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用平面向量的基本定理和四则运算，用向量表示出向量，得出的值，求得结果.
【详解】由题意，在中，，，
可得
所以
故
则
故答案为
【点睛】本题考查了平面向量的基本定理，熟练运用向量的公式是解题的关键，属于较易题.
16.若正实数满足，则函数的零点的最大值为______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，先求出函数的零点，，然后换元，转化为求
的最大值，求导取得其单调性，转化为求t的最大值，再令，再根据单调性求最大值，最后求得结果.
【详解】因为正实数满足，则函数的零点
令
所以零点的最大值就相当于求的最大值
令，
所以函数是单调递减的，
当t取最小值时，f(t)取最大值
又因为，a+b=1
所以
令，
令，解得，此时递增
，解得，此时递减，
所以此时
故答案为
【点睛】本题主要考查了导函数的应用问题，解题的关键是换元构造新的函数，求其导函数，判断原函数的单调性求其最值，易错点是换元后一定要注意换元后的取值范围，属于难题.
三、解答题：本大题共6小题，共70分．
17.在中，角的对边分别是，其面积满足．
（Ⅰ）求角；
（Ⅱ）设的平分线交于，，，求．
【答案】（I）（II）
【解析】
【分析】
（1）由余弦定理可得，代入题中条件即可得解；
（2）在中,由正弦定理得，从而得，可得，再由
代入即可得解.
【详解】（1）由得
得
（2）在中,由正弦定理得
所以
所以
所以
【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角恒等变换求值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
18.如图，四棱锥中，是正三角形，四边形是菱形，点是的中点.
（I）求证：平面；
（II）若平面平面，，，求三棱锥的体积.
【答案】（I）证明见解析；（II）.
【解析】
【分析】
（I）利用中位线，在平面内找到一条直线和平行，由此证得线面平行.（II）作出到平面的高，并求出高，并由计算出三棱锥的体积.
【详解】（I）连接，设，连接.因为四边形是菱形，所以点是的中点.又因为是的中点，所以是三角形的中位线，所以，又因为平面，平面，所以平面.（II）因为四边形是菱形，且，所以.又因为，所以三角形是
正三角形.取的中点，连接，则.又平面平面，平面，平面平面
，所以平面.在等边三角形中，.而的面积
.所以.
【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查三棱锥体积的求法，考查线面垂直
的证明，属于中档题.
19.新高考方案的实施，学生对物理学科的选择成了焦点话题. 某学校为了了解该校学生的物理成绩，从，两个班分别随机调查了40名学生，根据学生的某次物理成绩，得到班学生物理成绩的频率分布直方图和班学生
物理成绩的频数分布条形图.
（Ⅰ）估计班学生物理成绩的众数、中位数（精确到）、平均数（各组区间内的数据以该组区间的中点值为代表）；
（Ⅱ）填写列联表，并判断是否有的把握认为物理成绩与班级有关？
物理成绩物理成绩的学生数
班
班
附：列联表随机变量；
【答案】（I）；（II）有.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）直接根据频率分布直方图，求得各个组的概率，利用公式求得众数、中位数和平均数；
（II）利用频率分布直方图填写列联表，然后求，即可判断出是否有的把握认为物理成绩与班级有关. 【详解】（Ⅰ）估计A班学生物理成绩的总数为：
由左至右各个分区间的概率分别为0.1,0.2,0.3，0.2，0.15,0.05
中位数60+
平均数：
（Ⅱ）
物理成绩物理成绩的学生数
班
班
所以有的把握认为物理成绩与班级有关
【点睛】本题主要考查了统计以及统计案例，众数、中位数、平均数的求法，解题的关键是在于能否明白频率分布直方图，属于基础题.
20.已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，过点的直线交于，两点，的周
长为，的离心率
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）设点，，过点作轴的垂线，试判断直线与直线的交点是否恒在一条定直线上？若是，求该定直线的方程；否则，说明理由.
【答案】（I）；（II）.
【解析】
【分析】
（I）由的周长为求得椭圆的a，再离心率，然后求得椭圆的方程；
（II）设直线l：x=my+4，，联立方程，运用韦达定理，再写出直线BD的方程为：
与的交点，最后求解计算出与m无关，得出答案.
【详解】解：（I）由椭圆的定义，的周长为，即4a=20，解得a=5，
又椭圆的离心率，解得c=4
所以
所以椭圆方程；
（II）显然过点的直线l不垂直y轴，设l：x=my+4，
联立，得
韦达定理：
直线的方程为
直线BD的方程为：
解得
又点在直线l上，所以
再代入解得
又
代入解得(与m无关)
故直线与直线BD的交点恒落在直线上.
【点睛】本题考查了椭圆的方程以及性质，和直线与椭圆的综合问题，属于难题. 直线与圆锥曲线解题步骤：
(1)设出点和直线的方程（考虑斜率的存在）；
（2）联立方程，化简为一元二次方程（考虑判别式），利用韦达定理；
（3）转化，由题已知转化为数学公式；
（4）计算，细心计算.
21.已知
（I）求函数的极值；
（II）设，若有两个零点，求的取值范围．
【答案】（I）时，没有极值，时有极小值；（II）.
【解析】
【分析】
（I）求得函数的，将分成两类，利用的正负情况，得到的单调区间，进而求得的极值.（II）先求得函数的表达式，并求得其导数，对分成
类，利用的单调区间和极值情况，结合题意“有两个零点”的要求，求得的取值范围.
【详解】（I）.（1）若，显然，所以在上递增，所以没有极值.（2）
若，则，，所以在上是减函数，在上是增函数.所以
在处取极小值，极小值为.（II）.函数的定义域为，且.（1）若，则；.所以在上是减函数，在
上是增函数.所以.令，则.显然，所以在上
是减函数.又函数在上是减函数，取实数，则.又
，在上是减函数，在上是增函数.由零点存在性定理，在上各有一个唯一的零点.所以符合题意.（2）若，则，显然仅有一个零点.所以不符合题意.（3）若，则.①若，则.此时，即在上递增，至多只有一个零点，所以不符合题意.②若，则，函数在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，所以在处取得极大值，且极大值，所以最多有一个零点，所以不符合题意.③若，则，函数在和上递增，在上递减，所以在处取得极大值，且极大值为，所以最多有一个零点，所以不符合题意.综上所述，的取值范围是.
【点睛】本小题主要考查利用函数得导数求函数的单调区间以及极值，考查利用导数求解函数的零点问题，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.要求函数的极值，首先要对函数求导，对导函数是含有参数的情况，要
对参数进行分类讨论，分类讨论的标准要根据参数的位置，以及导函数的零点来决定.
请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B铅笔在答题卡上把对应的题号涂黑.
选修4-4：坐标系与参数方程
22.在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线：，直线的参数方程为（为参数）.直线与曲线交于，两点．
（I）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程（不要求具体过程）；
（II）设，若，，成等比数列，求的值．
【答案】（I），；（II）.
【解析】
【分析】
（I）利用所给的极坐标方程和参数方程，直接整理化简得到直角坐标方程和普通方程；（II）联立直线的参数方程和C的直角坐标方程，结合韦达定理以及等比数列的性质即可求得答案.
【详解】（I）曲线：，两边同时乘以
可得，化简得）；
直线的参数方程为（为参数），可得
x-y=-1，得x-y+1=0；
（II）将（为参数）代入并整理得
韦达定理：
由题意得即
可得
即
解得
【点睛】本题考查了极坐标方程、参数方程与直角坐标和普通方程的互化，以及参数方程的综合知识，结合等比数列，熟练运用知识，属于较易题.
选修4-5：不等式选讲
23.已知函数
（I）当时，求不等式的解集；
（II）当时，恒成立，求的取值范围.
【答案】（I）；（II）或.
【解析】
【分析】
（I）由题意，当a=1，代入可得，再用零点分段法，讨论x的取值，解不等式得到答案; （II）当时，恒成立，转化为的最小值大于1即可，只需求出的最小值，再利用绝对值不等
式，整理求得最小值即可.
【详解】（I）解：当a=1时，
当时，，即，即
当时，，即，即
当时，，即，此时无解
综上：的解集为
（II）当时，即>1，
，当且紧当x=-2时取等号，
恒成立即
解得或
所以a的取值或
【点睛】本题考查了解绝对值不等式以及绝对值不等式恒成立问题，属于较易题.。