双曲线练习题

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双曲线及其标准方程习题
一、 单选题(每道小题 4分 共 56分 )
1. 命题甲：动点P 到两定点A 、B 距离之差│|PA||PB|│=2a(a 0)；命题乙； P 点轨迹是双曲线，则命题甲是命题乙的 [ ] A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件
2.
若双曲线的一个焦点是，，则等于 ． ． ． ．2kx ky =1(04)k [ ]A B C D 22--
-3325833258
3.
点到点，与它关于原点的对称点的距离差的绝对值等于，则点的轨迹方程是 ． ．
． ．
P (60)10P [ ]A y 11=1B y 25=1C y 6=1D y 25
=12
2
2
2
-----x x x x 222225612511
4.
k 5+y 6k
=1[ ]
A B C D 2
＜是方程表示双曲线的 ．既非充分又非必要条件 ．充要条件
．必要而非充分条件 ．充分而非必要条件
x k 25--
5. 如果方程xsin α-ycos α=1表示焦点在y 轴上的双曲线，那么角α的终边在 [ ] A ．第四象限 B ．第三象限 C ．第二象限 D ．第一象限
6.
下列曲线中的一个焦点在直线上的是 ． ．． ．4x 5y +25=0[ ]A y 16=1B +y 16=1
C x 16=1
D +x 16
=1
22
22
---x x y y 2222925925
7. 若a ·b <0，则ax -ay=b 所表示的曲线是 [ ] A ．双曲线且焦点在x 轴上 B ．双曲线且焦点在y 轴上 C ．双曲线且焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上 D ．椭圆 8.
以椭圆的焦点为焦点，且过，点的双曲线方程为
． ．． ．x x y y y 2222296109251150+y 25
=1P(35)[ ]A y 10=1B x 6=1
C x 3=1
D x 2
=1
2
2222----
9.
到椭圆的两焦点距离之差的绝对值等于椭圆短轴的点的轨
迹方程是 ． ．
． ．
x x x x x 2222225251697+y 9
=1[ ]A y 9=1B y 9=1C y 7
=1D y 9
=12
2
2
2
2
----
10.
直线与坐标轴交两点，以坐标轴为对称轴，以其中一点为焦点且另一点为虚轴端点的双曲线的方程是 ． ．． ．或2x 5y +20=0[ ]A y 16=1B y 84=1
C y 84=1
D y 84=1y 84
=1
22
222
------x x x x x 22222841610016100
11.
以坐标轴为对称轴，过，点且与双曲线有相等焦
距的双曲线方程是 ．或
．或．或
．或A(34)y 20
=1[ ]A y 20=1x 20=1B y 15=1x 15=1C y 20
=1x 15
=1D y 5
=1x 10
=122
2
2
2
2
2
2
2
x x y x y x y x y 22222222255510105102015---------
12.
与双曲线共焦点且过点，的双曲线方程是　． ．． ．x x x x x 2222215520916------y 10=1(34)[ ]
A y 20=1
B y 5=1
C y 16=1
D y 9
=1
2
22
22
13. 已知ab <0，方程y=-2x +b 和bx +ay=ab 表示的曲线只可能是图中的 [ ]
14.
已知△一边的两个端点是、，另两边斜率的积是，那么顶点的轨迹方程是 ． ．． ．ABC A(7,0)B(70)C [ ]A x +y =49B +x 49
=1
C =1
D 5y 147
=1
2
2
2
2---,x 35
5147514749492222y y x
二、 填空题(每道小题 4分 共 8分 )
1.
已知双曲线的焦距是，则的值等于 ．
x k 21+-y 5=18k 2
2.
设双曲线
，与恰是直线在轴与轴上的截距，那么双曲线的焦距等于 ．
x a 2
2
-
-y b
=1(a >0,b >0)a b 3x +5y 15=0
x y 2
2
双曲线的标准方程及其简单的几何性质
1．平面内到两定点E 、F 的距离之差的绝对值等于|EF |的点的轨迹是( ) A ．双曲线 B ．一条直线 C ．一条线段 D ．两条射线 2．已知方程x 21＋k －y 2
1－k ＝1表示双曲线，则k 的取值范围是( )
A ．－1<k <1
B ．k >0
C ．k ≥0
D ．k >1或k <－1
3．动圆与圆x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－8x ＋12＝0都相外切，则动圆圆心的轨迹为( ) A ．双曲线的一支 B ．圆 C ．抛物线 D ．双曲线
4．以椭圆x 23＋y 2
4＝1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线方程是( )
－y 2＝1
B ．y 2－
x 23＝1 －y 2
4
＝1 －x 2
4
＝1 5．“ab <0”是“曲线ax 2＋by 2＝1为双曲线”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
6．已知双曲线的两个焦点为F 1(－5，0)、F 2(5，0)，P 是此双曲线上的一点，且PF 1⊥PF 2， |PF 1|·|PF 2|＝2，则该双曲线的方程是( ) －y 23＝1 －y 2
2＝1 －y 2＝1
D ．x 2－
y 2
4
＝1
7．已知点F 1(－4,0)和F 2(4,0)，曲线上的动点P 到F 1、F 2距离之差为6，则曲线方程为( ) －y 27＝1 －y 27＝1(y >0) －y 27＝1或x 27－y 29＝1 －y 2
7
＝1(x >0) 8．已知双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2，在左支上过F 1的弦AB 的长为5，若2a ＝8，那么△ABF 2的周长是( ) A ．16
B ．18
C ．21
D ．26
9．已知双曲线与椭圆x 29＋y 225＝1共焦点，它们的离心率之和为14
5，双曲线的方程是( )
－y 24＝1 －y 212＝1 C ．－x 212＋y 24＝1 D ．－x 24＋y 2
12
＝1 10．焦点为(0，±6)且与双曲线x 22－y 2＝1有相同渐近线的双曲线方程是( )
－y 224＝1 －x 224＝1 －x 2
12＝1 －y 2
12
＝1
11．若0<k <a ，则双曲线x 2a 2－k 2－y 2b 2＋k 2＝1与x 2a 2－y 2
b 2＝1有( )
A ．相同的实轴
B ．相同的虚轴
C ．相同的焦点
D ．相同的渐近线
12．中心在坐标原点，离心率为5
3的双曲线的焦点在y 轴上，则它的渐近线方程为( )
A ．y ＝±5
4
x
B ．y ＝±45x
C ．y ＝±4
3
x
D ．y ＝±3
4
x
13．双曲线x 2b 2－y 2
a 2＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率为( )
A ．2
14．双曲线x 29－y 2
16＝1的一个焦点到一条渐近线的距离等于( )
B ．3
C ．4
D ．2 二、填空题
15．双曲线的焦点在x 轴上，且经过点M (3,2)、N (－2，－1)，则双曲线标准方程是________． 16．过双曲线x 23－y 2
4＝1的焦点且与x 轴垂直的弦的长度为________．
17．如果椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 2
2＝1的焦点相同，那么a ＝________.
18．双曲线x 24＋y 2
b ＝1的离心率e ∈(1,2)，则b 的取值范围是________．
19．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a
2－y 2
＝1焦点相同，则a ＝________.
20．双曲线以椭圆x 29＋y 2
25＝1的焦点为焦点，它的离心率是椭圆离心率的2倍，求该双曲线
的方程为________．
双曲线及其标准方程习题答案
一、单选题
1. B
2. C
3. A
4. D
5. B
6. C
7. B
8. B
9. C 10. A 11. C 12. A 13. B 14. D 二、填空题1. 10 2.
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双曲线的标准方程及其简单的几何性质（答案）
1、[答案] D
2、[答案] A [解析] 由题意得(1＋k )(1－k )>0，∴(k －1)(k ＋1)<0，∴－1<k <1.
3、[答案] A [解析] 设动圆半径为r ，圆心为O ， x 2＋y 2＝1的圆心为O 1，圆x 2＋y 2－8x ＋12＝0的圆心为O 2，
由题意得|OO 1|＝r ＋1，|OO 2|＝r ＋2， ∴|OO 2|－|OO 1|＝r ＋2－r －1＝1<|O 1O 2|＝4， 由双曲线的定义知，动圆圆心O 的轨迹是双曲线的一支．
4、[答案] B [解析] 由题意知双曲线的焦点在y 轴上，且a ＝1，c ＝2， ∴b 2＝3，双曲线方程为
y 2－
x 2
3
＝1. 5、[答案] C [解析] ab <0⇒曲线ax 2＋by 2＝1是双曲线，曲线ax 2＋by 2＝1是双曲线⇒ab <0. 6、[答案] C [解析] ∵c ＝5，|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2， ∴(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1|·|PF 2|＝4c 2，∴4a 2＝4c 2－4＝16，∴a 2＝4，b 2＝1. 7、[答案] D [解析] 由双曲线的定义知，点P 的轨迹是以F 1、F 2为焦点， 实轴长为6的双曲线的右支，其方程为：x 29－y 2
7
＝1(x >0)
8、[答案] D [解析] |AF 2|－|AF 1|＝2a ＝8，|BF 2|－|BF 1|＝2a ＝8， ∴|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝16，∴|AF 2|＋|BF 2|＝16＋5＝21， ∴△ABF 2的周长为|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝21＋5＝26.
9、[答案] C [解析] ∵椭圆x 29＋y 225＝1的焦点为(0，±4)，离心率e ＝4
5，
∴双曲线的焦点为(0，±4)，离心率为145－45＝105＝2， ∴双曲线方程为：y 24－x 2
12
＝1.
10、[答案] B [解析] 与双曲线x 22－y 2＝1有共同渐近线的双曲线方程可设为x 22
－y 2
＝λ(λ≠0)，
又因为双曲线的焦点在y 轴上， ∴方程可写为y 2－λ－x 2
－2λ
＝1.
又∵双曲线方程的焦点为(0，±6)，∴－λ－2λ＝36.∴λ＝－12. ∴双曲线方程为y 212－x 2
24＝1.
11、[答案] C [解析] ∵0<k <a ，∴a 2－k 2>0.∴c 2＝(a 2－k 2)＋(b 2＋k 2)＝a 2＋b 2.
12、[答案] D [解析] ∵c a ＝53，∴c 2a 2＝a 2＋b 2
a 2＝259，∴
b 2a 2＝169，∴b a ＝43，∴a b ＝3
4
.
又∵双曲线的焦点在y 轴上，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±a b x ，∴所求双曲线的渐近线方程为y ＝±3
4x .
13、[答案] C [解析] 双曲线的两条渐近线互相垂直，则渐近线方程为：y ＝±x ，
∴b a ＝1，∴b 2a 2＝c 2－a 2
a 2＝1，∴c 2＝2a 2，e ＝c
a
＝ 2. 14、[答案] C
[解析] ∵焦点坐标为(±5,0)，渐近线方程为y ＝±43x ，∴一个焦点(5,0)到渐近线y ＝43x 的距离为4.
15、[答案] x 273－y 275
＝1 [解析] 设双曲线方程为：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)
又点M (3,2)、N (－2，－1)在双曲线上，∴⎩⎨⎧ 9a 2
－4
b 2＝1
4a 2
－1
b 2
＝1
，∴⎩⎨⎧
a 2＝7
3b 2
＝7
5
.
16、[答案]
83
3
[解析] ∵a 2＝3，b 2＝4，∴c 2＝7，∴c ＝7， 该弦所在直线方程为x ＝7，由⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝7x 23－y 24＝1
得y 2＝163，∴|y |＝433，弦长为83
3
.
17、[答案] 1 [解析] 由题意得a >0，且4－a 2＝a ＋2，∴a ＝1.
18、[答案] －12<b <0 [解析] ∵b <0，∴离心率e ＝4－b
2
∈(1,2)，∴－12<b <0. 19、[答案]
62 [解析] 由题意得4－a 2＝a 2＋1，∴2a 2＝3，a ＝62
. 焦点为(0，±4)，离心率e ＝c a ＝45，∴双曲线的离心率e 1＝2e ＝8
5
，
∴c 1a 1＝4a 1＝85，∴a 1＝52，∴b 21＝c 21－a 2
1＝16－254＝394，∴双曲线的方程为y 2254－x 239
4
＝1.
20、[答案]y2
25
4
－
x2
39
4
＝1 [解析]椭圆
x2
9
＋y2
25
＝1中，a＝5，b＝3，c2＝16，。